2024年人教版中学七7年级下册数学期末测试题(及答案).doc
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2024年人教版中学七7年级下册数学期末测试题(及答案) 一、选择题 1.的平方根是() A. B. C. D. 2.下列各组图形,可经平移变换,由一个图形得到另一个图形的是( ) A. B. C. D. 3.如图,小手盖住的点的坐标可能为( ) A. B. C. D. 4.下列命题是假命题的是( ) A.两个锐角的和是钝角 B.两条直线相交成的角是直角,则两直线垂直 C.两点确定一条直线 D.三角形中至少有两个锐角 5.如图,,点为上方一点,分别为的角平分线,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 6.如果≈1.333,≈2.872,那么约等于( ) A.28.72 B.0.2872 C.13.3 D.0.1333 7.如图,和相交于点O,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 8.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2),把一条长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是( ) A.(﹣1,0) B.(0,2) C.(﹣1,﹣2) D.(0,1) 九、填空题 9.算术平方根等于本身的实数是__________. 十、填空题 10.已知点P(3,﹣1)关于y轴的对称点Q的坐标是_____________. 十一、填空题 11.如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,若∠BAC=130°,∠C=30°,则∠DAE的度数是__________. 十二、填空题 12.如图:已知AB∥CD,CE∥BF,∠AEC=45°,则∠BFD=_____. 十三、填空题 13.如图, 把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、C分别在M 、N的位置上,若∠EFG=54°,则∠EGB=_______. 十四、填空题 14.下列命题中,属于真命题的有______(填序号):①互补的角是邻补角;②无理数是无限不循环小数;③同位角相等;④两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直;⑤如果,那么. 十五、填空题 15.已知点,且点到两坐标轴的距离相等,则点的坐标是____. 十六、填空题 16.如图,一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,第一秒它从原点跳动到点(0,1),第二秒它从点(0,1)跳到点(1,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1) →(1,1) →(1,0)→…],每秒跳动一个单位长度,那么43秒后跳蚤所在位置的坐标是________. 十七、解答题 17.计算: (1) (2) 十八、解答题 18.求下列各式中的x值: (1)16(x+1)2=25; (2)8(1﹣x)3=125 十九、解答题 19.已知如图,,,,,求证:. 完成下面的证明过程: 证明:∵, ∴(______________________________) ∵____________________(已知) ∴.(______________________________) ∴. ∵,(已知) ∴ 又∵, ∴, ∴,(______________________________) ∴.(______________________________) 二十、解答题 20.如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别是,,. (1)求出的面积; (2)平移,若点的对应点的坐标为,画出平移后对应的,写出坐标. 二十一、解答题 21.计算: (1); (2)﹣12+(﹣2)3×; (3)已知实数a、b满足+|b﹣1|=0,求a2017+b2018的值. (4)已知+1的整数部分为a,﹣1的小数部分为b,求2a+3b的值. 二十二、解答题 22.如图用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片,沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片,能否使截得的长方形纸片长宽之比为,且面积为cm2?请说明理由. 二十三、解答题 23.如图,已知,是的平分线. (1)若平分,求的度数; (2)若在的内部,且于,求证:平分; (3)在(2)的条件下,过点作,分别交、于点、,绕着点旋转,但与、始终有交点,问:的值是否发生变化?若不变,求其值;若变化,求其变化范围. 二十四、解答题 24.问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数. 小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC. (1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 度; (2)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由; (3)在(2)的条件下,如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系. 