人教版初二上册压轴题模拟数学综合检测试题解析(一)[001].doc
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人教版初二上册压轴题模拟数学综合检测试题解析(一) 1.在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点,点C与点A关于y轴对称,点P是x轴正半轴上C点右侧一动点. (1)当2a2+4ab+4b2+2a+1=0时,求A,B的坐标; (2)当a+b=0时, ①如图1,若D与P关于y轴对称,PE⊥DB并交DB延长线于E,交AB的延长线于F,求证:PB=PF; ②如图2,把射线BP绕点B顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=AQ时,求∠APB的大小. 2.阅读理解题: 定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似. 例如:计算:(2﹣i)+(5+3i)=(2+5)+(﹣1+3)i=7+2i; (1+i)×(2﹣i)=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+(﹣1+2)i+1=3+i; 根据以上信息,完成下列问题: (1)填空:i3= ,i4= ,i+i2+i3+…+i2021= ; (2)计算:(1+i)×(3﹣4i)﹣(﹣2+3i)(﹣2﹣3i); (3)已知a+bi=(a,b为实数),求的最小值. 3.阅读材料1: 对于两个正实数,由于,所以,即,所以得到,并且当时, 阅读材料2: 若,则 ,因为,,所以由阅读材料1可得:,即的最小值是2,只有时,即=1时取得最小值. 根据以上阅读材料,请回答以下问题: (1)比较大小 (其中≥1); -2(其中<-1) (2)已知代数式变形为,求常数的值 (3)当= 时,有最小值,最小值为 (直接写出答案). 4.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,3),B(,0),AB =6,作∠DBO=∠ABO,点H为y轴上的点,∠CAH=∠BAO,BD交y轴于点E,直线DO交AC于点C. (1)证明:△ABE为等边三角形; (2)若CD⊥AB于点F,求线段CD的长; (3)动点P从A出发,沿A﹣O﹣B路线运动,速度为1个单位长度每秒,到B点处停止运动;动点Q从B出发,沿B﹣O﹣A路线运动,速度为2个单位长度每秒,到A点处停止运动.两点同时开始运动,都要到达相应的终点才能停止.在某时刻,作PM⊥CD于点M,QN⊥CD于点N.问两动点运动多长时间时△OPM与△OQN全等? 5.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a﹣8b+20=0. (1)求a,b的值; (2)点P在直线AB的右侧;且∠APB=45°, ①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为 ; ②若△ABP为直角三角形,求P点的坐标. 6.等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E. (1)如图(1),已知C点的横坐标为-1,直接写出点A的坐标; (2)如图(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE.求证:∠ADB=∠CDE; (3)如图(3),若点A在x轴上,且A(-4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连结CD交,轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否变化?若变化请说明理由,若不变化,请求出BP的长度. 7.如图,等边中,点在上,延长到,使,连,过点作与点. (1)如图1,若点是中点, 求证:①;②. (2)如图2,若点是边上任意一点,的结论是否仍成立?请证明你的结论; (3)如图3,若点是延长线上任意一点,其他条件不变,的结论是否仍成立?画出图并证明你的结论. 8.我们不妨约定:把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”. (1)如下:①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形,一定是“菠菜四边形”的是________(填序号); (2)如图1,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且∠BAD=∠BCD=90°,AD=AB,AE⊥CD于点E,若AE=4,求四边形ABCD的面积; (3)①如图2,四边形ABCD为“菠菜四边形”,且AB=AD,记四边形ABCD,△BOC,△AOD的面积依次为S,,,若.求证:ADBC; ②在①的条件下,延长BA、CD交于点E,记BC=m,DC=n,求证:. 【参考答案】 2.