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信息学奥赛一本通堆及其应用C版.pptx
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1、第三节第三节 堆及其应用堆及其应用一、预备知识一、预备知识完全二叉树完全二叉树:如果一棵深度为K二叉树,1至k-1层的结点都是满的,即满足2i-1,只有最下面的一层的结点数小于2i-1,并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置,则此二叉树称为完全二叉树。二、堆的定义二、堆的定义 堆结构是一种数组对象,它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个结点与数组中存放该结点中值的那个元素相对应,如下图:三、堆的性质三、堆的性质 设数组A的长度为len,二叉树的结点个数为size,sizelen,则Ai存储二叉树中编号为i的结点值(1isize),而Asize以后的元素并不属于相应的堆,树的根为A1,并
2、且利用完全二叉树的性质,我们很容易求第i个结点的父结点(parent(i))、左孩子结点(left(i)、右孩子结点(right(i)的下标了,分别为:i/2、2i、2i+1;更重要的是,堆具有这样一个性质,对除根以外的每个结点i,Aparent(i)Ai。即除根结点以外,所有结点的值都不得超过其父结点的值,这样就推出,堆中的最大元素存放在根结点中,且每一结点的子树中的结点值都小于等于该结点的值,这种堆又称为“大根堆”;反之,对除根以外的每个结点i,Aparent(i)Ai的堆,称为“小根堆”。四、堆的操作四、堆的操作用堆的关键部分是两个操作:put操作,即往堆中加入一个元素;get操作,即从
3、堆中取出并删除一个元素。1、往堆中加入一个元素的算法(put)如下:(1)在堆尾加入一个元素,并把这个结点置为当前结点。(2)比较当前结点和它父结点的大小 如果当前结点小于父结点,则交换它们的值,并把父结点置为当 前结点。转(2)。如果当前结点大于等于父结点,则转(3)。(3)结束。重复n次put操作,即可建立一个小根堆。我们举一个例子看看具体过程:设n=10,10堆的数量分别为:3 5 1 7 6 4 2 5 4 1。设一个堆结构heap11,现在先考虑用put操作建一个小根堆,具体方法是每次读入一个数插入到堆尾,再通过调整使得满足堆的性质(从堆尾son=len开始,判断它与父结点son/2
4、的大小,若heapson=heapson/2为止)。开始时堆的长度len=0。实际上,我们也可以直接用完全二叉树的形式描述出这个过程,得到如下的一棵完全二叉树(堆):void put(int d)/heap1为堆顶int now,next;heap+heap_size=d;now=heap_size;while(now 1)next=now 1;if(heapnow=heapnext)break;swap(heapnow,heapnext);now=next;使用C+标准模板库STL(需要头文件):void put(int d)heap+heap_size=d;/push_heap(heap+
5、1,heap+heap_size+1);/大根堆push_heap(heap+1,heap+heap_size+1,greater();/小根堆2、从堆中取出并删除一个元素的算法(get)如下:(1)取出堆的根结点的值。(2)把堆的最后一个结点(len)放到根的位置上,把根覆盖掉。把堆 的长度减一。(3)把根结点置为当前父结点pa。(4)如果pa无儿子(palen/2),则转(6);否则,把pa的两(或一)个儿子中值最小的那个置为当前的子结点son。(5)比较pa与son的值,如果fa的值小于或等于son,则转(6);否则,交换这两个结点的值,把pa指向son,转(4)。(6)结束。int g
6、et()/heap1为堆顶int now=1,next,res=heap1;heap1=heapheap_size-;while(now*2=heap_size)next=now*2;if(next heap_size&heapnext+1 heapnext)next+;if(heapnow=heapnext)break;swap(heapnow,heapnext);now=next;return res;使用C+标准模板库STL(需要头文件):int get()/pop_heap(heap+1,heap+heap_size+1);/大根堆pop_heap(heap+1,heap+heap_s
7、ize+1,greater();/小根堆return heapheap_size-;五、堆的应用五、堆的应用例1、合并果子(fruit)【问题描述】在一个果园里,多多已经将所有的果子打了下来,而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。每一次合并,多多可以把两堆果子合并到一起,消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出,所有的果子经过n-1次合并之后,就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。因为还要花大力气把这些果子搬回家,所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1,并且已知果子的种类数和每种果子的数目,你的任务是设计出