二十五、解答题 25.如图,直线,一副直角三角板中,. (1)若如图1摆放,当平分时,证明:平分. (2)若如图2摆放时,则 (3)若图2中固定,将沿着方向平移,边与直线相交于点,作和的角平分线相交于点(如图3),求的度数. (4)若图2中的周长,现将固定,将沿着方向平移至点与重合,平移后的得到,点的对应点分别是,请直接写出四边形的周长. (5)若图2中固定,(如图4)将绕点顺时针旋转,分钟转半圈,旋转至与直线首次重合的过程中,当线段与的一条边平行时,请直接写出旋转的时间. 【参考答案】 一、选择题 1.D 解析:D 【分析】 依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可. 【详解】 解:∵, ∴的平方根是; 故选D. 【点睛】 本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义,熟练掌握相关概念是解题的关键. 2.B 【分析】 根据平移的性质,结合图形对选项进行一一分析,选出正确答案. 【详解】 解:A、图形的大小发生变化,不符合平移的性质,不属于平移得到; B、图形的形状和大小没有变化,符合平移的性质,属于 解析:B 【分析】 根据平移的性质,结合图形对选项进行一一分析,选出正确答案. 【详解】 解:A、图形的大小发生变化,不符合平移的性质,不属于平移得到; B、图形的形状和大小没有变化,符合平移的性质,属于平移得到; C、图形由轴对称得到,不属于平移得到; D、图形的方向发生变化,不符合平移的性质,不属于平移得到; 故选:B. 【点睛】 本题考查平移的基本性质,平移不改变图形的形状、大小和方向.注意结合图形解题的思想. 3.C 【分析】 根据平面直角坐标系的象限内点的特点判断即可; 【详解】 ∵盖住的点在第三象限, ∴符合条件; 故答案选C. 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系象限内点的特征,准确分析判断是解题的关键. 4.A 【分析】 选出假命题只要举出反例即可,两个锐角的和是钝角,反例:两个锐角分别是有20°、30°,和是50°,还是锐角,因此是假命题. 【详解】 A.两个锐角的和是钝角是假命题,如两个锐角分别是20°、30°, 而它们的和是50°,还是锐角,不是钝角; B.两条直线相交成的角是直角则两直线垂直是真命题; C.两点确定一条直线是真命题; D.三角形中至少有两个锐角是真命题. 故选: A 【点睛】 本题通过判断真假命题来考查了解各类知识的概念和意义,熟练掌握各类知识是解题的关键. 5.A 【分析】 过G作GMAB,根据平行线的性质可得∠2=∠5,∠6=∠4,进而可得∠FGC=∠2+∠4,再利用平行线的性质进行等量代换可得3∠1=210°,求出∠1的度数,然后可得答案. 【详解】 解:过G作GMAB, ∴∠2=∠5, ∵ABCD, ∴MGCD, ∴∠6=∠4, ∴∠FGC=∠5+∠6=∠2+∠4, ∵FG、CG分别为∠EFG,∠ECD的角平分线, ∴∠1=∠2=∠EFG,∠3=∠4=∠ECD, ∵∠E+2∠G=210°, ∴∠E+∠1+∠2+∠ECD=210°, ∵ABCD, ∴∠ENB=∠ECD, ∴∠E+∠1+∠2+∠ENB=210°, ∵∠1=∠E+∠ENB, ∴∠1+∠1+∠2=210°, ∴3∠1=210°, ∴∠1=70°, ∴∠EFG=2×70°=140°. 故选:A. 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质,关键是正确作出辅助线,掌握两直线平行同位角相等,内错角相等. 6.C 【分析】 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可. 【详解】 解:∵≈1.333, ∴, 故选:C. 【点睛】 本题考查了立方根,如果一个数扩大1000倍,它的立方根就扩大10倍,如果一个数缩小1000倍,它的立方根缩小10倍. 7.A 【分析】 根据对顶角的性质和平行线的性质判断即可. 【详解】 解:A、∵和是对顶角, ∴,选项正确,符合题意; B、∵与OB相交于点A, ∴与OB不平行, ∴,选项错误,不符合题意; C、∵AO与BC相交于点B, ∴AO与BC不平行, ∴,选项错误,不符合题意; D、∵OD与BC相交于点C, ∴OD与BC不平行, ∴,选项错误,不符合题意. 故选:A. 【点睛】 此题考查了对顶角的性质,平行线的性质,解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和平行线的性质.对顶角相等. 8.D 【分析】 根据题意可得,从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=10,据此分析即可得细线另一端在绕四边形第202圈的第1个单位长度的位置,从而求得细线另一端所在位置的点的坐标. 【详解 解析:D 【分析】 根据题意可得,从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=10,据此分析即可得细线另一端在绕四边形第202圈的第1个单位长度的位置,从而求得细线另一端所在位置的点的坐标. 【详解】 解:∵A点坐标为(1,1),B点坐标为(﹣1,1),C点坐标为(﹣1,﹣2), ∴AB=1﹣(﹣1)=2,BC=2﹣(﹣1)=3, ∴从A→B→C→D→A一圈的长度为2(AB+BC)=10. 