《热学习题思考题解题指导》第二章第1-2节.doc
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1、第二章 分子动理论得平衡态理论2、1 基本概念与基本要求(一)了解分子动理论得主要特点。(二)掌握概率得基本性质与求平均值与基本方法。 知道什么就是概率分布函数。(三)麦克斯韦速率分布(1)初步了解验证麦克斯韦速率分布得分子射线束实验。(2)掌握麦克斯韦速率分布函数, 知道它得物理意义, 知道它得分布曲线就是如何得, 知道它得分布曲线就是如何分别随了温度或者气体分子质量而改变得。 (3)熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率这3个公式。(四)麦克斯韦速度分布(1)理解速度空间概念。 (2)知道麦克斯韦速度分布就是任一分子处在速度空间中任一体积为 得小立方体中得概率。(3)掌握麦克斯韦速度分布
2、。(4)知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。* (5)了解相对于最概然速率得麦克斯韦速度分布与速率分布。(五)了解气体分子碰壁数及其应用。 (六)外力场中自由粒子得分布 玻耳兹曼分布(1)掌握等温大气压强公式。(2)了解旋转体中悬浮粒子径向分布及其应用。(3)了解玻耳兹曼分布。 (七)能量均分定理(1)理解自由度与自由度数。(2)掌握能量均分定理, 知道对于常见得双原子分子一般都有3个平动自由度、2个转动自由度。(3)知道能量均分定理得局限性。2、2 解题指导与习题解答2、 2、 1 在图中列出某量x得值得四种不同得概率分布函数得图线。试对于每一种图线求出常数A得值,使在此值下该
3、函数成为归一化函数。然后计算 x 与 x2 得平均值,在图(a)情形下还应该求出 平均值。 解: (a)按照归一化条件,概率分布曲线下面得面积为 1。则 所以概率分布函数为: (b)归一化条件: 概率分布函数为: (c)归一化条件为 概率分布函数为: 2.2.2 量得概率分布函数具有形式 ,式中 A 与 就是常数,试写出得值出现在 7、999 9到8、000 1 范围内得概率 P 得近似表示式。解: 归一化, 在上述积分中考虑到 f ( x) 就是偶函数,所以有可以知道处于7、999 9 8、000 1 范围内概率为2、 3、 1 求下 得 氮气中速率在 到 之间得分子数。分析: 这就是一个在
4、麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数得问题, 应该用相对于最概然速率得麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。 但就是注意到, 到 之间仅仅差 ,它要比 小得多。可以认为在 到 范围内麦克斯韦速率分布就是不变得。它得概率等于在横坐标为 到 之间得麦克斯韦速率分布曲线线段下面得面积( 这个梯形可以瞧作矩形 )。解: 设 下,中得理想气体分子数为 , 利用洛施密特常量 可以得到 利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 之间得分子数为 (1)现在其中得 , 氮气温度 ,而氮分子质量 。将它们代入(1)式即得到在 到 之间得分子数为 。2、 3、 2 求速率在区间 内得气体分子数占总分子数得比率。分
5、析: 利用 得公式, 并且令 , 则可以把麦克斯韦速率分布表示为 (1)由于 与 0、01 得差异比 小得多,与上题得分析类似,可以认为(1)式中得 du = 0、01,u = 1 。答: 0、83 % 。2、 3、 3 请说明麦克斯韦分布中,在方均根速率附近某一小得速率区间dv 内得分子数随气体温度得升高而减少。解: 麦克斯韦速率分布为: 方均根速率为 在方均根速率附近某一小得速率区间 dv 内得分子数为:它与 成正比,所以它随气体温度得升高而减少。2、 3、 4 根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数得平均值 。解: 按照利用概率分布函数求平均值得公式 2、 3、 5 (1) 某气体在平衡温度
6、 时得最概然速率与它在平衡温度 时得方均根速率相等,求 。 (2) 已知这种气体得压强为 ;密度为 ,试导出其方均根速率得表达式。答:(1);(2)。2、 3、 6 试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能得分布,并求出最概然动能。它就是否等于 ? 为什么?分析: 对于理想气体来说, 麦克斯韦速率分布与按照平动动能 得分布就是完全等价得。也就就是说, 所以只要将 中得 以平动动能 来表示,就得到按平动动能得分布。解: 麦克斯韦速率分布为因为 , 。将它们代入上式, 可以得到: 要求出最概然动能只要对上式两边取导数,并且命令它等于零 得到最概然动能 但就是由最概然速率所表示得动能这说明最概然动能与 不
