13.5.4角平分线---角平分线的判定.ppt

第第13章章 全等三角形全等三角形13.5 逆命题与逆定理逆命题与逆定理第第4 4课时课时 角平分线角平分线角平角平 分线分线的的判定判定1课堂讲解u角平分线的判定角平分线的判定u三角形的角平分线三角形的角平分线2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点角平分线的角平分线的判定判定知知1 1导导这这一定理描述了角平分一定理描述了角平分线线的性的性质质，那么反，那么反过过来会有来会有什么什么结结果呢？果呢？你一定你一定发现发现到角两到角两边边距离相等的点的确在距离相等的点的确在该该角的角的平分平分线线上上.我我们们可以通可以通过过“证证明明”说说明明这这一一结论结论正确正确.探探索索条件条件结论结论性质定理性质定理逆命题逆命题 写写出出该该定定理理与与逆逆命命题题的的条条件件与与结结论论，想想想想看看，其其逆逆命命题题是是否否是是一一个个真真命题？命题？知知1 1讲讲角平分角平分线线的判定定理：的判定定理：角的内部到角两角的内部到角两边边距离距离相等相等的的点在角的平分点在角的平分线线上上(1)书书写格式：写格式：如如图图13.515，PDOA，PEOB，PDPE,点点P在在AOB的平分的平分线线上上(或或AOCBOC)(2)作用：作用：运用角平分运用角平分线线的判定的判定，可以可以证证明两个角明两个角相等相等或一条射或一条射线线是角的平分是角的平分线线（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.515知知1 1讲讲已知已知：如：如图图13.5.5，QD丄丄OA，QE丄丄OB，点，点D、E为为垂垂足足，QD=QE.求求证证：点点Q在在AOB的的平分平分线线上上.分析：分析：为为了了证证明明点点Q在在AOB的平分的平分线线上上，可以作射可以作射线线OQ，然后，然后证证明明RtQDO RtQEO,从而从而得到得到AOQ=BOQ.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）图图13.5.5知知1 1讲讲证证明明：过过点点O、Q作射作射线线OQ.QDOA,QEOB，QDO=BOQ=90.在在RtQDO和和RtQEO中中，OQ=OQ，QD=QE，RtQDO RtQEO,(H.L.),DOQ=EOQ(全等三角形的全等三角形的对应对应角角相等相等).点点Q在在AOB的的平分平分线线上上.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）归 纳知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）角平分角平分线线的判定定理与的判定定理与性性质质定理的关系：定理的关系：(1)如如图图13.516，都都与距离有关：即条件与距离有关：即条件PDOA，PEOB都具都具备备；(2)点在点在角平分角平分线线上上性性质质判定判定点到角两点到角两边边的距离相等的距离相等图图13.516知知1 1讲讲例例1如如图图13.516，BECF，DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，BF和和CE相交于点相交于点D.求求证证：AD平分平分BAC.导导引：引：要要证证AD平分平分BAC，已知已知条件条件中有两个垂直，即中有两个垂直，即有有点点到角的两到角的两边边的距离，的距离，再再证证这这两个距离相等即可两个距离相等即可证证明明结论结论，证这证这两条垂两条垂线线段段相等相等，可通，可通过证过证明明BDE和和CDF全等来完成全等来完成（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）图图13.516知知1 1讲讲证证明明：DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，DEBDFC90.在在BDE和和CDF中中，BDECDF，DEBDFC，BECF，BDECDF，DEDF.又又DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，AD平分平分BAC.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）判定角平分判定角平分线线的两步：的两步：(1)找出与角的两找出与角的两边边都垂直的垂都垂直的垂线线段；段；(2)证证明两条垂明两条垂线线段相等段相等知知1 1讲讲例例2如如图图13.517，在，在ABC中，中，ABC100，ACB20，点，点E在在ACB的平分的平分线线上，上，D是是AC上一点，若上一点，若CBD20，求，求ADE的度数的度数（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.517知知1 1讲讲解解：如如图图13.517，作，作ENCA于点于点N，EMBD于点于点M，EPCB交交CB的延的延长线长线于点于点P，ABDABCCBD1002080，PBA18010080，PBAABD.EMBD于点于点M，EPCB于点于点P，EPEM.又又点点E在在ACB的平分的平分线线上，上，ENCA，EPCB，ENEP，ENEM，DE平分平分ADB.ADBACBCBD40，ADEADB4020.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本本题题根据角的和差关系根据角的和差关系计计算有关角的度数，利用角算有关角的度数，利用角平分平分线线的性的性质质定理定理证证明明EPEM和和ENEP，得到，得到ENEM，由角平分，由角平分线线的判定判断的判定判断DE平分平分ADB，便可求出，便可求出ADE的度数的度数知知1 1讲讲例例3如如图图13.518，在，在ABC中，中，请证请证明：明：(1)若若AD为为BAC的平分的平分线线，则则SABD SACD AB AC；(2)设设D为为BC上的一点，上的一点，连结连结AD，若，若SABD SACDAB AC，则则AD为为BAC的平分的平分线线（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）图图13.518知知1 1讲讲证证明明：如如图图13.518，过过D作作DEAB于于E，DFAC于于F.(1)AD平分平分BAC且且DEAB，DFAC，DEDF.SABD SACD（AB DE）（AC DF）AB AC.