(1);(2)①见解析;②∠APB=22.5° 【分析】(1)利用非负数的性质求解即可; (2)①想办法证明∠PBF=∠F,可得结论;②如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴 解析:(1);(2)①见解析;②∠APB=22.5° 【分析】(1)利用非负数的性质求解即可; (2)①想办法证明∠PBF=∠F,可得结论;②如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴于H,可得等腰直角△BQF,证明△FQH≌△QBO(AAS),再证明FQ=FP即可解决问题. 【详解】解:(1)∵2a2+4ab+4b2+2a+1=0, ∴(a+2b)2+(a+1)2=0, ∵(a+2b)2≥0 ,(a+1)2≥0, ∴a+2b=0,a+1=0, ∴a=﹣1,b=, ∴A(﹣1,0),B(0,). (2)①证明:如图1中, ∵a+b=0, ∴a=﹣b, ∴OA=OB, 又∵∠AOB=90°, ∴∠BAO=∠ABO=45°, ∵D与P关于y轴对称, ∴BD=BP, ∴∠BDP=∠BPD, 设∠BDP=∠BPD=α, 则∠PBF=∠BAP+∠BPA=45°+α, ∵PE⊥DB, ∴∠BEF=90°, ∴∠F=90°﹣∠EBF, 又∠EBF=∠ABD=∠BAO﹣∠BDP=45°﹣α, ∴∠F=45°+α, ∴∠PBF=∠F, ∴PB=PF. ②解:如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴于H.可得等腰直角△BQF, ∵∠BOQ=∠BQF=∠FHQ=90°, ∴∠BQO+∠FQH=90°,∠FQH+∠QFH=90°, ∴∠BQO=∠QFH, ∵QB=QF, ∴△FQH≌△QBO(AAS), ∴HQ=OB=OA, ∴HO=AQ=PC, ∴PH=OC=OB=QH, ∴FQ=FP, 又∠BFQ=45°, ∴∠APB=22.5°. 【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质,解题的关键是综合运用相关知识解题. 3.(1)﹣i,1,;(2)﹣i﹣6;(3)的最小值为25. 【分析】(1)根据题目所给条件可得i3=i2•i,i4=i2•i2计算即可得出答案; (2)根据多项式乘法法则进行计算,及题目所给已知条 解析:(1)﹣i,1,;(2)﹣i﹣6;(3)的最小值为25. 【分析】(1)根据题目所给条件可得i3=i2•i,i4=i2•i2计算即可得出答案; (2)根据多项式乘法法则进行计算,及题目所给已知条件即可得出答案; (3)根据题目已知条件,a+bi=4+3i,求出a、b,即可得出答案. 【详解】(1)i3=i2•i=﹣1×i=﹣i, i4=i2•i2=﹣1×(﹣1)=1, 设S=i+i2+i3+…+i2021, iS=i2+i3+…+i2021+i2022, ∴(1﹣i)S=i﹣i2022, ∴S=, 故答案为﹣i,1,; (2)(1+i)×(3﹣4i)﹣(﹣2+3i)(﹣2﹣3i) =3﹣4i+3i﹣4i2﹣(4﹣9i2) =3﹣i+4﹣4﹣9 =﹣i﹣6; (3)a+bi====4+3i, ∴a=4,b=3, ∴=, ∴的最小值可以看作点(x,0)到点A(0,4),B(24,3)的最小距离, ∵点A(0,4)关于x轴对称的点为A'(0,﹣4),连接A'B即为最短距离, ∴A'B==25, ∴的最小值为25. 【点睛】此题考查了实数的运算,以及规律型:数字的变化类,弄清题中的新定义是解本题的关键. 4.(1);(2);(3)0,3. 【分析】(1)根据求差法比较大小,由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论. (2)根据材料(2)的方法,把代数式变形为,解答即可; (3)先将变形为,由材料 解析:(1);(2);(3)0,3. 【分析】(1)根据求差法比较大小,由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论. (2)根据材料(2)的方法,把代数式变形为,解答即可; (3)先将变形为,由材料(2)可知时(即x=0,)有最小值. 【详解】解:(1),所以; 当时,由阅读材料1可得,, 所以; (2) , 所以; (3) ∵x≥0, ∴ 即:当时,有最小值, ∴当x=0时,有最小值为3. 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和配方法的应用.读懂材料并加以运用是解题的关键. 5.(1)详见解析;(2)CD=;(3)当两动点运动时间为、、6秒时,△OPM与△OQN全等. 【分析】(1)先证△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB,从而可以得出结论; (2)由(1)知∠ABE 解析:(1)详见解析;(2)CD=;(3)当两动点运动时间为、、6秒时,△OPM与△OQN全等. 【分析】(1)先证△AOB≌△EOB得到AE=BE=AB,从而可以得出结论; (2)由(1)知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,进而得出∠AOF=30°,利用含30°角的直角三角形的性质得到AF、OF的长.再证明∠ACF=∠AOF=30°,∠D=30°,同理得出CF、DF的长,进而可得出结论. (3)设运动的时间为t秒.