2023届江苏省大丰市万盈初级中学数学九上期末教学质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．二次函数y=3(x–2)2–5与y轴交点坐标为( )
A．(0，2) B．(0，–5) C．(0，7) D．(0，3)
2．下列说法正确的是（　　）
A．购买江苏省体育彩票有“中奖”与“不中奖”两种情况，所以中奖的概率是
B．国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是必然事件
C．如果在若干次试验中一个事件发生的频率是，那么这个事件发生的概率一定也是
D．如果车间生产的零件不合格的概率为 ，那么平均每检查1000个零件会查到1个次品
3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（    ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
4．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是(     )

A．△ABC∽△A'B'C' B．点C、点O、点C'三点在同一直线上 C．AO：AA'=1∶2 D．AB∥A'B'
5．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（ ）

A． B．
C． D．
7．有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；
③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．
其中，错误的说法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．在△ABC中，I是内心，∠BIC=130°，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．50° C．65° D．80°
9．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
10．已知与各边相切于点，，则的半径（ ）

A． B． C． D．
11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣12
﹣5
0
3
4
3
利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞2 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
12．已知一元二次方程x2+kx﹣5＝0有一个根为1，k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某商场在“元旦”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的红色、白色乒乓球各两个.顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖.那么顾客摸奖一次，得奖的概率是_______．
14．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______
15．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝______．

16．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为__________.
17．若函数是反比例函数，则________．
18．二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面积为_______________________
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，E为BC上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED绕点E顺时针旋转得到，A′E交AD于P， D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，AED停止转动．
（1）求线段AD的长；
（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与的位置关系，并说明理由；
（3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．

20．（8分）如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（8分）画出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象（要求列表，描点），回答下列问题：
（1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）当y随x的增大而增大时，写出x的取值范围；
（3）若抛物线与x轴的左交点（x1，0）满足n≤x1≤n+1，（n为整数），试写出n的值．
22．（10分）抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），且，，与轴交于点，点的坐标为（0，-2），连接，以为边，点为对称中心作菱形.点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线与点，交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）轴上是否存在一点，使三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点在线段上运动时，试探究为何值时，四边形是平行四边形？请说明理由．

23．（10分）在面积都相等的一组三角形中，当其中一个三角形的一边长为1时，这条边上的高为1．
（1）①求关于的函数解析式；
②当时，求的取值范围；
（2）小明说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，你认为小明的说法正确吗？为什么？
24．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB•BC=BD•BE．

25．（12分）篮球课上，朱老师向学生详细地讲解传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位同学配合朱老师进行传球训练，朱老师把球传给甲同学后，让四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲同学第一个传球时，求甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的概率
26．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答：
（1）点A、C的坐标分别是　　　　 、　　　　 ；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB'C'；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C'所经过的路线长(结果保留π)．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.
【详解】∵y=3（x﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.
2、C
【详解】解：A、购买江苏省体育彩票“中奖”的概率是中奖的张数与发行的总张数的比值，故本项错误；
B、国家级射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本项错误；
C、如果在若干次试验中一个事件发生的频率是，那么这个事件发生的概率一定也是，正确；
D、如果车间生产的零件不合格的概率为，那么平均每检查1000个零件不一定会查到1个次品，故本项错误，
故选C．
【点睛】
本题考查概率的意义，随机事件．
3、A
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”
【详解】设盒子里有白球x个，
根据 得：

解得：x=1．
经检验得x=1是方程的解．
答：盒中大约有白球1个．
故选；A．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
4、C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C'，
∴ △ABC∽△A'B'C' ，点O、C、C'共线，AO：OA'=BO：OB '=1:2，
∴AB∥A'B'，AO：OA'=1:1．
∴A、B、D正确，C错误．
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题的关键．
5、D
【解析】试题分析： A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；
B、由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；
C、由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；
D、正确．
故选D．
考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的图象
6、C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7、B
【分析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．
【详解】解：圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；
弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．
其中错误说法的是①③两个．
故选B．
【点睛】
本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．
8、D
【解析】试题分析：已知∠BIC=130°，则根据三角形内角和定理可知∠IBC+∠ICB=50°，则得到∠ABC+∠ACB=100度，则本题易解．
解：∵∠BIC=130°，
∴∠IBC+∠ICB=50°，
又∵I是内心即I是三角形三个内角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°．
故选D．

