圆锥曲线的知识点归纳与解题方法技巧.pdf

实用标准文案精彩文档圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1.直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 tan,0,)k 2121yykxx点到直线的距离 00(,)P xy0AxByC0022AxByCdAB夹角公式：直线 夹角为，则111222:lyk xblyk xb212 1tan1kkk k（3）弦长公式直线上两点间的距离ykxb1122(,),(,)A x yB xy222121()()ABxxyy 2121ABkxx221212(1)()4kxxx x 12211AByyk（4）两条直线的位置关系（）111222:lyk xblyk xb=-1 1212llk k212121/bbkkll且（）11112222:0:0lAxB yClA xB yC 1212120llA AB B 或者（）1212211221/0llABA BACA C-=0且-111222ABCABC2220A B C 两平行线距离公式实用标准文案精彩文档 距离1122:lykxblykxb122|1bbdk 距离1122:0:0lAxByClAxByC1222|CCdAB2、圆锥曲线方程及性质1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F，F 的距离的12和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段 F F2a2a21FF21FF1，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点 F，F 的距离的差的绝对值等221FF12于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与|F F|不可2a2a122a12忽视。若|F F|，则轨迹是以 F，F 为端点的两条射线，若|F F|，则轨2a12122a12迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程表示的曲线是_（答：双曲线的左支）2222(6)(6)8xyxy2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时1（x12222byax0aby2222bxay）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同0ab22AxByC号，AB）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)xymnmnmn且 距离式方程：2222()()2xcyxcya 参数方程：cos,sinxayb 若，且，则的最大值是_，的最小值是Ryx,62322 yxyx 22yx _（答：）5,2（2）双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：1（x2222byaxy2222bxay）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B 异0,0ab22AxByC号）。如设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线 C 过O1F2F2e点，则 C 的方程为_（答：）)10,4(P226xy实用标准文案精彩文档（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向22(0)ypx p22(0)ypx p 上时，开口向下时。22(0)xpy p22(0)xpy p 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。x2y2如已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是12122mymx_（答：）)23,1()1,(U（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；x2y2（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。a222abcc222cab4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：12222byax0ab；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，,axabyb (,0)c0,0 xy一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为 2，短轴长为 2；(,0),(0,)abab准线：两条准线；离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；2axc cea01ee越大，椭圆越扁。e如（1）若椭圆的离心率，则的值是_（答：3 或）；1522myx510em325（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：）22（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；22221xyab0,0abxa,xa yR焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），(,0)c0,0 xy两个顶点，其中实轴长为 2，虚轴长为 2，特别地，当实轴和虚轴的长(,0)aab相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线22,0 xyk k；离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，2axc cea1e 2e e开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。双曲线的方程的形式有ebyxa 两种 标准方程：221(0)xym nmn实用标准文案精彩文档距离式方程：2222|()()|2xcyxcya（3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点22(0)ypx p0,xyR，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没(,0)2pp0y 有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线；离心率：，2px cea抛物线。1e 如设，则抛物线的焦点坐标为_（答：）；Raa,024axy)161,0(a5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外00(,)P xy12222byax0ab00(,)P xy；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内2200221xyab00(,)P xy220220byax00(,)P xy2200221xyab6.记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在y轴上时为加下减”。（2）0|xe xa双曲线焦点在轴上时为 （3）11|,|22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在y轴上时为7.椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有11,yxA22,yxBbaM,13422yxAB，；两式相减得1342121yx1342222yx 03422212221yyxx=3421212121yyyyxxxxABkba432、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点0 实用标准文案精彩文档，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体1122(,),(,)A x yB xy 1 2 1 2消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点 A、B、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意ykxb味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆上，且点 A 是椭圆短轴的一805422 yx个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程;（2）若角 A 为，AD 垂直 BC 于 D，试求点 D 的轨迹方程.090分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为可得出 ABAC，从而得090，然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；016)(14212121yyyyxx解：（1）设 B（,）,C(,),BC 中点为(),F(2,0)则有1x1y2x2y00,yx11620,1162022222121yxyx两式作差有 (1)016)(20)(21212121yyyyxxxx04500kyxF(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代2321 xx30 x03421 yy20y入（1）得56k直线 BC 的方程为02856 yx2)由 ABAC 得 （2）016)(14212121yyyyxx设直线 BC 方程为，得8054,22yxbkxy代入080510)54(222bbkxxk，2215410kkbxx222154805kbxx实用标准文案精彩文档 代入（2）式得2222122154804,548kkbyykkyy，解得或0541632922kbb)(4 舍b94b直线过定点（0，设 D（x,y），则，即)941494xyxy016329922yxy所以所求点 D 的轨迹方程是。)4()920()916(222yyx4、设而不求法例 2、如图，已知梯形 ABCD 中，点 E 分有向线段所成的比CDAB2AC为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点当时，求双曲4332线离心率 的取值范围。e分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设 CxOy，代入，求得，进而求得再代入，hc,212222byaxh L,EExyLL12222byax建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可(,)0f a b c(,)0f eh采取设而不求的解题策略,建立目标函数，整理,化繁为简.(,)0f a b c(,)0f e 解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为轴，直线 AB 为轴，建立直角坐标系yx，则 CD轴因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知xOyyC、D 关于轴对称 y依题意，记 A，C，E，其中为双曲线0 ,chc,200,yx|21ABc 的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得h ，122120cccx10hy设双曲线的方程为，则离心率12222byaxace 实用标准文案精彩文档由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和代入双曲线方程得ace ，14222bhe 11124222bhe由式得 ，14222ebh将式代入式，整理得 ，214442e故 1312e由题设得，433243231322e解得 107 e所以双曲线的离心率的取值范围为 10,7分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回,AEAC,AEAC,E C避的计算,达到设而不求的解题策略h 解法二：建系同解法一，,ECAEaexACaex，又，代入整理，由题设22121Ecccx 1AEAC1312e得，433243231322e解得 107 e所以双曲线的离心率的取值范围为 10,75、判别式法例 3 已知双曲线，直线 过点，斜率为，当时，双曲122:22xyCl0,2Ak10 k线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为，试求的值及此时点 B 的坐标。l2k实用标准文案精彩文档分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 平行的直线，必与双曲线 C 相切.而相切的代数表现形式是所构造方l程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路：010)2(:kxkylkkkxyl2222:的值解得k解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 的距离为”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解l2题思路：简解：设点为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 的距离为：)2,(2xxMl 212222kkxkx10 k 于是，问题即可转化为如上关于的方程.x由于，所以，从而有10 kkxxx22.222222kxkxkxkx于是关于的方程x )1(22222kkxkx把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式0直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为2转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程有唯一解10212222kkkxkx实用标准文案精彩文档 02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx .02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk 由可知：10 k 方程的二根同正，故 022)1(22)1(22122222kkxkkkxk恒成立，于是等价于02)1(22kxkk.022)1(22)1(22122222kkxkkkxk由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .x0552k点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 4 已知椭圆 C:和点 P（4，1），过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，在线段 AB 上取点 Q，使，求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率作为),(yxQk参数，如何将与联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题yx,k目条件：来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到，要)(82)(4BABABAxxxxxxx建立与的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可.xk通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.