24.3-正多边形和圆-同步测控优化训练(含答案).pdf

-1-24.324.3 正多边形和圆正多边形和圆一、课前预习一、课前预习(5 分钟训练分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比()A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()A.321 B.432 C.421 D.6433.正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴.4.中心角是 45的正多边形的边数是_.5.已知ABC 的周长为 20,ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4,那么BC=_.二、课中强化二、课中强化(10 分钟训练分钟训练)1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的时，此时该正 n 边形有_条对称轴.322.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()A.B.C.D.264336343.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S4、S6之间的大小关系是()A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S34.已知O 和O 上的一点 A(如图 24-3-1).(1)作O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是O 内接正十二边形的一边.图 24-3-1-2-三、课后巩固三、课后巩固(30 分钟训练分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为()A.B.C.D.6343332332.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为()21A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形3.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm.4.正多边形的一个中心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等于_度.5.如图 24-3-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2，在O1中为内接正三角形的一边，在O23中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图 24-3-26.某正多边形的每个内角比其外角大 100，求这个正多边形的边数.7.如图 24-3-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图 24-3-3-3-8.如图 24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图 24-3-49.用等分圆周的方法画出下列图案：图 24-3-510.如图 24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n)，M、N 分别是O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN，连结 OM、ON.图 24-3-6(1)求图 24-3-6(1)中MON 的度数；(2)图 24-3-6(2)中MON 的度数是_，图 24-3-6(3)中MON 的度数是_；(3)试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案).-4-参考答案参考答案一、课前预习一、课前预习(5 分钟训练分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比()A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化.答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为()A.321 B.432 C.421 D.643思路解析：如图，设正三角形的边长为 a，则高 AD=a，外接圆半径 OA=a，2333边心距 OD=a，63所以 ADOAOD=321.答案：A3.正五边形共有_条对称轴，正六边形共有_条对称轴.思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同.答案：5 64.中心角是 45的正多边形的边数是_.思路解析：因为正 n 边形的中心角为，所以 45=，所以 n=8.n360n360答案：85.已知ABC 的周长为 20,ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4,那么BC=_.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得.答案:6二、课中强化二、课中强化(10 分钟训练分钟训练)1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的时，此时该正 n 边形有_条对称轴.32-5-思路解析：因为正 n 边形的外角为，一个内角为，n360nn180)2(所以由题意得=，解这个方程得 n=5.n36032nn180)2(答案：52.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()A.B.C.D.26433634思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A.答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S4、S6之间的大小关系是()A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B4.已知O 和O 上的一点 A(如图 24-3-1).(1)作O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是O 内接正十二边形的一边.图 24-3-1思路分析：求作O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明 DE 是O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明 DE 所对圆心角等于 3601230.(1)作法：作直径 AC;-6-作直径 BDAC;依次连结 A、B、C、D 四点,四边形 ABCD 即为O 的内接正方形;分别以 A、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交O 于 E、H、F、G;顺次连结 A、E、F、C、G、H 各点.六边形 AEFCGH 即为O 的内接正六边形.(2)证明：连结 OE、DE.AOD90，AOE60，43606360DOEAODAOE30.DE 为O 的内接正十二边形的一边.三、课后巩固三、课后巩固(30 分钟训练分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为()A.B.C.D.634333233思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为 1，所以边心距为 0.5,则边长为.33答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为()21A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选 B.答案：B3.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 P66an求出周长.答案：184.正多边形的一个中心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等于_度.答案：144.5.如图 24-3-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2，在O1中为内接正三角形的一边，在O23中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.-7-图 24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 R3与R6的平方比即可.解：设正三角形外接圆O1的半径为 R3，正六边形外接圆O2的半径为 R6，由题意得 R3=AB，R6=AB，R3R63.O1的面积O2的面积13.3336.某正多边形的每个内角比其外角大 100，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求.解：设此正多边形的边数为 n，则各内角为，外角为，依题意得nn180)2(n360-100.解得 n9.nn180)2(n3607.如图 24-3-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图 24-3-3思路分析：设三个圆的圆心为 O1、O2、O3，连结 O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为 4 cm 的正O1O2O3，设大圆的圆心为 O，则点 O 是正O1O2O3的中心，求出这个正O1O2O3外接圆的半径，再加上O1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为 O1、O2、O3，连结 O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为 4 cm 的正O1O2O3，则正O1O2O3外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为+2=334334(cm).3634-8-8.如图 24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图 24-3-4答案：略.9.用等分圆周的方法画出下列图案：图 24-3-5作法：(1)分别以圆的 4 等分点为圆心，以圆的半径为半径，画 4 个圆；(2)分别以圆的 6 等分点为圆心，以圆的半径画弧.10.如图 24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、24-3-6(n)，M、N 分别是O 的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN，连结 OM、ON.图 24-3-6(1)求图 24-3-6(1)中MON 的度数；(2)图 24-3-6(2)中MON 的度数是_，图 24-3-6(3)中MON 的度数是_；-9-(3)试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系(直接写出答案).答案：(1)方法一：连结 OB、OC.正ABC 内接于O，OBM=OCN30，BOC=120.又BM=CN，OB=OC，OBMOCN.BOMCON.MON=BOC=120.方法二：连结 OA、OB.正ABC 内接于O，AB=AC，OAM=OBN=30,AOB=120.又BMCN，AM=BN.又OA=OB,AOMBON.AOM=BON.MON=AOB=120.(2)90 72(3)MON=.n360