2021÷10=202…1, ∴细线另一端在绕四边形第202圈的第1个单位长度的位置, 即细线另一端所在位置的点的坐标是(0,1). 故选:D. 【点睛】 本题考查了坐标规律探索,找到规律是解题的关键. 九、填空题 9.0或1 【详解】 根据负数没有算术平方根,一个正数的算术平方根只有一个,1和0的算术平方根等于本身,即可得出答案. 解:1和0的算术平方根等于本身. 故答案为1和0 “点睛”本题考查了算术平方根的知 解析:0或1 【详解】 根据负数没有算术平方根,一个正数的算术平方根只有一个,1和0的算术平方根等于本身,即可得出答案. 解:1和0的算术平方根等于本身. 故答案为1和0 “点睛”本题考查了算术平方根的知识,注意掌握1和0的算术平方根等于本身. 十、填空题 10.(-3,-1) 【分析】 根据关于y轴对称的点的坐标为,纵坐标不变,横坐标互为相反数即可解答. 【详解】 解:∵点Q与点P(3,﹣1)关于y轴对称, ∴Q(-3,-1). 故答案为(-3,-1). 解析:(-3,-1) 【分析】 根据关于y轴对称的点的坐标为,纵坐标不变,横坐标互为相反数即可解答. 【详解】 解:∵点Q与点P(3,﹣1)关于y轴对称, ∴Q(-3,-1). 故答案为(-3,-1). 【点睛】 本题主要考查关于对称轴对称的点的坐标特征,解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 十一、填空题 11.5° 【分析】 根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD,再根据角平分线定义求出∠CAE,然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD,代入数据进行计算即可得解. 【详解】 ∵AD⊥BC,∠C=30°, ∴∠C 解析:5° 【分析】 根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD,再根据角平分线定义求出∠CAE,然后根据∠DAE=∠CAE-∠CAD,代入数据进行计算即可得解. 【详解】 ∵AD⊥BC,∠C=30°, ∴∠CAD=90°-30°=60°, ∵AE是△ABC的角平分线,∠BAC=130°, ∴∠CAE=∠BAC=×130°=65°, ∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°. 故答案为:5°. 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线,高线的定义,准确识图,找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键. 十二、填空题 12.45° 【分析】 根据平行线的性质可得∠ECD=∠AEC,∠BFD=∠ECD,等量代换即可求出∠BFD. 【详解】 解:∵AB∥CD, ∴∠ECD=∠AEC, ∵CE∥BF, ∴∠BFD=∠ECD, 解析:45° 【分析】 根据平行线的性质可得∠ECD=∠AEC,∠BFD=∠ECD,等量代换即可求出∠BFD. 【详解】 解:∵AB∥CD, ∴∠ECD=∠AEC, ∵CE∥BF, ∴∠BFD=∠ECD, ∴∠BFD=∠AEC, ∵∠AEC=45°, ∴∠BFD=45°. 故答案为:45°. 【点睛】 本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题关键. 十三、填空题 13.108° 【分析】 由折叠的性质可得:∠DEF=∠GEF,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等可得:∠DEF=∠EFG=54°,从而得到∠GEF=54°,根据平角的定义即可求得∠1,再由平行线的 解析:108° 【分析】 由折叠的性质可得:∠DEF=∠GEF,根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等可得:∠DEF=∠EFG=54°,从而得到∠GEF=54°,根据平角的定义即可求得∠1,再由平行线的性质求得∠EGB. 【详解】 解:∵AD∥BC,∠EFG=54°, ∴∠DEF=∠EFG=54°,∠1+∠2=180°, 由折叠的性质可得:∠GEF=∠DEF=54°, ∴∠1=180°-∠GEF-∠DEF=180°-54°-54°=72°, ∴∠EGB=180°-∠1=108°. 故答案为:108°. 【点睛】 此题主要考查折叠的性质,平行线的性质和平角的定义,解决问题的关键是根据折叠的方法找准对应角,求出∠GEF的度数. 十四、填空题 14.②④⑤ 【分析】 根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可. 【详解】 解:①邻补角一定互补,但互补的角不一定是邻补角,故错误,是假命题; ②无理数是无限不循环小数,正确,是真命题; ③ 解析:②④⑤ 【分析】 根据邻补角、无理数、平行线的性质和平方根进行判断即可. 【详解】 解:①邻补角一定互补,但互补的角不一定是邻补角,故错误,是假命题; ②无理数是无限不循环小数,正确,是真命题; ③两直线平行,同位角相等,故错误,是假命题; ④如图所示,直线a,b被直线c所截,且a//b,直线AB平分∠CAE,直线CD平分∠ACF,AB,CD相交于点G.求证:AB⊥CD. 证明:∵a//b, ∴∠CAE+∠ACF=180°. 又AB平分∠CAE,CD平分∠ACF, 所以∠1=∠CAE,∠2=∠ACF. 