然后分四种情况讨论:①当点P、Q分别在y轴、x轴上时,;②当点P、Q都在y轴上时,;③当点P在x轴上,Q在y轴且二者都没有提前停止时,;④当点P在x轴上,Q在y轴且点Q提前停止时,,列方程求解即可. 【详解】(1)在△AOB与△EOB中,∵∠AOB=∠EOB,OB=OB,∠EBO=∠ABO,∴△AOB≌△EOB (ASA),∴AO=EO=3,BE=AB=6,∴AE=BE=AB=6,∴△ABE为等边三角形. (2)由(1)知∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°. ∵CD⊥AB,∴∠AOF=30°,∴AF=. 在Rt△AOF中,OF=. ∵∠CAH=∠BAO =60°,∴∠CAF =60°,∠ACF=∠AOF=30°,∴AO=AC. 又∵CD⊥AB,∴CF=. ∵AB=6,AF=,∴BF=. 在Rt△BDF中,∠DBF =60°,∠D=30°,∴BD=. 由勾股定理得:∴DF=,∴CD=. (3)设运动的时间为t秒. ①当点P、Q分别在y轴、x轴上时,,PO=QO得:,解得:(秒); ②当点P、Q都在y轴上时,,PO=QO得:,解得(秒); ③当点P在x轴上,Q在y轴且二者都没有提前停止时,,则PO=QO,得:,解得:,不合题意,舍去. ④当点P在x轴上,Q在y轴且点Q提前停止时,有,解得:(秒). 综上所述:当两动点运动时间为、、6秒时,△OPM与△OQN全等. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质,坐标与图形的性质.正确分类讨论是解题的关键. 6.(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2). 【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可. (2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题. ②分两种情形: 解析:(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2). 【分析】(1)利用非负数的性质解决问题即可. (2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题. ②分两种情形:如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可. 【详解】(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0 ∴(a+2)2+(b﹣4)2=0 ∴a=﹣2,b=4. (2)①如图1中, ∵∠APB=45°,∠POB=90°, ∴OP=OB=4, ∴P(4,0). 故答案为(4,0). ②∵a=﹣2,b=4 ∴OA=2OB=4 又∵△ABP为直角三角形,∠APB=45° ∴只有两种情况,∠ABP=90°或∠BAP=90° ①如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C. ∴∠PCB=∠BOA=90°, 又∵∠APB=45°, ∴∠BAP=∠APB=45°, ∴BA=BP, 又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°, ∴∠ABO=∠BPC, ∴△ABO≌△BPC(AAS), ∴PC=OB=4,BC=OA=2, ∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2, ∴P(4,2). ②如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D. ∴∠PDA=∠AOB=90°, 又∵∠APB=45°, ∴∠ABP=∠APB=45°, ∴AP=AB, 又∵∠BAD+∠DAP=90°, ∠DPA+∠DAP=90°, ∴∠BAD=∠DPA, ∴△BAO≌△APP(AAS), ∴PD=OA=2,AD=OB=4, ∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2, ∴P(2,﹣2). 综上述,P点坐标为(4,2),(2,﹣2). 【点睛】本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题. 7.(1)A(0,1); (2)见解析; (3)不变,BP= 2. 【分析】(1)如图(1),过点C作CF⊥y轴于点F,构建全等三角形:△ACF≌△ABO(AAS),结合该全等三角形的对应边相等易 解析:(1)A(0,1); (2)见解析; (3)不变,BP= 2. 【分析】(1)如图(1),过点C作CF⊥y轴于点F,构建全等三角形:△ACF≌△ABO(AAS),结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度,由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标; (2)过点C作CG⊥AC交y轴于点G,则△ACG≌△ABD(ASA),即得CG=AD=CD,∠ADB=∠G,由∠DCE=∠GCE=45°,可证△DCE≌△GCE(SAS)得∠CDE=∠G,从而得到结论; (3)BP的长度不变,理由如下:如图(3),过点C作CE⊥y轴于点E,构建全等三角形:△CBE≌△BAO(AAS),结合全等三角形的对应边相等推知:CE=BO,BE=AO=4.