实用标准文案精彩文档在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关 kfx 于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可yx,1)4(xky41xyk kfx 得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设，则由可得：，),(),(,2211yxQyxByxA，QBAQPBAPxxxxxx212144解之得：（1）)(82)(4212121xxxxxxx设直线 AB 的方程为：，代入椭圆 C 的方程，消去得出关于 x 的1)4(xkyy一元二次方程：（2）08)41(2)41(412222kxkkxk .128)41(2,12)14(42221221kkxxkkkxx代入（1），化简得：(3).234kkx与联立，消去得：1)4(xkyk.0)4(42xyx在（2）中，由，解得，结合（3）可求得 02464642kk41024102k.910216910216x故知点 Q 的轨迹方程为：（）.042 yx910216910216x点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别将直线方程代入椭圆方程，消去 y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程：y=k(x4)+1，消去参数 k点 Q 的轨迹方程QBAQPBAP)(82)(4BABABAxxxxxxx kfx 实用标准文案精彩文档式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.6、求根公式法例 5 设直线 过点 P（0，3），和椭圆顺次交于 A、B 两点，试求的取lxy22941值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,问题的APPBBAxx根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析 1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量BAxx，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量直线ABBAxx,的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程BAxx,代入椭圆方程，消去 y 得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.x简解 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得;l51PBAP当 与 x 轴不垂直时，设，直线 的方程为：，代入椭l)(,2211yxByxA，l3 kxy所求量的取值范围把直线 l 的方程 y=kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA=f（k），xB=g（k）得到所求量关于 k 的函数关系式求根公式AP/PB=（xA/xB）由判别式得出 k 的取值范围实用标准文案精彩文档圆方程，消去得y045544922kxxk解之得 .4959627222,1kkkx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑的情形.0k当时，0k4959627221kkkx4959627222kkkx所以=.21xxPBAP5929592922kkkk59291812kkk25929181k由 ,解得，049180)54(22kk952k所以 ，综上 .51592918112k511PBAP分析 2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求k量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用k韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的21xxPBAP21,xx方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.21,xx简解 2：设直线 的方程为：，代入椭圆方程，消去得l3 kxyy （*）045544922kxxk则.4945,4954221221kxxkkxx把直线 l 的方程 y=kx+3 代入椭圆方程，消去y 得到关于 x 的一元二次方程xA+xB=f（k），xA xB=g（k）构造所求量与 k 的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB=（xA/xB）由判别式得出 k 的取值范围实用标准文案精彩文档令，则，21xx.20453242122kk在（*）中，由判别式可得，,0952k从而有 ，所以 ，解得 .5362045324422kk536214551结合得.10151综上，.511PBAP点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1FBAF，1OF（）求椭圆的标准方程；（）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：（）2,1ab写出椭圆方程由，1AFFBuuu ruu u r1OF uuu r，()()1ac ac1c 实用标准文案精彩文档 （）消元 解题过程：（）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c 又1FBAF即 22()()1acacac，22a 故椭圆方程为2212xy （）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心，则设1122(,),(,)P x yQ xy，(0,1),(1,0)MF，故1PQk，于是设直线l为 yxm，由2222yxmxy得，2234220 xmxm 12210(1)(1)MP FQx xyyuuu r uuu r 又(1,2)iiyxm i得1221(1)()(1)0 x xxm xm 即212122()(1)0 x xxxmmm 由韦达定理得222242(1)033mmmmm 解得43m 或1m（舍）经检验43m 符合条件1PQk由 F 为的重心PQM,PQMF MPFQ2222yxmxy2234220 xmxm两根之和，两根之积0MPFQu u u ru u u r得出关于m 的方程解出 m实用标准文案精彩文档点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A、(2,0)B、31,2C三点（）求椭圆E的方程：（）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)FH，当 内切圆的面积最大时，求 内心的坐标；DFHDFH思维流程：（）（）解题过程：（）设椭圆方程为，将(2,0)A、122 nymx0,0nm(2,0)B、3(1,)2C代入椭圆E的方程，得41,914mmn解得11,43mn.椭圆E的方程22143xy（）|2FH，设 边上的高为DFHhhSDFH221 当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以的最大值为3DFHS 设 的内切圆的半径为R，因为 的周长为定值 6所以，DFHDFH得出点坐标为D33,0由椭圆经过 A、B、C 三点设方程为122 nymx得到的方程nm,组解出nm,由内切圆面积最大DFH转化为面积最大DFH转化为点的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点D面积最大值为DFH3内切圆周长rSDFH2133内切圆r实用标准文案精彩文档621RSDFH 所以R的最大值为33所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.点石成金：的内切圆的内切圆的周长rS21例 8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于)01(，C5322 yxC两点.AB，（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；AB12AB（）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；xMMBMAM若不存在，请说明理由.