所以∠1+∠2=∠CAE+∠ACF =(∠CAE+∠ACF)=×180°=90°. 又∵△ACG的内角和为180°, ∴∠AGC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°, ∴AB⊥CD. ∴两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直,正确,是真命题; ⑤如果,那么,正确,是真命题. 故答案为:②④⑤. 【点睛】 此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理. 十五、填空题 15.或; 【分析】 根据点A到两坐标轴的距离相等,列出绝对值方程,解方程即可得到答案. 【详解】 解:∵点A到两坐标轴的距离相等,且点A为, ∴, ∴或, 解得:或, ∴点A的坐标为:或; 故答案为:或 解析:或; 【分析】 根据点A到两坐标轴的距离相等,列出绝对值方程,解方程即可得到答案. 【详解】 解:∵点A到两坐标轴的距离相等,且点A为, ∴, ∴或, 解得:或, ∴点A的坐标为:或; 故答案为:或; 【点睛】 本题考查了点的坐标:直角坐标系中点与有序实数对一一对应;在x轴上点的纵坐标为0,在y轴上点的横坐标为0;记住各象限点的坐标特点. 十六、填空题 16.(5,6) 【分析】 根据题意判断出跳蚤跳到(n,n)位置用时n(n+1)秒,然后根据43秒时n是偶数,即可判断出所在位置的坐标. 【详解】 解:跳蚤跳到(1,1)位置用时1×2=2秒,下一步向下跳 解析:(5,6) 【分析】 根据题意判断出跳蚤跳到(n,n)位置用时n(n+1)秒,然后根据43秒时n是偶数,即可判断出所在位置的坐标. 【详解】 解:跳蚤跳到(1,1)位置用时1×2=2秒,下一步向下跳动; 跳到(2,2)位置用时2×3=6秒,下一步向左跳动; 跳到(3,3)位置用时3×4=12秒,下一步向下跳动; 跳到(4,4)位置用时4×5=20秒,下一步向左跳动; … 由以上规律可知,跳蚤跳到(n,n)位置用时n(n+1)秒, 当n为奇数时,下一步向下跳动; 当n为偶数时,下一步向左跳动; ∴第6×7=42秒时跳蚤位于(6,6)位置,下一步向左跳动, 则第43秒时,跳蚤需从(6,6)向左跳动1个单位到(5,6), 故答案为:(5,6). 【点睛】 此题考查了点的坐标问题,解题的关键是读懂题意,能够正确确定点运动的规律,从而可以得到到达每个点所用的时间. 十七、解答题 17.(1);(2)-5. 【分析】 (1)直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案; (2)直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案. 【详解】 (1) =1+-2 = (2) =3-4+ 解析:(1);(2)-5. 【分析】 (1)直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案; (2)直接利用算术平方根以及立方根的定义化简得出答案. 【详解】 (1) =1+-2 = (2) =3-4+1-5 =-5 【点睛】 此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 十八、解答题 18.(1)或;(2) 【分析】 (1)根据平方根,即可解答; (2)根据立方根,即可解答. 【详解】 解:(1)等式两边都除以16,得. 等式两边开平方,得. 所以,得. 所以, 解析:(1)或;(2) 【分析】 (1)根据平方根,即可解答; (2)根据立方根,即可解答. 【详解】 解:(1)等式两边都除以16,得. 等式两边开平方,得. 所以,得. 所以, (2)等式两边都除以8,得. 等式两边开立方,得. 所以, 【点睛】 本题考查平方根、立方根,解题关键是熟记平方根、立方根. . 十九、解答题 19.见解析 【分析】 根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论. 【详解】 解:证明:∵∠AOB=80°, ∴∠COD=∠AOB=80°(对顶角相等). ∵BC∥EF(已知), ∴∠COD+ 解析:见解析 【分析】 根据平行线的判定和性质定理以及对顶角相等即可得到结论. 【详解】 解:证明:∵∠AOB=80°, ∴∠COD=∠AOB=80°(对顶角相等). ∵BC∥EF(已知), ∴∠COD+∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补). ∴∠1=100°. ∵∠1+∠C=160°(已知), ∴∠C=160°-∠1=60°. 又∵∠B=60°, ∴∠B=∠C. ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). ∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等). 【点睛】 本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.也考查了对顶角的定义. 二十、解答题 20.