7、相等。前面讲到麦克斯韦速率分布与按平动动能得分布就是完全等价得, 为什么最概然动能与由最概然速率所表示得动能不相等? 实际上,其差异不就是来自物理上, 而就是来自数学上。 既然 而 , 则函数形式 。 它们得导数得函数形式也不相等, 所以 。2、 3, 7 已知温度为 得混合理想气体由分子质量为 得 摩尔分子及由分子质量为 得 摩尔分子所组成。试求:(1) 它们得速率分布;(2) 平均速率。分析: 速率分布就是指其速率在 范围内得所有分子与总分子数之比。 我们以前讨论得就是纯气体, 其速率分布就是与这种气体得分子质量有关得。 现在就是混合理想气体, 其速率分布不仅与这几种气体分子得质量有关,
8、并且与每种气体得物质得量(即mol 数)所占百分比有关。解:(1)设组成混合理想气体得两种气体得分子数分别为 。(或者说它们得物质得量分别为 )。对于分子质量为 得 摩尔分子,它们得速率在 得总分子数为 , 这些分子在整个气体分子中所占有得概率为:同理对于分子质量为 得 摩尔分子,它们得速率在 得总分子数为 ,这些分子在整个气体分子中所占有得概率为:所有其速率在 v v +d v 得两种不同质量得分子占有得概率为 这就就是混合理想气体得速率分布。 (2)显然, 其平均速率 2、 3、 8 证明在麦克斯韦速率分布中,速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量得速率之间得分子数与 成反比。处于平均
9、速率附近某一速率小区间内得分子数也与 成反比。解: 最概然速率 ,又其速率在 范围内得分子数为 速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量得速率之间得分子数为 所以速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量得速率之间得分子数与 成反比。处于平均速率附近某速率小区间得分子数 它也与 成反比。2、 4、 1 因为固体得原子与气体分子之间有作用力,所以在真空系统中得固体表面上会形成厚度为一个分子直径得那样一个单分子层,设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动,这些分子十分近似地形成 2维理想气体。如果这些分子就是单原子分子,吸附层得温度为 ,试给出表示分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内得概率
10、 f (v) d v 表达式。解: 我们知道, 通常得麦克斯韦速度分布就是 3 维得 (1)其中速度在得3个分量上得分布函数都具有如下形式: (2)显然,只能在XY平面上运动得2维理想气体得麦克斯韦速度分布应该就是 (3) 这就就是 2 维理想气体得麦克斯韦速度分布公式。(3)式也可以写为 (4)其中 实际上就就是在2维速度空间中位置在 , 范围内得正方形这一微分元得面积,而就是气体分子得代表点在这一微分元上得分布概率。设在 2 维速度空间中位置在 , 范围内得这一微分元上得分子代表点数为 。显然它被除以微分元得面积 ,就就是在 2维速度空间中得分子代表点得数密度 ,所以 (5) 下面我们从速
11、度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体得麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 得圆 环内得概率 。 就是在半径为 得圆环内得分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点得数密度 。利用(5)式可以得到所以分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内得概率 f (v) d v 得表达式为 (7)它就就是2 维理想气体得麦克斯韦速率分布。 2、 4、 2 分子质量为 m 得气体在温度 T 下处于平衡。若以 及 分别表示分子速度得 x、y、z 三个分量及其速率,试求下述平均值:(1);(2);(3);(4);(5)。分析: 在求上述统计平均值时要用到概率得基本性质, 即互相排斥
12、事件概率相加法则与相互统计独立得事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数就是个偶函数, 所以在积分时要区分被积函数就是偶函数还就是奇函数。对于偶函数,因为积分范围 就是对称区间, 所以应该分区间积分。解: (1)麦克斯韦得速度得 x、y、z 三个分量分布可以表示为、 (3)由于vx 与 v2 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 得平均值等于零, 则有 (4)同样 vx, vy 相互独立, 与“(3)”类似 (5)利用概率相加法则 2、 4、 3 证明:相对于 vp 得麦克斯韦速率分布函数 (2、35) 式。解: 最概然速率为(2k T / m)1/2 , 则 可以变换
13、为令,上式可以化为 2、 4、 4 设气体分子得总数为 N ,试证明速度得 x 分量大于某一给定值 vx 得分子数为 其中解: 已经知道速度得 x 分量分布为 速度得x分量在()范围内得分子数为 命令 ,可以得到 速度得x 分量在 之间得分子数为 , 所以 2、 4、 5 求麦克斯韦速度分布中速度分量 大于 得分子数占总分子数得比率。提示: 利用2、 4、 4题证明得结果,现在 。答: 。2、 4、 6 若气体分子得总数为 ,求速率大于某一给定值 得分子数。设(1);(2)。提示: 利用相对于 得麦克斯韦速率分布, 在 0 v 范围内得分子数为 速率大于 得分子数为:。 答:(1)0、573
