部编版八年级数学下册期末试卷检测(提高-Word版含解析).doc

部编版八年级数学下册期末试卷检测（提高，Word版含解析）
一、选择题
1．若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）．
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
3．平移、旋转与轴对称都是图形之间的一些主要变换，为了得到▱ABCD（如图），下列说法错误的是（　　）

A．将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD
B．将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD
C．将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD
D．将△ABC沿AC翻折可以得到▱ABCD
4．如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩方差分别记作、，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．无法确定
5．如图，在矩形中，点E，F，G，H分别是四条边的中点，已知矩形的面积为，周长为28cm，则四边形的周长是（ ）

A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm
6．如图，在中，，点在边上，，，．若与关于直线对称，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
7．如图所示，，则数轴上点表示的数为（ ）

A．3 B．5 C． D．
8．如图点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点．设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图象是（ ）．

A． B． C． D．
二、填空题
9．若式子有意义，则x的取值范围为__________．
10．一个菱形的边长是，一条对角线长，则此菱形的面积为______．
11．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_______ ．

12．如图：已知在矩形中，为对角线的交点，，于点，，则的长为___________．

13．一根弹簧的原长为12 cm，它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重 x（kg）之间的函数关系式并标明 x 的取值范围___________．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是A4B．AC边的中点，请你在△ABC中添加一个条件：_______________使得四边形AEDF是菱形．

15．如图，平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，以为边在第二象限内作正方形，在轴上有一个动点，当的周长最小的时候，点的坐标是______．

16．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么CE的长为________．

三、解答题
17．解下列各题
计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．

19．如图，网格中的，若小方格边长为，请你根据所学的知识，
（1）判断是什么形状？并说明理由；
（2）求的面积．

20．如图1，两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，固定△ABC，将△DEF沿线段AB向右平移（即点D在线段AB上）．回答下列问题：

（1）如图2，连接CF，四边形ADFC的形状一定是______形；
（2）如图3，当点D移动到AB的中点时，连接DC，CF，FB．求证：四边形CDBF是菱形．
21．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1），（2）．
22．已知某列货车挂有A，B两种不同规格的货车厢共60节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元，设使用该列车全部车厢的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节．
（1）试写出y与x之间的函数关系式；
（2）若使用该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢多少节？
23．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．
（1）△FGH的形状是　 　；
（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；
（3）若BC＝，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．

24．如图，直线与轴交于点，与直线交于点轴上一点从点出发以每秒个单位的速度向终点运动，作轴交于，过作轴且，以为边作矩形，设运动时间为．

当点落在直线上时，求的值；
在运动过程中，设矩形与的重叠部分面积为，求与的关系式，并写出相应的的取值范围；
矩形的对角线交于点，直接写出的最小值为_ ．
25．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接，且
①求证：与互相平分；
②求证：；
（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当，，时，求之长.

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出x的值，进而得出y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：由题意可得：x﹣2≥0且4﹣2x≥0，
解得：x＝2，
故y＝﹣3，
则（x+y）2021＝﹣1．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及有理数的乘方运算，正确掌握被开方数的符号是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为42＋52≠62，所以不能构成直角三角形；
B、因为12＋12=（）2，所以能构成直角三角形；
C、因为62＋82≠112，所以不能构成直角三角形；
D、因为52＋122≠232，所以不能构成直角三角形．
故选：B．
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用平移变换，旋转变换，翻折变换的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、将线段AB沿BC的方向平移BC长度可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．
B、将△ABC绕边AC的中点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．
C、将△AOB绕点O旋转180°可以得到▱ABCD，正确，本选项不符合题意．
D、将△ABC沿AC翻折不可以得到▱ABCD，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转变换，平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是理解旋转变换，翻折变换，平移变换的性质．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据甲、乙的进球的统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，由此即可得到答案．
【详解】
解：有题意可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，
∴ ，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了方差的定义，解题的关键在于能够熟练掌握，波动越小，方差越小．
5．B
解析：B
【分析】
连接BD，AC，如图，先求出矩形的边长，再根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝BD＝10cm，再利用三角形中位线性质得到HG=EF=EH＝GF=5cm，，然后计算四边形EFGH的周长．
【详解】
解：连接AC、BD，