(1)3;(2)B2(3,0),画图见解析 【分析】 (1)先求出AC,BC的长,然后根据三角形面积公式求解即可; (2)先根据A和A2的坐标,确定平移方式,然后求出B2,C2的坐标,然后描点,顺次 解析:(1)3;(2)B2(3,0),画图见解析 【分析】 (1)先求出AC,BC的长,然后根据三角形面积公式求解即可; (2)先根据A和A2的坐标,确定平移方式,然后求出B2,C2的坐标,然后描点,顺次连接即可得到答案 【详解】 解:(1)∵在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别是,,, ∴AC=3,BC=2, ∴; (2)∵A(-3,2),A2(0,-2), ∴A2是由A向右平移3个单位得到的,向下平移4个单位长度得到的, ∴B2,C2的坐标分别为(3,0),(3,-2), 如图所示,即为所求. 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形,三角形面积,根据点的坐标确定平移方式,根据平移方式确定点的坐标,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 二十一、解答题 21.(1)0;(2)-3;(3)2;(4). 【解析】 【分析】 直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案; 直接利用有理数的乘方、算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案 利用绝对值以及平 解析:(1)0;(2)-3;(3)2;(4). 【解析】 【分析】 直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案; 直接利用有理数的乘方、算术平方根以及立方根的定义化简进而得出答案 利用绝对值以及平方根的非负性质得出a,b的值,进而得出答案; 直接利用2<的范围进而得出a,b的值,即可得出答案. 【详解】 解: ; ; , ,, ; 的整数部分为a,的小数部分为b, ,, . 【点睛】 此题主要考查了估算无理数的大小以及实数运算,正确化简各数是解题关键. 二十二、解答题 22.不能截得长宽之比为,且面积为cm2的长方形纸片,见解析 【分析】 根据拼图求出大正方形的边长,再根据长方形的长、宽之比为3:2,计算长方形的长与宽进行验证即可. 【详解】 解:不能, 因为大正方形纸 解析:不能截得长宽之比为,且面积为cm2的长方形纸片,见解析 【分析】 根据拼图求出大正方形的边长,再根据长方形的长、宽之比为3:2,计算长方形的长与宽进行验证即可. 【详解】 解:不能, 因为大正方形纸片的面积为()2+()2=36(cm2), 所以大正方形的边长为6cm, 设截出的长方形的长为3b cm,宽为2b cm, 则6b2=30, 所以b=(取正值), 所以3b=3=>, 所以不能截得长宽之比为3:2,且面积为30cm2的长方形纸片. 【点睛】 本题考查了算术平方根,理解算术平方根的意义是正确解答的关键. 二十三、解答题 23.(1)90°;(2)见解析;(3)不变,180° 【分析】 (1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解; (2)根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解; (3),过,分别作,,根据 解析:(1)90°;(2)见解析;(3)不变,180° 【分析】 (1)根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解; (2)根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解; (3),过,分别作,,根据平行线的性质及平角的定义即可得解. 【详解】 解(1),分别平分和, ,, , ; (2), ,即, , 是的平分线, , , 又, , 又在的内部, 平分; (3)如图,不发生变化,,过,分别作,, 则有, ,,,, ,, , ,, , , 不变. 【点睛】 此题考查了平行线的性质,熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键. 二十四、解答题 24.(1)110°;(2)∠CPD=∠α+∠β,见解析;(3)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β-∠α;当P在AB延长线上时,∠CPD=∠α-∠β 【分析】 (1)过P作PE∥AB,通过平行线性质求∠A 解析:(1)110°;(2)∠CPD=∠α+∠β,见解析;(3)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β-∠α;当P在AB延长线上时,∠CPD=∠α-∠β 【分析】 (1)过P作PE∥AB,通过平行线性质求∠APC即可; (2)过P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案; (3)画出图形,根据平行线的性质得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案. 【详解】 解:(1)过点P作PE∥AB, ∵AB∥CD, ∴PE∥AB∥CD, ∴∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°, ∵∠PAB=130°,∠PCD=120°, ∴∠APE=50°,∠CPE=60°, ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°. 