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5.第四章：二维平面晶体学4-1 群论基础（II）4-1-1 共轭，共轭类2群G中所有元素可分为若干个共轭类，每一元素属于且仅属于G的一个共轭类。定义定义2：群G中的所有相互共轭的元素的集合称为G的一个共轭类。定义定义3：设A,X为两个操作，则满足B=XAX-1的操作B称为与A近似，或称B与A是近似操作。共轭操作要求a,b,x皆为群元素，相似关系A,B,X可不是群元素。若A 是一个方矩阵，则满足B=XAX-1的矩阵B称为A的相似矩阵，相应的变换称为相似变换。互为相似的矩阵间有两个不变量：（1）相似矩阵具有相同的迹。点操作矩阵W的迹Tr(W)不随坐标系选取而变。（2）相似矩阵具有相同的矩阵行列式。点操作矩阵的Det(W)不随坐标系选取而变。34对称操作群中,共轭操作有十分鲜明的几何意义5交换群的每一个元素自成一个共轭类。对于交换群中的任意两个元素a,b,有ab=ba,即a=bab-1交换群中所有元素对任一元素的共轭变换均将这一元素变为自身。即所有操作都将任一操作的对称要素共轭变换为自身。例：单轴群Cn是交换群，群中的任何旋转都不会改变对称轴的位置。例：C2h是交换群。6相似操作也有十分鲜明的几何意义：满足B=XAX-1的操作A，B是同类型的操作，X是使操作A的几何要素与操作B的几何要素重合的操作。相似操作关系WB=XWAX-1可以理解为：在B处完成一件产品（WB）等效于将工厂由B处搬到A处（X-1），然后在A处完成制作（WA）最后将工厂由A处运回B处（X）。引入相似操作的便利在于：在B处不易完成的操作，可转化为在A处完成。7大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点8例：证明定理3-3a例：由定理3-1a说明相似旋转操作的几何意义。9例相似旋转操作的几何意义证明一个重要定理。定理4-1（万花筒原理）：证明：如图，将X轴取在镜面mj上，并使之与镜面mi和mj的交线垂直。反映mi将点（x，y，z）操作至（x，-y，z）。mj对（x，y，z）的操作？把对镜面mj的反映转化对镜面mi 反映的表达式。由相似操作的概念10114-1-2 子群，子群的陪集，子群的陪集展开定义1：设H为群G的一个子群，a为G的一个元素，a左乘H的 每一个元素得到的集合aH称为H的一个左陪集，同理 可定义H的右陪集。定理4-2：1）有限群的子群H的每一左（右）陪集中的元素个数 与H中的个数相同。2）H的任何两个左（右）陪集的两组元素或全部相同 或全不同。定理4-3（Lagrange陪集展开定理）：群G的阶q为其子群H的阶r 的整数倍。证明124-1-3 共轭子群，不变子群定义1：设H为群G的一个子群，g为G的一个元素，则集合 构成一个群，称为H的共轭子群。定义2：若对称操作群中存在着一组对称要素互易位置的操作，则称这组对称要素相互共轭。134-1-4 直积群1.外直积群外直积群G具有如下性质：（1）G满足群的定义。（2）G中两个直积因子群H和P都是G的不变子群。（3）G的阶q=rs。142.半直积群半直积群G具有如下性质：（1）构成群。（2）G中第一直积因子群H是P的不变子群。（3）G的阶q=rs。154-1-5 同构与同态16两个同构群的一一对应关系不会由于运算而改变定理4-4：n阶群A和n阶群B同构的充要条件是乘法表相同所有的二阶群和三阶群都是同构的。有限群的同构具有传递性。17同构允许多一对应184-2 平面晶体学点群4-2-1 点群的直观体现：对称要素系和对称等效点系点群的客体可以是：宏观晶体，微观点阵，晶体各种物理性质的函数空间等。晶体学点群个数：点群平移对称性限定了晶体对称轴的轴次，所以限定了晶体学点群的个数。对称要素系对称要素系 指点群中各对称操作据以进行的，采取一定空间布局的一组对称要素，简称对称系。有限客体的对称系与该客体之点群包含等价的对称性内容。一个点群唯一地对应一种对称系，一种对称系唯一地对应一种点群。点群的封闭性对应于对称系的完整性在点群的任何对称操作前后，对称系守恒。19对称系中的共轭和共轭类借助于点群的对称操作来定义。若群中存在使一组对称要素互易位置（但不可辨别）的操作，则称这组对称要素相互共轭相互共轭。相互共轭的一组对称要素组成共轭对称系共轭对称系。4-2-2 第I类点操作（旋转）构成的点群三维空间的对称轴在二维空间退缩为“对称点”。二维平面点群的对称系中不能有两个或两个 以上不重合对称轴。否则产生平移。204-2-3 包含第II类点操作（反映）的点群平面中的反演等价于二重旋转，二维空间的反演等价于第I类操作。三维空间的对称面在平面空间内退缩为“对称线”。平面点群的对称系中有两个或两个以上的对称面时，这些对称面必然交于一线，形成对称轴。21224-3 平面点阵4-3-1 平面点阵，基矢，晶胞23244-3-2 五种平面点阵依据点阵的点群对称性来推导二维点阵的所有类型。252627284-3-3 点阵点群29304-4 平面空间群I：点式空间群晶体学空间群是微观晶体对称操作的集合。点阵可视为单个单个同种原子作为点阵点的简单晶体点阵这一特殊晶体的空间群如何表示？31324-4-1 点式空间群的构成，13个点式空间群3334（1）.二重旋转与点阵平移的组合：新的二重旋转35（2）.4重旋转与点阵平移的组合：新的4重旋转和二重旋转P4空间群的对称系和对称等效点系。对称图案36（3）.3重旋转与点阵平移的组合：新的3重旋转P3空间群的对称系和对称等效点系。37（4）.6重旋转与点阵平移的组合：P6空间群的对称系和对称等效点系。38（5）.反映与平移的组合：394-4-2 点式空间群的HM符号40讨论：4142P4空间群的对称系和对称等效点系。434-4-3 空间群的基本对称操作，位置点与位置点群444-5 平面空间群II:非点式空间群讨论点式空间群时，有两方面的对称性内容尚未考虑：1）空间群的子空间群。2）滑移对称操作。考虑滑移对称操作，引入模数群。454-5-1 非点式空间群的构成，模数群46自洽条件自洽条件 相容条件相容条件474-5-2 四种非点式空间群48495051524-5-3 点阵点的对称性5354555657