∵矩形的面积为，周长为28cm，
∴AB=6cm，AD=8cm，
AC＝BD＝cm，
∵点E，F，G，H分别是四条边的中点，
∴HG为△ACD为中位线，EF为△BAC的中位线，
∴HG=EF＝×10＝5cm，
同理可得EH=GF=5cm，
∴四边形EFGH的周长为4×5=20cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形．也考查了矩形的性质和勾股定理以及中位线的性质．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接AE，利用对称的性质得到BD是线段AE的垂直平分线，DF是△AEC的中位线，利用面积法求得AF的长，再根据勾股定理求得DF的长即可求解．
【详解】
解：连接AE，

∵∠ABC=90°，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，∠DBC+∠ABD=90°，∠DCB+∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠BAC，
∴BD=AD，则BD=AD=CD，即D为AC中点，
∵AB=2，BC=2AB，
∴BC=4，AC=，
∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，
∴AF=EF，BE=AB=2，AD=DE，
∴BD是线段AE的垂直平分线，则AF⊥BD，BD=AD=CD=DE，
∴DF是△AEC的中位线，
∴EC=2DF，
∵S△ABD=S△ABC，
∴，即，
解得：AF=，
∴DF=，
∴EC=2DF=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意得，在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解．
【详解】
解：如图，

由题意知：，，，．
．
在中，，
．
．
∴数轴上点表示的数为．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，数轴与实数，尺规作图——作一条线段等于已知线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
分类讨论，分别表示出点P位于线段AB上、点P位于线段BC上、点P位于线段MC上时对应的的面积，判断函数图像，选出正确答案即可．
【详解】
由点M是CD中点可得：CM=，
（1）如图：当点P位于线段AB上时，即0≤x≤1时，

y==x；
（2）如图：当点P位于线段BC上时，即1<x≤2时，

BP=x－1，CP=2－x，
y===；
（3）如图：当点P位于线段MC上时，即2<x≤时，

MP=，
y===．
综上所述：
．
根据一次函数的解析式判断一次函数的图像，只有C选项与解析式相符．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的实际应用，分类讨论，将分别表示为一次函数的形式是解题关键．
二、填空题
9．x≥2且x≠3
【解析】
【分析】
要使有意义，则分母不为0，且分子二次根式的被开方数非负，则可求得x的取值范围．
【详解】
由题意得： ，解不等式组得：x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
【点睛】
本题是求使式子有意义的自变量的取值范围的问题，涉及二次根式的意义，分母不为零，不等式组的解法等知识；一般地，当式子为分式时，分母不为零；当式子中含有二次根式时，要求被开方数非负．
10．A
解析：
【解析】
【分析】
首先根据菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】
如图，，

∵四边形ABCD是菱形，
∴，
，
，
，
，
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和面积，勾股定理，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
11．36cm2
【解析】
【分析】
利用勾股定理求正方形边长，从而求正方形的面积．
【详解】
解：由题意可知：正方形的边长为：
∴正方形的面积为：6²=36
故答案为：36 cm2．
【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形，题目比较简单，正确计算是解题关键．
12．
【分析】
先证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解再求解 再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】
解： 矩形，为对角线的交点，，

是等边三角形，

,

故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.
13．
【分析】
根据函数的概念：函数中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应，解答即可．
【详解】
解：设挂重为，则弹簧伸长为，
挂重后弹簧长度与挂重之间的函数关系式是：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的问题，解题关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．
14．A
解析：AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）
【分析】
可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
【详解】
解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE=DF=AE=AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴AE=BE，AF=FC，
应有DE=BE，DF=CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD=CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB=AC或∠B=∠C．
则当△ABC满足条件AB=AC或∠B=∠C时，四边形AEDF是菱形．
故答案为：AB=AC（或∠B=∠C，或BD=DC）．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．
15．（0，）
【分析】
把x=0和y=0分别代入y=x+1，求出A，B两点的坐标，过D作DE垂直于x轴，证△DEA≌△AOB，证出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐标；先作出D关于y轴的对称点D′，
解析：（0，）
【分析】
把x=0和y=0分别代入y=x+1，求出A，B两点的坐标，过D作DE垂直于x轴，证△DEA≌△AOB，证出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐标；先作出D关于y轴的对称点D′，连接CD′，CD′与y轴交于点M，则MD′=MD，求出D′的坐标，进而求出CD′的解析式，即可求解．
【详解】
解：y=x+1，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0）、B的坐标为（0，1），OA=2，OB=1，
由勾股定理得：AB=，
过D作DE垂直于x轴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DEA=∠DAB=∠AOB=90°，AD=AB=CD=，
∴∠DAE+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAE=∠ABO，
在△DEA与△AOB中，
，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴OA=DE=2，AE=OB=1，
∴OE=3，
所以点D的坐标为（-3，2），
同理：点C的坐标为（-1，3），
作D关于y轴的对称点D′，连接CD′，CD′与y轴交于点M，
∴MD′=MD，MD′+MC=MD+MC，此时MD′+MC取最小值，