故答案为110°; (2)∠CPD=∠α+∠β, 理由是:如图3,过P作PE∥AD交CD于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β; (3)当P在BA延长线时,∠CPD=∠β-∠α, 理由是:如图4,过P作PE∥AD交CD于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α; 当P在AB延长线时,∠CPD=∠α-∠β, 理由是:如图5,过P作PE∥AD交CD于E, ∵AD∥BC, ∴AD∥PE∥BC, ∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE, ∴∠CPD=∠DPE -∠CPE =∠α-∠β. 【点睛】 本题考查了平行线的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力,题目是一道比较典型的题目,分类讨论是解题的关键. 二十五、解答题 25.(1)见详解;(2)15°;(3)67.5°;(4)45cm;(5)10s或30s或40s 【分析】 (1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论; (2)如图2,过点E作EK∥MN,利用平行线性 解析:(1)见详解;(2)15°;(3)67.5°;(4)45cm;(5)10s或30s或40s 【分析】 (1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论; (2)如图2,过点E作EK∥MN,利用平行线性质即可求得答案; (3)如图3,分别过点F、H作FL∥MN,HR∥PQ,运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案; (4)根据平移性质可得D′A=DF,DD′=EE′=AF=5cm,再结合DE+EF+DF=35cm,可得出答案; (5)设旋转时间为t秒,由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转3°,分三种情况:①当BC∥DE时,②当BC∥EF时,③当BC∥DF时,分别求出旋转角度后,列方程求解即可. 【详解】 (1)如图1,在△DEF中,∠EDF=90°,∠DFE=30°,∠DEF=60°, ∵ED平分∠PEF, ∴∠PEF=2∠PED=2∠DEF=2×60°=120°, ∵PQ∥MN, ∴∠MFE=180°−∠PEF=180°−120°=60°, ∴∠MFD=∠MFE−∠DFE=60°−30°=30°, ∴∠MFD=∠DFE, ∴FD平分∠EFM; (2)如图2,过点E作EK∥MN, ∵∠BAC=45°, ∴∠KEA=∠BAC=45°, ∵PQ∥MN,EK∥MN, ∴PQ∥EK, ∴∠PDE=∠DEK=∠DEF−∠KEA, 又∵∠DEF=60°. ∴∠PDE=60°−45°=15°, 故答案为:15°; (3)如图3,分别过点F、H作FL∥MN,HR∥PQ, ∴∠LFA=∠BAC=45°,∠RHG=∠QGH, ∵FL∥MN,HR∥PQ,PQ∥MN, ∴FL∥PQ∥HR, ∴∠QGF+∠GFL=180°,∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA, ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H, ∴∠QGH=∠FGQ,∠HFA=∠GFA, ∵∠DFE=30°, ∴∠GFA=180°−∠DFE=150°, ∴∠HFA=∠GFA=75°, ∴∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA=75°−45°=30°, ∴∠GFL=∠GFA−∠LFA=150°−45°=105°, ∴∠RHG=∠QGH=∠FGQ=(180°−105°)=37.5°, ∴∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°; (4)如图4,∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合,平移后的得到△D′E′A, ∴D′A=DF,DD′=EE′=AF=5cm, ∵DE+EF+DF=35cm, ∴DE+EF+D′A+AF+DD′=35+10=45(cm), 即四边形DEAD′的周长为45cm; (5)设旋转时间为t秒,由题意旋转速度为1分钟转半圈,即每秒转3°, 分三种情况: BC∥DE时,如图5,此时AC∥DF, ∴∠CAE=∠DFE=30°, ∴3t=30, 解得:t=10; BC∥EF时,如图6, ∵BC∥EF, ∴∠BAE=∠B=45°, ∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°, ∴3t=90, 解得:t=30; BC∥DF时,如图7,延长BC交MN于K,延长DF交MN于R, ∵∠DRM=∠EAM+∠DFE=45°+30°=75°, ∴∠BKA=∠DRM=75°, ∵∠ACK=180°−∠ACB=90°, ∴∠CAK=90°−∠BKA=15°, ∴∠CAE=180°−∠EAM−∠CAK=180°−45°−15°=120°, ∴3t=120, 解得:t=40, 综上所述,△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时,线段BC与△DEF的一条边平行. 【点睛】 本题主要考查了平行线性质及判定,角平分线定义,平移的性质等,添加辅助线,利用平行线性质是解题关键.- 配套讲稿:
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