再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到:△CPE≌△DPB,故BP=EP=2. (1)如图(1),过点C作CF⊥y轴于点F,∵CF⊥y轴于点F,∴∠CFA=90°,∠ACF+∠CAF=90°,∵∠CAB=90°,∴∠CAF+∠BAO=90°,∴∠ACF=∠BAO,在△ACF和△ABO中,,∴△ACF≌△ABO(AAS),∴CF=OA=1,∴A(0,1); (2)如图2,过点C作CG⊥AC交y轴于点G,∵CG⊥AC,∴∠ACG=90°,∠CAG+∠AGC=90°,∵∠AOD=90°,∴∠ADO+∠DAO=90°,∴∠AGC=∠ADO,在△ACG和△ABD中,,∴△ACG≌△ABD(AAS),∴CG=AD=CD,∠ADB=∠G,∵∠ACB=45°,∠ACG=90°,∴∠DCE=∠GCE=45°,在△DCE和△GCE中,,∴△DCE≌△GCE(SAS),∴∠CDE=∠G,∴∠ADB=∠CDE; (3)BP的长度不变,理由如下:如图(3),过点C作CE⊥y轴于点E.∵∠ABC=90°,∴∠CBE+∠ABO=90°.∵∠BAO+∠ABO=90°,∴∠CBE=∠BAO.∵∠CEB=∠AOB=90°,AB=AC,∴△CBE≌△BAO(AAS),∴CE=BO,BE=AO=4.∵BD=BO,∴CE=BD.∵∠CEP=∠DBP=90°,∠CPE=∠DPB,∴△CPE≌△DPB(AAS),∴BP=EP=2. 【点睛】本题考查了三角形综合题.主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理,解决本题的关键是作出辅助线,构建全等三角形. 8.(1)①见解析;②见解析 (2)成立,见解析 (3)成立,见解析 【分析】(1)证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论; (2) 仍然成立,过点D作DM//BC交AC于M,证明,可得结论 解析:(1)①见解析;②见解析 (2)成立,见解析 (3)成立,见解析 【分析】(1)证明,推出,利用等腰三角形的性质,可得结论; (2) 仍然成立,过点D作DM//BC交AC于M,证明,可得结论; (3)结论仍然成立,过点D作DM//BC交AC于M,证明,可得结论. (1) 证明:如图 ①∵为等边三角形, ∴, 又为中点, ∴ , ∵, ∴ , ∴, ∴; ②∵, ∴为等腰三角形, ∵, ∴. (2) 仍然成立,理由如下: 如图,过点D作DM//BC交AC于M ∵为等边三角形, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴,为等边三角形, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, 而, ∴. (3) 的结论仍然成立,理由如下:如图为所求作图. 作交的延长线于, 易证为等边三角形, ,, 而, ∴, ∵,, ∴, ∵,, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴. 【点睛】本题属于三角形的综合题,考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解题的关键是学会添加适当的辅助线,构造全等三角形解决问题. 9.(1)③ ④ (2)16 (3)①见解析;②见解析 【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论; (2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则, 解析:(1)③ ④ (2)16 (3)①见解析;②见解析 【分析】(1)根据菠菜四边形的定义结合各个特殊四边形的定义即可得出结论; (2)过A作,交CB的延长线于F,求出四边形AFCE是矩形,则,求出,得出,有全等的出AE=AF=3,,求出,求出,代入求解即可; (3)记面积为,则,,根据已知条件可得,进而可得,得出 由平分线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分,过点D作于点H,作于点N,则DH=DN,则,由此即可得出结论. (1) 根据菱形于正方形的定义值,一定是菠菜四边形的是菱形与正方形, 故答案为:③④ (2) 如图,过A作,交CB的延长线于F, ∴ 四边形AFCE是矩形 则 四边形AFCE是正方形, 即四边形ABCD的面积为16 (3) ①记, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 如图:作, ∴ ∴ AMAD ∴四边形AMND为平行四边形 ∴ADMN ∴ADBC ②∵ADBC ∴ 又∵AD=AB ∴ ∴ ∴BD平分 如图: ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定,三角形的面积,角平分线的性质,对于同第登高的三角形的面积相等的推到是关键.- 配套讲稿:
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