(2)SABD SACDAB AC，（AB DE）（AC DF）AB AC，DEDF.又又DEAB，DFAC，AD为为BAC的平分的平分线线.（此讲解来源于（此讲解来源于点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）运用角平分运用角平分线线解与面解与面积积有关的有关的问题问题的方法：的方法：首先运用三角形的面首先运用三角形的面积积公式将面公式将面积积关系关系转转化化为为线线段关系，段关系，结结合角平分合角平分线线的性的性质进质进一步一步转转化化为为三角三角形形边长边长之之间间的关系，从而把两者的关系，从而把两者联联系起来，系起来，结结合已合已知条件可解决知条件可解决问题问题1在在正方形网格中，正方形网格中，AOB的位置如的位置如图图所示，到所示，到AOB两两边边距离相等的点距离相等的点应应是是()A点点M B点点N C点点P D点点Q知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2如如图图，在，在ABC中，分中，分别别与与ABC，ACB相相邻邻的的外角的平分外角的平分线线相交于点相交于点F，连连接接AF，则则下列下列结论结论正正确的是确的是()AAF平分平分BCBAF平分平分BACCAFBCD以上以上结论结论都正确都正确知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3如如图图，若点，若点P到到BE，BD，AC的距离恰好相等，的距离恰好相等，则则点点P的位置：的位置：在在B的平分的平分线线上；上；在在DAC的平的平分分线线上；上；在在ECA的平分的平分线线上；上；恰是恰是B，DAC，ECA三条角平分三条角平分线线的交点上述的交点上述结论结论中，中，正确的有正确的有()A1个个B2个个C3个个D4个个知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点三角形的角平分线三角形的角平分线知知2 2讲讲三角形的角平分三角形的角平分线线的性的性质质：三角形三个内角的平：三角形三个内角的平分分线线交于一点且交于一点且这这个点到三个点到三边边的距离相等的距离相等知知2 2讲讲从从图图13.5.6中可以看出，中可以看出，要要证证明三角形明三角形的三条角的三条角平分平分线线交交于于一点一点，只需，只需证证明其中的两条角平分明其中的两条角平分线线的交的交点一定在第三条点一定在第三条角平分角平分线线上上就可以了就可以了.其思路可表示其思路可表示如下如下：试试试试看，看，现现在你会在你会证证明了明了吗吗？（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）图图13.5.6知知2 2讲讲例例4如如图图13.520，CP，BP是是ABC两外角的平分两外角的平分线线，PEAC且与且与AC的延的延长线长线交于点交于点E，PFAB且与且与AB的延的延长线长线交于点交于点F，试试探究探究BC，CE，BF三条三条线线段有什么关系？段有什么关系？导导引：引：点点P是两个角的平分是两个角的平分线线的的交点交点，因此先作，因此先作PDBC，利用角平分利用角平分线线的性的性质质找出找出相等相等的的线线段，探究段，探究BC，CE，BF三条三条线线段的关系段的关系（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）图图13.520知知2 2讲讲解解：如如图图13.520，作，作PDBC，垂足，垂足为为D.CP平分平分BCE，PEAC，PEPD，在在RtPDC和和RtPEC中中，PDPE，PCPC，RtPDC RtPEC，CDCE.同理可同理可证证BDBF.CDBDCEBF，即，即BCCEBF.（此讲解来源于教材）（此讲解来源于教材）总 结知知2 2讲讲探究三条探究三条线线段的关系，就是探究它段的关系，就是探究它们们的和差关系，的和差关系，一般是把一般是把较长较长的的线线段分成两段，利用全等三角形的段分成两段，利用全等三角形的对应对应边边相等得出它相等得出它们们之之间间的关系的关系（来自（来自点拨点拨）1如如图图，ABC的三的三边边AB，BC，CA的的长长分分别为别为40，50，60，其三条角平分，其三条角平分线线交于点交于点O，则则SABO SBCO SCAO_.知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2到到ABC的三条的三条边边距离相等的点是距离相等的点是ABC的的()A三条中三条中线线的交点的交点B三条角平分三条角平分线线的交点的交点C三条高的交点三条高的交点D以上均不以上均不对对知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3到三角形三到三角形三边边距离相等的点的个数是距离相等的点的个数是()A1B2C3D4知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）角的平分角的平分线线的性的性质质与判定定理的关系：与判定定理的关系：(1)都与距离有关，即垂直的条件都都与距离有关，即垂直的条件都应应具具备备(2)点在角的平分点在角的平分线线上上点到点到这这个角两个角两边边的的距离相等距离相等(3)性性质质反映只要是角平分反映只要是角平分线线上的点，到角两上的点，到角两边边的距离的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两就一定相等；判定定理反映只要是到角两边边距离距离相等的点，都相等的点，都应应在角的平分在角的平分线线上上（来自（来自典中点典中点）1运用角平分运用角平分线线的性的性质质解决与面解决与面积积有关的有关的问题问题的方法：首先运用三角形的面的方法：首先运用三角形的面积积公式将面公式将面积积关系关系转转化化为线为线段关系，再段关系，再结结合角平分合角平分线线的性的性质进质进一步一步转转化化为为三角形三角形边长边长之之间间的关系，从的关系，从而把两者建立起关系，而把两者建立起关系，结结合已知条件可解决合已知条件可解决问题问题2过过角平分角平分线线上一点作垂上一点作垂线线是解决有关角平分是解决有关角平分线问题线问题最常用的作最常用的作辅辅助助线线的方法的方法（来自（来自典中点典中点）1.1.必做必做:完成完成教材教材P98P98，T2T22.2.补充补充:完成典中点完成典中点剩余部分的习题剩余部分的习题.