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．
9、B
【分析】先用多边形的内角和公式求这个正多边形的边数为n，再根据多边形外角和等于360°,可求得每个外角度数．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180°（n-2）=720°，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．应用方程思想求边数是解题关键．
10、C
【分析】根据内切圆的性质，得到，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，作BG⊥AC于点G，然后求出BG的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径.
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，作BG⊥AC于点G，

∵是的内切圆，
∴，AE=AD=5，BD=BF=2，CE=CF=3，
∴AC=8，AB=7，BC=5，
在Rt△BCG和Rt△ABG中，设CG=x，则AG=，由勾股定理，得：
，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题.
11、C
【分析】函数值y=1对应的自变量值是:-1、3，在它们之间的函数值都是正数．由此可得y＞1时,x的取值范围．
【详解】从表格可以看出,二次函数的对称轴为直线x＝1,故当x＝﹣1或3时,y＝1;
因此当﹣1＜x＜3时,y＞1．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识, 解题的关键是要认真观察,利用表格中的信息解决问题．
12、D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得到关于k的一次方程1﹣5+k＝0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x＝1代入方程得1+k﹣5＝0，
解得k＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解. 熟记一元二次方程解得定义是解决此题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据题意列举出所有情况，并得出两球颜色相同的情况，运用概率公式进行求解．
【详解】解：一次摸出两个球的所有情况有（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2），（白1，白2）6种，其中两球颜色相同的有2种．
所以得奖的概率是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查概率的概念和求法，熟练掌握概率的概念即概率=所求情况数与总情况数之比和求法是解题的关键．
14、m=-1
【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，
而m-1≠0，
所以m的值为-1．
故答案是：-1．
【点睛】
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
15、1﹣1
【分析】连接OC，作EF⊥OC于F，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC=30°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ECF=15°，根据正切的定义列式计算，得到答案．
【详解】连接OC，作EF⊥OC于F，

∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，
∴CE=CA，
∵=，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=75°，
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=75°，
∴∠ACE=30°，
∴∠ECF=∠OCA-∠ACE=75°-30°=15°，
设EF=x，则FC=x，
在Rt△EOF中，tan∠EOF=，
∴OF==，
由题意得，OF+FC=OC，即x+x=1，
解得，x=2﹣2，
∵∠EOF=30°，
∴OE=2EF=1﹣1，
故答案为：1﹣1．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16、
【分析】直接根据弧长公式即可求解．
【详解】∵扇形的半径为8cm，圆心角的度数为120°，
∴扇形的弧长为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式．
17、-1
【分析】根据反比例函数的定义可求出m的值．
【详解】解：∵函数是反比例函数
∴
解得，．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的定义，比较基础，易于掌握．
18、3
【分析】根据解析式求出A、B、C三点的坐标，即△ABC的底和高求出，然后根据公式求面积．
【详解】根据题意可得：A点的坐标为(1,0)，B点的坐标为(3,0)，C点的坐标为(0,3)，则AB=2，
所以三角形的面积=2×3÷2=3.
考点：二次函数与x轴、y轴的交点.

三、解答题（共78分）
19、（1）5；（2）∥，理由见解析；（3）
【分析】（1）求出AE＝，证明△ABE∽△DEA，由可求出AD的长；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，证明△PEF∽△QEC，再证△EPQ∽△A'ED'，可得出∠EPQ＝∠EA'D'，则结论得证；
（3）由（2）知PQ∥A′D′，取A′D′的中点N，可得出∠PEM为定值，则点M的运动路径为线段，即从AD的中点到DE的中点，由中位线定理可得出答案．
【详解】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝，
∵∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∴△ABE∽△DEA，
∴，
∴，
∴AD＝5；
（2）PQ∥A′D′，理由如下：
∵，∠AED＝90°
∴＝＝2，
∵AD＝BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，
过点E作EF⊥AD于点F，

则∠FEC＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，
∴∠PEF＝∠CEQ，
∵∠C＝∠PFE＝90°，
∴△PEF∽△QEC，
∴，
∵，
∴，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N，
由（2）知PQ∥A′D′，
∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
∴PM＝ME，
∴∠EPQ＝∠PEM，
∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′
∴∠EPF＝∠NEM，
又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，
∴△PEF∽△EMN，
∴＝为定值，
又∵EF＝AB＝2，
∴MN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段，
∵M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点，
∴M的轨迹为△ADE的中位线，
∴线段PQ的中点M所经过的路径长＝＝．

