人教版数学八年级上册期末强化综合试卷带答案.doc

人教版数学八年级上册期末强化综合试卷带答案
一、选择题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．“春风不来，三月的柳絮不飞”，据测定，柳絮纤维的直径约是0.00000105米，将数据0.00000105用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3．下列计算结果错误的是（       ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a6 C．a5÷a5＝a D．（ab）3＝a3b3
4．使式子有意义的x范围是（       ）
A． B． C．x≠0 D．
5．下列因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6．下列化简计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，，在线段，上，且，再添加条件（       ），不能得到

A． B． C． D．
8．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＜2且m≠0 D．m≠0
9．在ABC中，已知D为直线BC上一点，若，，且，则β与α之间不可能存在的关系式是（       ）
A． B．
C． D．
10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB； ③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
二、填空题
11．如果分式的值是0，则a的取值范围是__________．
12．若点与点关于y轴对称，则a为____________．
13．已知，则的值是_________
14．已知，，求__________．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ____________ ．

16．如果是完全平方式，则m的值是________．
17．若，则______．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为_______．

三、解答题
19．因式分解：
(1)2x2﹣2
(2)x3﹣4x2y+4xy2．
20．解下列分式方程：
(1)
(2)
21．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．

22．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点．

(1)的度数为__________，__________（填“是”或“不是”）智慧三角形；
(2)若，求证：为“智慧三角形”；
(3)当为“智慧三角形”时，请直接写出的度数．
23．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？
24．（1）填空：____________；
（2）阅读，并解决问题：分解因式
解：设，则原式
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解：
①
②
25．操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF=BD（不需要证明）；
类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。
深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论。
③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明。

26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2-4a+4+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧，且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与 x轴交于点D，BC与y轴交于点E，连接 DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=BC；
②直接写出点C到DE的距离．

【参考答案】
一、选择题
2．C
解析：C
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．C
解析：C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：0.00000105=，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C
解析：C
【分析】由同底数幂的乘法可判断A，由幂的乘方运算可判断B，由同底数幂的除法运算可判断C，由积的乘方运算可判断D，从而可得答案．
【详解】解：a2•a3＝a5，故A不符合题意；
（a3）2＝a6，故B不符合题意；
a5÷a5＝1，故C符合题意；
（ab）3＝a3b3，故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】由题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．
6．D
解析：D
【分析】根据因式分解的概念以及方法逐项判断即可．
【详解】A、没有变为整式的积的形式，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、没有变为整式的积的形式，故C选项错误；
D、，故D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的概念，把一个多项式在实数范围内化为几个整式的积，这种式子变形叫做多项式的因式分解，掌握因式分解的概念是解答本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】先对分式分子分母因式分解，再根据分式的性质约分来逐项检验即可得到结果．
【详解】解：A、分子分母含有相同的因式，约分后，该项不符合题意；
B、分子分母含有相同的因式，约分后，该项不符合题意；
C、对因式分解得，分子分母含有相同的字因式，约分后，该项不符合题意；
D、对因式分解得，分子分母含有相同的因式，约分后，该项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的化简运算，涉及到因式分解相关知识点，利用分式的性质约分是解决问题的关键．
8．D
解析：D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析判断．
【详解】解：由题意知，AD=AE，∠A=∠A，
A、当∠B=∠C时，可利用AAS证明，故正确；
B、当时，可得∠ADC=∠AEB，则可利用AAS证明，故正确；
C、当AB=AC时，可利用SAS证明，故正确；
D、当BE=CD时，根据SSA不能，故错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】根据分式方程的解为正数和分式方程有意义，得出x的取值范围，再解分式方程，解得，代入x的取值范围即可算出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的分式方程的解为正数，
∴且
∴且

去分母得：
化简得：
∴且
解得：且，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解，求参数的取值范围，找出x的取值范围是本题的关键．
10．D
解析：D
【分析】需要分点在线段上，在延长线上，在延长线上讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求与的等量关系式．
【详解】解：当点在线段上，