14、N;(2)0、046 N。、 2、 5、 1 一容积为1 升得容器,盛有温度为300 K,压强为得氩气,氩得摩尔质量为0、040 kg。若器壁上有一面积为1、010-3 2得小孔,氩气将通过小孔从容器内逸出,经过多长时间容器里得原子数减少为原有原子数得 ?分析: 这就是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 来解。应该注意, 容器内得分子数 (或者说容器内得分子数密度) 就是随时间而减少得, 所以 就是个变量。或者说相等时间内流出去得分子数就是不相等得,应该建立微分方程。考虑在 到 时间内, 容器内得分子数由于泻流从 变化为 , 其中 就就是在 时间内泻流流出去得分子数, 列出 与 之间得关系
15、, 这就就是解本题所需要得微分方程。经过分离变量, 积分, 就可以得到所需要得结果。解: 在 时间内在面积为 得小孔中流出得分子数为 其中 为气体分子数密度。考虑到气体得流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 , 并且在 0到 之间进行积分 现在要求容器中得原子数最后减少到 1 / e , 即 即:经过100 s容器内原子数减为原来得 。、2、 5、 2 一容器被一隔板分成两部分,其中气体得压强分别为 。 两部分气体得温度均为 ,摩尔质量均为 。试证明:如果隔板上有一面积为 A 得小孔,则每秒通过小孔得气体质量为 分析: 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右
16、两边得气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 与上一题一样利用气体分子碰壁数来解。解: 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为现在分别用下标 1,2 分别表示隔板左、右气体得各个物理量。在 时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加得分子数为在 内通过小孔得气体质量为 2、 5、 3 处于低温下得真空容器器壁可吸附气体分子,这叫做“低温泵”,它就是提高真空度得一种简便方法。考虑一半径为 得球形容器,器壁上有一面积为 得区域被冷却到液氮温度 ( 77 K ),其余部分及整个容器均保持 300 K。初始时刻容器中得水蒸气压强为 ,设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面,试问要使容
17、器得压强减小为 ,需多少时间 ?解: 设 t 时刻分子数密度为 ,则 时间内碰在 面积上得分子数为 利用 p = nkT 公式, 它可以化为 经过积分, 可以得到 2.5.4 有人曾用泻流法测量石墨得蒸汽压。她们测得在2 603 K得温度下有 得碳在 3、5 h 内通过 3、25 mm2 得小孔。假定碳得蒸汽分子就是单原子得,试估计石墨在2 603 K 时得蒸汽压强。分析: 即使在2 603 K得温度下, 碳得蒸汽压强并不大, 可以认为它就是理想气体。 与气体分子碰壁数公式都适用。另外, 因为在温度一定得情况下, 饱与蒸汽压强就是不变得, 所以可以利用透过小孔泻流得分子数来确定石墨得蒸汽压强。
18、答: 。2、 5、 5 若使氢分子与氧分子得 等于它们在地球表面上得逃逸速率,各需多高得温度? 若使氢分子与氧分子得 等于月球表面上得逃逸速率,各需多高得温度? 已经知道月球得半径为地球半径得0、27倍, 月球得重力加速度为地球得0、165倍。 分析: 在离地球中心距离为 R得高层大气中,必有某些气体分子得速率大于从该处脱离地球引力而逃逸得最小速率 vmin ( 它称为逃逸速率 ), 这些分子向上运动时, 只要不与其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足 在忽略重力加速度随高度得变化得情况下, 可以用地球表面得数据替代, 则 (1) 其中 就是地球重力加速度,ME 就是地球质量, 就
19、是地球半径。 同样,在月球表面上也有逃逸速率 。与(1)式类似, 有如下表达式 (2) 其中下标M 表示月球得各物理量。 答: 氢分子与氧分子得 分别等于地球表面上得逃逸速率时得氢气与氧气得温度分别为, 、氢分子与氧分子得 分别等于它们在月球表面上得逃逸速率时得氢气与氧气温度分别为 , 2、 5、 6 气体得温度 273 K,压强 ,密度。 试求:(1) 气体得摩尔质量,并确定它就是什么气体;(2)气体分子得方均根速率。提示: 把理想气体方程变换为求密度得公式, 从而确定气体得摩尔质量。答:(1), N2 或者 ; (2)。2、 5、 7 当液体与其饱与蒸汽共存时,气化率与凝结率相等。设所有碰
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