8、合并的次序方案,使多多耗费的体力最少,并输出这个最小的体力耗费值。例如有3种果子,数目依次为1,2,9。可以先将 1、2堆合并,新堆数目为3,耗费体力为3。接着,将新堆与原先的第三堆合并,又得到新的堆,数目为12,耗费体力为 12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。【输入文件】输入文件fruit.in包括两行,第一行是一个整数n(1=n=30000),表示果子的种类数。第二行包含n个整数,用空格分隔,第i个整数ai(1=ai=20000)是第i种果子的数目。【输出文件】输出文件fruit.out包括一行,这一行只包含一个整数,也就是最小的体力耗费值。输入数据
9、保证这个值小于231。【样例一输入】31 2 9【样例一输入】103 5 1 7 6 4 2 5 4 1【样例一输出】15【样例一输出】120【数据规模】对于30%的数据,保证有n=1000;对于50%的数据,保证有n=5000;对于全部的数据,保证有n=30000。【问题分析】1、算法分析 将这个问题换一个角度描述:给定n个叶结点,每个结点有一个权值Wi,将它们中两个、两个合并为树,假设每个结点从根到它的距离是Di,使得最终(wi*di)最小。于是,这个问题就变为了经典的Huffman树问题。Huffman树的构造方法如下:(1)从森林里取两个权和最小的结点;(2)将它们的权和相加,得到新的
10、结点,并且把原结点删除,将新结点插入到森林中;(3)重复(1)(2),直到整个森林里只有一棵树。2、数据结构 很显然,问题当中需要执行的操作是:(1)从一个表中取出最小的数(2)插入一个数字到这个表中。支持动态查找最小数和动态插入操作的数据结构,我们可以选择用堆来实现。因为取的是最小元素,所以我们要用小根堆实现。用堆的关键部分是两个操作:put操作,即往堆中加入一个元素;get操作,即从堆中取出并删除一个元素。3、操作实现 整个程序开始时通过n次put操作建立一个小根堆,然后不断重复如下操作:两次get操作取出两个最小数累加起来,并且形成一个新的结点,再插入到堆中。如1+1=2,再把2插入到堆
11、的后面一个位置,然后从下往上调整,使得包括2在内的数组满足堆的性质即:get和put操作的复杂度均为log2n。所以建堆复杂度为nlog2n。合并果子时,每次需要从堆中取出两个数,然后再加入一个数,因此一次合并的复杂度为3log2n,共n-1次。所以整道题目的复杂度是nlog2n。【参考程序】#include#include using namespace std;int heap_size,n;int heap30001;void swap(int&a,int&b)/加&后变量可修改int t=a;a=b;b=t;void put(int d)int now,next;heap+heap_s
12、ize=d;now=heap_size;while(now 1)next=now 1;if(heapnow=heapnext)return;swap(heapnow,heapnext);now=next;int get()int now,next,res;res=heap1;heap1=heapheap_size-;now=1;while(now*2=heap_size)next=now*2;if(next heap_size&heapnext+1 heapnext)next+;if(heapnow n;for(i=1;i x;put(x);for(i=1;i n;i+)/取、统计、插入x=g
13、et();y=get();/也可省去这一步,而直接将x累加到heap1然后调整ans+=x+y;put(x+y);cout ans endl;int main()freopen(fruit.in,r,stdin);freopen(fruit.out,w,stdout);ios:sync_with_stdio(false);/优化。打消iostream的输入输出缓存,使得cin cout 时间和printf scanf 相差无几work();return 0;使用C+标准模板库STL:#include#include#include using namespace std;int n;prior
14、ity_queueint,vector,greater h;/优先队列 void work()int i,x,y,ans=0;cin n;for(i=1;i x;h.push(x);for(i=1;i n;i+)/取、统计、插入x=h.top();h.pop();y=h.top();h.pop();ans+=x+y;h.push(x+y);cout ans endl;int main()freopen(fruit.in,r,stdin);freopen(fruit.out,w,stdout);work();return 0;例2、堆排序(heapsort)【问题描述】假设n个数存放在A1.n中
15、,我们可以利用堆将它们从小到大进行排序,这种排序方法,称为“堆排序”。输入两行,第1行为n,第2行为n个整数,每个数之间用1个空格隔开。输出1行,为从小到大排好序的n个数,每个数之间也用1个空格隔开。【问题分析】一种思路是完全按照上一个例题的方法去做。【参考程序1】#include#include using namespace std;int heap_size,n;int heap100001;void swap(int&a,int&b)int t=a;a=b;b=t;void put(int d)int now,next;heap+heap_size=d;now=heap_size;wh
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