∵点D（-3，2）关于y轴的对称点D′坐标为（3，2），
设直线CD′解析式为y=kx+b，
把C（-1，3），D′（3，2）代入得：，
解得：，
∴直线CD′解析式为y=x+，
令x=0，得到y=，
则M坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【点睛】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能求与x轴y轴的交点坐标和理解有关最小值问题是解本题的关键，难点是理解MD+MC的值最小如何求．
16．3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
∵
解析：3
【分析】
利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，
∴AC===8，
∵BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，
∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
设CE=x，则DE=AE=AC-CE=8-x，
∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8-x）2=x2+42，
解得：x=3，
∴CE=3，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可得到答案；
（2）原式从左向右依次计算即可得到答案；
（3）原式根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘
解析：（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可得到答案；
（2）原式从左向右依次计算即可得到答案；
（3）原式根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法以及绝对值的意义代简各项后，再外挂；
（4）原式利用平方差分工和完全平方公式进行计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=
=；
（3）
=
=；
（4）
=
=
=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运算顺序以及灵活运用乘法公式是解答本题的关键．
18．（1）△HBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）△BCH是直角三角形，
理
解析：（1）△HBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=82+62=100，
BC2=100，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；
（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，
∴x2=（x-6）2+82，
解这个方程，得x=，
答：原来的路线AC的长为千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
19．（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB2、BC2、AC2的长，得出，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）判断出AB和AC
解析：（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB2、BC2、AC2的长，得出，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）判断出AB和AC分别为底和高，利用公式直接计算出面积．
【详解】
解：（1）∵，
，
，
，
为直角三角形；
（2）由（1）可知：

；
的面积为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，充分利用网格是解题关键．
20．（1）平行四边；（2）见解析
【分析】
（1）根据平移可得AC∥DF，AC=DF，可得四边形ADFC是平行四边形；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD，由题意可证
解析：（1）平行四边；（2）见解析
【分析】
（1）根据平移可得AC∥DF，AC=DF，可得四边形ADFC是平行四边形；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD，由题意可证CDBF是平行四边形，即可得四边形CDBF是菱形．
【详解】
解：（1）∵平移，
∴AC∥DF，AC=DF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
故答案为：平行四边；
（2）∵△ACB是直角三角形，D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，AD∥FC，
∴BD=CF，
∵AD∥FC，BD=CF，
∴四边形CDBF是平行四边形，
又∵CD=BD，
∴四边形CDBF是菱形．
【点睛】
本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．（1）1+；（2）.
【解析】
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
解析：（1）1+；（2）.
【解析】
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可.
【详解】
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴.
22．（1）y＝﹣0.2x+48；（2）该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【分析】
（1）先变换单位，设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，根据题意列出
解析：（1）y＝﹣0.2x+48；（2）该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【分析】
（1）先变换单位，设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，根据题意列出函数关系式；
（2）根据用该列车全部车厢的总费用少于45万元列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）6000元＝0.6万元，8000元＝0.8万元，
设用A型车厢x节，则用B型车厢（60﹣x）节，总运费为y万元，
依题意，得y＝0.6x+0.8（60﹣x）＝﹣0.2x+48；
（2）由题意，得﹣0.2x+48＜45，
解得：x＞15，
∵x为正整数，
∴x的最小值为16，
答：该列车全部车厢的总费用少于45万元，则至少挂A型车厢16节．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出函数关系式．
23．（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3）或．
【分析】
（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．从而得出，．
解析：（1）等边三角形；（2）成立，理由见解析；（3）或．
【分析】
（1）根据题意先判断出四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．得出FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．从而得出，．即证明为等边三角形．
（2）先判断出PF，PG是△ABC和△CDE的中位线，再判断出∠FPG＝∠FCH，进而证明△FPG≌△FCH，得出结论FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，最后证明出∠GFH=，即证明△FGH为等边三角形．
（3）①当点E在AE上时，先求出CM，进而求出AM，即可求出AD，再判断出，进而求出BE=AD=2，，即可判断出，再求出BN、EN，进而求出BD，最后即可求出FH，即可得出结果；②当点D在AE的延长线上时同①的方法即可得出结果．
【详解】
（1）∵和都为等边三角形，且边长不相等．
∴，．
∴四边形ABCE和四边形ACDE都是梯形．
又∵F、G、H分别是BC、AE、CD中点，
∴FG为梯形ABCE的中位线，GH为梯形ACDE的中位线．
∴，．
∴，．
∴为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（2）取AC的中点P，连接PF，PG，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，CE＝CD， ∠BAC＝ ∠ACB＝ ∠ECD＝ ∠B＝60°．
又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，
∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB．
∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC＋∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°．
∴∠FPG＝∠FPC＋∠GPC＝60°＋∠GPC，∠GPC＝180°－∠PCE．
∴∠FCH＝360°－∠ACB－∠ECD－∠PCE＝360°－60°－60°－（180°－∠GPC）＝60°＋∠GPC．
∴∠FPG＝∠FCH．
∴△FPG≌△FCH（SAS）．
∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH．
∴∠GFH＝∠GFC＋∠CFH＝∠GFC＋∠PFG＝∠PFC＝60°．
∴△FGH为等边三角形．
所以成立．