，，
，
，
，
，
，
即，故A不符合题意；
当点在线段的延长线上，

同理可得：，故B不符合题意；
当点在线段的延长线上，

同理可得：，故C不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，解题的关键是注意分类思想的应用．
11．C
解析：C
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
二、填空题
12．≠2
【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵分式的值是0，
∴x+1=0，2x+a≠0，
∴x=-1，
∴-2+a≠0，
∴a≠2．
故答案为：a≠2．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
13．0
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可．
【详解】解：∵点P(−1，3)与点P′(a+1，3)关于y轴对称，
∴-1+a+1=0，
解得：a=0，
故答案为：0．
【点睛】题目主要考查关于y轴对称的点的特点，熟练掌握关于坐标轴对称的特点是解题关键．
14．
【分析】由，，利用两个等式之间的平方关系得出；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【详解】由平方得：，
且，则：，
由得：，
∴
同理可得：，，
∴原式=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简、求值问题；解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
15．
【分析】根据同底数幂除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法的运算法则，熟练掌握法则是解答此题的关键．
16．30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB
解析：30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键．
17．±12
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案为：±12
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是
解析：±12
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m=±2×2×3=±12，
故答案为：±12
【点睛】本题考查完全平方式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
18．【分析】根据条件，可得出，所以．将式子展开化简可得：．将代入，则原式，故答案为．
【详解】解：，
，
，
，
把代入得：原式，
故答案为．
【点睛】．
本题主要考查知识点为：分式
解析：
【分析】根据条件，可得出，所以．将式子展开化简可得：．将代入，则原式，故答案为．
【详解】解：，
，
，
，
把代入得：原式，
故答案为．
【点睛】．
本题主要考查知识点为：分式的加减，完全平方公式．熟练掌握分式的加减方法和完全平方公式是解决此题的关键．
19．5或2.5或6
【分析】分三种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；（3）当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时；得出关的方程，解方程求得的
解析：5或2.5或6
【分析】分三种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；（3）当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时；得出关的方程，解方程求得的值，进而求得的长．
【详解】解：当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB=90，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴6-t=8-3t，解得t=1，
∴CQ=8-3t=5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，
由题意得，6-t=3t-8，
解得t=3.5，
∴CQ=3t-8=2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ=AC=6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6，
故答案为：5或2.5或6．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，根据题意得出关于的方程是解题的关键．
三、解答题
20．(1)2（x+1）（x-1）
(2)x（x-2y）2
【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式x，再利用公式法分解因式即可．
（1）2x2﹣2=2（x
解析：(1)2（x+1）（x-1）
(2)x（x-2y）2
【分析】（1）直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式x，再利用公式法分解因式即可．
（1）2x2﹣2=2（x2-1）=2（x+1）（x-1）
（2）x3﹣4x2y+4xy2=x（x2-4xy+4y2）=x（x-2y）2
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先去分母化为一元一次方程求解，然后进行检验即可；
（2）先去分母化为一元一次方程求解，然后进行检验即可．
(1)
去分母，得
移项，得
合并同类项，得
解析：(1)
(2)
【分析】（1）先去分母化为一元一次方程求解，然后进行检验即可；
（2）先去分母化为一元一次方程求解，然后进行检验即可．
(1)
去分母，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
检验，当时，≠0
∴原方程的解为
(2)
方程两边同时乘，得
化简得，     
解得
检验：当时，≠0，
∴原方程的解为．
【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
22．（1）；（2）．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
解析：（1）；（2）．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可得；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．
23．(1)30；是
(2)见解析
(3)80°或52.5°或30°
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）先根据三角形的外角性质
解析：(1)30；是
(2)见解析
(3)80°或52.5°或30°
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）先根据三角形的外角性质求得∠OAC＝20°，再根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分情况讨论，根据“智慧三角形”的定义计算．
(1)
∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°−∠MON＝30°，
∵∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“智慧三角形”，
故答案为30；是；
(2)
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAC＝−∠AOC ＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”；
(3)
∵△ABC为“智慧三角形”，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BAC＋∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，
∴∠OAC＝80°，
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴∠ACB＝10°
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴∠BAC＋3∠BAC＝150°，
∴∠BAC＝37.5°，
∴∠OAC＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°−60°＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝0°，
∵点C与点O不重合，
∴此种情况不成立，
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴3∠ACB＋∠ACB＝150°，
∴∠ACB＝37.5°，
∴此种情况不存在       
综上所述，当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
24．60兆
【分析】设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据“小明比小强所用的时间快140秒”列出方程求解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5
解析：60兆
【分析】设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据“小明比小强所用的时间快140秒”列出方程求解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆
由题意得：
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4=60，
答：该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
25．（1）9，3；（2）①，②
【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论；
（2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论；
②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据
解析：（1）9，3；（2）①，②
【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论；
（2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论；
②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论．
【详解】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2，
故答案为9，3；
（2）①，
设，则原式；
②，
设，

.
【点睛】本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键．
26．①成立，证明见详解；②AF+BF′=AB，证明见详解；③不成立，AF=AB+BF′，证明见详解.
【分析】类比猜想：①通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
深入探究：②AF+BF′=
解析：①成立，证明见详解；②AF+BF′=AB，证明见详解；③不成立，AF=AB+BF′，证明见详解.
【分析】类比猜想：①通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
深入探究：②AF+BF′=AB，利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；
③结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．
【详解】解：类比猜想：①如图2中，

∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，

∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；
深入探究：②如图示

AF+BF′=AB；
证明如下：由①条件可知：∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF，
∴同理可证△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
③结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
如图示：

证明如下：
∵等边△DCF和等边△DCF′，由①同理可知：
在△BCF′和△ACD中，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由②知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
27．（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．
【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC=9
解析：（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．
【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；
（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，则结论得证；
②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分线的性质可得CK=CH=1．
【详解】（1）∵a2−4a+4+＝0，
∴(a−2)2+＝0，
∵（a-2）2≥0，≥0，
∴a-2=0，2b+2=0，
∴a=2，b=-1；
（2）由（1）知a=2，b=-1，
∴A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，
∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，
Ⅰ、当∠BAC=90°时，如图1，

∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=CB，
过点C作CG⊥OA于G，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BAO+∠CAG=90°，
∴∠BAO=∠ACG，
在△AOB和△BCP中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG=OA=2，AG=OB=1，
∴OG=OA-AG=1，
∴C（2，1），
Ⅱ、当∠ABC=90°时，如图2，

同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，-1）
（3）①如图3，由（2）知点C（1，-1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，

在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠BEA=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴CF＝BC；
②点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，

由①知BE=CF，
∵BE=BC，
∴CE=CF，
∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，
∴∠ECD=∠DCF，
∵DC=DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴CK=CH=1．
【点睛】此题考查三角形综合题，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．