【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20、 (1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可.
【详解】解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，
∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.
将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，
∴此抛物线的解析式为.
(2)存在，
设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，
当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，
∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．
解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．
　②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.
解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．
类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．
当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，
综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.
21、列表画图见解析；（1）开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，5）；（2）x＜1；（1）n＝﹣1
【分析】根据二次函数图象的画法，先列表，然后描点、连线即可画出该抛物线的图象；
（1）根据画出的抛物线的图象，可以写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）根据函数图象，可以写出当y随x的增大而增大时，x的取值范围；
（1）令y＝0求出相应的x的值，即可得到x1的值，然后根据n≤x1≤n+1，（n为整数），即可得到n的值．
【详解】解：列表：

描点、连线

（1）由图象可知，
该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，5）；
（2）由图象可知，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜1；
（1）当y＝0时，
0＝﹣（x﹣1）2+5，
解得，，，
则该抛物线与x轴的左交点为（+1，0），
∵﹣1＜+1＜﹣2，n≤x1≤n+1，（n为整数），
∴n＝﹣1．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
22、（1）y=x2-x-2;（2）P的坐标为（，0）或（4+2，0）或（4-2，0）或（-4，0）;（3）m=1时.
【分析】（1）根据题意，可设抛物线表达式为，再将点C坐标代入即可；
（2）设点P的坐标为（m，0），表达出PB2、PC2、BC2，再进行分类讨论即可；
（3）根据“当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形”，用m的代数式表达出MQ=DC求解即可 .
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，
故可设抛物线的表达式为：，
将C（0，-2）代入得：-4a=-2，解得：a=
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2
（2）设点P的坐标为（m，0），
则PB2=（m-4）2，PC2=m2+4，BC2=20，
①当PB=PC时，（m-4）2= m2+4，解得：m=
②当PB=BC时，同理可得：m=4±2
③当PC=BC时，同理可得：m=±4（舍去4），
故点P的坐标为（，0）或（4+2，0）或（4-2，0）或（-4，0）；
（3）∵C（0，-2）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，2），
设直线BD的解析式为y=kx+2，又B（4，0）
解得k=-1，
∴直线BD的解析式为y=-x+2；
则点M的坐标为（m，-m+2），点Q的坐标为（m，m2-m-2）
当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形
∴-m+2-(m2-m-2）=2-(-2)
解得m=0(舍去）m=1
故当m=1时，四边形CQMD为平行四边形.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的综合应用，难度适中，解题的关键是灵活应用二次函数的性质与三角形、四边形的判定及性质.
23、（1）①；②；（2）小明的说法不正确．
【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；
②直接利用得出y的取值范围；
（2）直接利用的值结合根的判别式得出答案．
【详解】(1)①，
∵为底，为高，
∴，
∴；
②当时，，
∴当时，的取值范围为：；
(2)小明的说法不正确，
理由：根据小明的说法得：，
整理得：，
∵，，，
∴，
方程无解，
∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4，
∴小明的说法不正确．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
24、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．
（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC2=DE•DB，
∴=，∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
∴∠DAE=∠EBC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC
∴AD2=DE•DB，
同法可得△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，
∵△BCE∽△ADE，
∴∠ADE=∠BCE，
∴△BCE∽△BDA，
∴=，
∴AB•BC=BD•BE．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
25、．
【分析】画出树状图，然后找到甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的结果数多即可得．
【详解】由题意可画如下的树状图：

由树状图可知，共有9种等可能性的结果，其中甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的结果有3种
甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的概率．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26、（1）(1，4)；(5，2)；（2）作图见解析；（3）．
【分析】(1)根据图可得，点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)；
(2)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
(3)在(2)的条件下，先求出AC的长，再求点C旋转到点C′所经过的路线长即可；
【详解】解：
（1）点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)．
故答案为：(1，4)；(5，2)；
（2）如图所示，△AB'C'即为所求；

（3）∵点A坐标为(1，4)；点C坐标为(5，2)，
∴，
∴点C旋转到C′所经过的路线长；
【点睛】
本题主要考查了作图-旋转变换，轨迹，掌握作图-旋转变换是解题的关键.