（3）①当点D在AE上时，如图，
∵是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
过点C作于M，
∴，
在中，根据勾股定理得，,
在中，根据勾股定理得，,
∴,
∵,
∴，
∴，
连接BE，
在和中，
，
∴（SAS），
∴BE=AD=2, ，
∵，
∴，
∴，
过点B作于N，
∴，在中，，
∴，
∴,DN=DE-EN=3，
连接BD，
根据勾股定理得：，
∵点H是CD中点，点F是BC中点，
∴FH是的中位线，
∴，
由（2）可知，△FGH为等边三角形．
∴△FGH的周长．

②当点D在AE的延长线上时，如图，
同理可求，所以△FGH的周长．

即满足条件的△FGH的周长位或．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线定理．属于几何变换综合题，综合性强，较难．
24．（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）先求直线的解析式，再用含的代数式表示点、点的坐标，将点的坐标代入，解关于的方程即可求出点落在直线上时的值；
（2）先确定矩形与的重叠部分的图形为矩形
解析：（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）先求直线的解析式，再用含的代数式表示点、点的坐标，将点的坐标代入，解关于的方程即可求出点落在直线上时的值；
（2）先确定矩形与的重叠部分的图形为矩形、五边形、梯形、三角形时的取值范围，再按这几种不同的情况分别求出与的关系式；
（3）连接、，则点在上，且，先确定，再证明当点与点重合时的值最小，且此时，求出的值即可得到的最小值．
【详解】
解：（1）如图1，设直线的解析式为，

点在直线上，
，
解得，，
，
，
，，
，
，，，，
当点落在直线上时，则，解得
（2）当点与点重合时，则，解得；
当点与点重合时，则，解得；
当点与点重合时，则，解得，
当时，如图1，，，
；
当时，如图2，设直线交轴于点，则，

，
，
，
设、分别交于点、点，则，，
；
对于，当时，，
，，
，
；
当时，如图3，，

，，
；
当时，如图4，，

综上所述，．
（3）如图4，连接、，由矩形的性质可知，点在上，且，
，
当点落在上，且最小时，的值最小；
如图5，点与点重合，则与重合，

点在上，
，
此时，
，
，
，
；
作轴于点，作于点，则，
由，得，解得，
，
的长就是点到直线的距离，
，
的值最小，此时的值最小，为，
故答案为：．
【点睛】
此题重点考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、用待定系数法求函数关系式及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此时难度较大，属于考试压轴题．
25．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形
解析：（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】
（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.
【详解】
（1）证明：①连接ED、BF，

∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．
在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，

理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；

（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP＝BE，
∵BP+2PD＝4 ，
∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，
∵AB＝4，
∴（2）2+PE2＝2×42，
解得，PE＝2，
∴BE＝2，
∴PD＝2﹣2．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.