思维流程：（）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，ABAB(1)yk x将代入，消去整理得 (1)yk x5322 yxy2222(31)6350.kxk xk设 1122()()A xyB xy，则 4222122364(31)(35)0 (1)6.(2)31kkkkxxk ，由线段中点的横坐标是，得，解得，符合题AB122122312312xxkk 33k 意。所以直线的方程为，或.AB310 xy 310 xy（）解：假设在轴上存在点，使为常数.x(,0)M mMBMA 当直线与轴不垂直时，由（）知 ABx 22121222635 .(3)3131kkxxx xkk，所以212121212()()()()(1)(1)MA MBxm xmy yxm xmkxxuuu r uuu r 将代入，整理得 22221212(1)()().kx xkm xxkm(3)实用标准文案精彩文档222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMA MBmmkkuuu r uuu r2216142.33(31)mmmk注意到是与无关的常数，从而有，此时 MBMAk761403mm，4.9MA MBuuu r uuu r 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当ABxAB，221133 ，、，时，亦有 73m 4.9MA MBuuu r uuu r 综上，在轴上存在定点，使为常数.x703M，MBMA点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131mkmmkMA MBmmkkuuu r uuu r 2216142.33(31)mmmk例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点M（2，1），平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m（m0），交椭圆于 A、B 两个不同ll点。（）求椭圆的方程；（）求 m 的取值范围；（）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax则 椭圆方程为2811422222bababa解得12822yx（）直线l平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m又 KOM=21mxyl21的方程为：实用标准文案精彩文档由0422128212222mmxxyxmxy直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点，0,22,0)42(4)2(22mmmm且解得（）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可设 42,2),(),(221212211mxxmxxyxByxA且则21,21222111xykxyk由可得042222mmxx42,222121mxxmxx而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121xxxyxyxyxykk)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4)(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx00)2)(2(444242212122kkxxmmmm故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形021 kk例 10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距12222byax332e),0(),0,(bBaA离是.23实用标准文案精彩文档（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点 C，D 且C，D都在以B为圆心的)0(5kkxy圆上，求k的值.思维流程：解：（1）原点到直线AB：的距离,332ac1byax.3,1.2322abcabbaabd 故所求双曲线方程为.1322 yx（2）把中消去y，整理得.33522yxkxy代入07830)31(22kxxk 设的中点是，则CDyxDyxC),(),(2211),(00yxE .11,315531152002002210kxykkkxykkxxxBE ,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求k=.7点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBECD;例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆C的标准方程；（II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB:l为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l思维流程：解：（）由题意设椭圆的标准方程为，22221(0)xyabab由已知得：，31acac，实用标准文案精彩文档 椭圆的标准方程为222213acbac，22143xy（II）设1122()()A xyB xy，联立221.43ykxmxy，得，则222(34)84(3)0kxmkxm22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m kkmkmmkxxkmx xk ，即，又22221212121223(4)()()()34mky ykxm kxmk x xmk xxmk因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，AB(2 0)D，即.1ADBDkk 1222211xyxy1212122()40y yx xxx2222223(4)4(3)1540343434mkmmkkkk2271640mmkk解得：，且均满足12227kmkm ，22340km当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；12mk l(2)yk x(2 0)，当时，的方程为，直线过定点227km l27yk x207，所以，直线 过定点，定点坐标为l207，点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CACB;例 12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点 P 在双曲线)0,0(12222babyax21FF、右支上.（）若当点 P 的坐标为时,求双曲线的方程；)516,5413(21PFPF（）若,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.|3|21PFPF e实用标准文案精彩文档思维流程：解：（）(法一)由题意知,1PF)516,5413(c2PF)516,5413(c,（1 分）Q21PFPF,021PFPF)5413(c0)516()5413(2c解得.由双曲线定义得:5,252cc,2|21aPFPF,2222)516()54135()516()54135(2 a6)341()341(22 4,3ba 所求双曲线的方程为:116922yx(法二)因,由斜率之积为,可得解.21PFPF 1（）设,2211|,|rPFrPF(法一)设 P 的坐标为,由焦半径公式得),(ooyx,aexexarexaexaroooo|,|21caxaexexarr2212),(3,3oooQ，,2,2acaaxoQca 2的最大值为 2,无最小值.此时,e31,2222eaacabac此时双曲线的渐进线方程为 xy3(法二)设,.21PFF,0(1)当时,22121423,2rcrrcrr，且Q22122rrra此时.2242222rrace(2)当,由余弦定理得:），（0cos610cos2222222122212rrrrrrc）（,2cos6102cos6102222rrace,综上,的最大值为 2,但 无最小值.(以下法一)1,1(cosQ)2,1(eee实用标准文案精彩文档