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线性代数知识点-48678(1).pdf
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1、线性代数(经管类)考点逐个击破线性代数(经管类)考点逐个击破第一章第一章 行列式行列式(一)行列式的定义(一)行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子,它实质上行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子,它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算,其结果为一个确定的数表示把这些数按一定的规则进行运算,其结果为一个确定的数.1二阶行列式二阶行列式由由 4 个数个数得到下列式子:得到下列式子:称为一个二阶行列式,其运算规称为一个二阶行列式,其运算规)2,1,(jiaij11122122aaaa则为则为2112221122211211aaaaa
2、aaa2三阶行列三阶行列式式由由 9 个数个数得到下列式子:得到下列式子:)3,2,1,(jiaij333231232221131211aaaaaaaaa称为一个三阶行列式,它如何进行运算呢?教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线称为一个三阶行列式,它如何进行运算呢?教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法,我法,我们采用递归法,为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念们采用递归法,为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3余子式及代数余子式余子式及代数余子式设有三阶行列式设有三阶行列式 3332312322211312113aaaaaaaaaD 对任何一个元素对任何一个元素
3、,我们划去它所在的第,我们划去它所在的第 i 行及第行及第 j 列,剩下的元素按原先次序组成列,剩下的元素按原先次序组成ija一个二阶行列式,称它为元素一个二阶行列式,称它为元素的余子式,记成的余子式,记成ijaijM例如例如 ,3332232211aaaaM3332131221aaaaM2322131231aaaaM再记再记 ,称,称为元素为元素的代数余子式的代数余子式.ijjiijMA)1(ijAija例如例如 ,1111MA2121MA3131MA那么那么,三阶行列式,三阶行列式定义为定义为3D我们把它称为我们把它称为按第一列的展开式,经常简写成按第一列的展开式,经常简写成3D31111
4、31113)1(iiiiiiiMaAaD4n 阶行列式阶行列式一阶行列式一阶行列式 11111aaDn 阶行列式阶行列式 1121211111212222111211nnnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaDLLLLLLL其中其中为元素为元素的代数余子式的代数余子式.(,1,2,)ijA i jnLija5特殊行列式特殊行列式上三角行列式上三角行列式111212221122000nnnnnnaaaaaa aaaLLLLLLLL下三角行列式下三角行列式1122112212000nnnnnnaaaa aaaaaLLLLLLLL21对角行列式对角行列式 11221122000000nnnna
5、aa aaaLLLLLLLL(二)行列式的性质(二)行列式的性质性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等,即行列式和它的转置行列式相等,即TDD 性质性质 2 用数用数 k 乘行列式乘行列式 D 中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于 kD,也就是说,行列式可以按行和列提出公因数也就是说,行列式可以按行和列提出公因数.性质性质 3 互换行列式的任意两行(列)互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号,行列式的值改变符号.推论推论 1 如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论推
6、论 2 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质性质 4 行列式可以按行(列)拆开行列式可以按行(列)拆开.3131212111113332312322211312113AaAaAaaaaaaaaaaD性质性质 5 把行列式把行列式 D 的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行(列)的对应元素上去,所得的行列式仍为(列)的对应元素上去,所得的行列式仍为 D.定理定理 1(行列式展开定理)(行列式展开定理)n 阶行列式阶行列式等于它的任意一行(
7、列)的各元素与其对应的代数余子式的等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的nijaD 乘积的和,即乘积的和,即),2,1(2211niAaAaAaDininiiiiLL或或),2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjjLL前一式称为前一式称为 D 按第按第 i 行的展开式,后一式称为行的展开式,后一式称为 D 按第按第 j 列的展开式列的展开式.本定理说明,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值本定理说明,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理定理 2 n 阶行列式阶行列式的任意一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代的任意一行(列)各元
8、素与另一行(列)对应元素的代nijaD 数余子式的乘积之和等于零数余子式的乘积之和等于零.即即)(02211kiAaAaAakninkikiL或或)(02211sjAaAaAansnjsjsjL(三)行列式的计算(三)行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法:行列式的计算主要采用以下两种基本方法:(1)利用行列式性质,把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值,此时)利用行列式性质,把原行列式化为上三角(或下三角)行列式再求值,此时要注意的是,在互换两行或两列时,必须在新的行列式的前面乘上(要注意的是,在互换两行或两列时,必须在新的行列式的前面乘上(1 1),在按行或按列,在按行或按
9、列提取公因子提取公因子 k 时,必须在新的行列式前面乘上时,必须在新的行列式前面乘上 k.(2)把原行列式按选定的某一行或某一列展开,把行列式的阶数降低,再求出它)把原行列式按选定的某一行或某一列展开,把行列式的阶数降低,再求出它的值,通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个的值,通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素,再按这一行或这一列展元素,再按这一行或这一列展开:开:例例 1计算行列式计算行列式 52072325121314124D解:观察到第二列第四行的元素为解:观察到第二列第四行的元素为 0,而且第二列第一行的元素是,而且第二列第一行的元素是,利用这个,利用这个112
10、a元素可以把这一列其它两个非零元素化为元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0,然后按第二列展开,然后按第二列展开.42 1 4 12 1 4 15 6 231 2 121 15 0 6 215 05 2 3 2105 03(2)17 2 50 2 57 0 2 55 31 231225 1100813757 37 5D 行行按第二列展开行行7列列按第二行展开例例 2 计算行列式计算行列式 abbbbabbbbabbbbaD 4解:方法解:方法 1这个行列式的元素含有文字,在计算它的值时,切忌用文字作字母,因这个行列式的元素含有文字,在计算它的值时,切忌用文字作字母,因为文字可能取为文字可能取
11、 0 值值.要注意观察其特点,这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为要注意观察其特点,这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为(我们把它称为行和相同行列式)(我们把它称为行和相同行列式),我们可以先把后三列都加到第一列上去,我们可以先把后三列都加到第一列上去,ba3提出第一列的公因子提出第一列的公因子,再将后三行都减去第一行:,再将后三行都减去第一行:ba33131(3)31311000(3)000000a b b bab b b bb b bb a b bab a b ba b babb b a bab b a bb a bb b b aab b b ab b abbbabababab3)
12、(3(baba方法方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个观察到这个行列式每一行元素中有多个 b,我们采用,我们采用“加边法加边法”来计算,即来计算,即是构造一个与是构造一个与 有相同值的五阶行列式:有相同值的五阶行列式:4D112 3 4 541101000010000100001000b b b bbbbba b b ba b b babb a b bDb a b ba bb b a bb b a ba bb b b ab b b aab 行(),行这样得到一个这样得到一个“箭形箭形”行列式,如果行列式,如果,则原行列式的值为零,故不妨假设,则原行列式的值为零,故不妨假设,ba ba
13、即即,把后四列的,把后四列的倍加到第一列上,可以把第一列的(倍加到第一列上,可以把第一列的(1)化为零)化为零.0baba 14410000400001()(3)()00000000bbbbbababba babab ababa bab例例 3 三三阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()(1112313122322213213xxxxxxxxxxxxV(四)克拉默法则(四)克拉默法则定理定理 1(克拉默法则)设含有(克拉默法则)设含有 n 个方程的个方程的 n 元线性方程组为元线性方程组为11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa x
14、ba xa xa xbLLL L L L L L L L L LL如果其系数行列式如果其系数行列式,则方程组必有唯一解:,则方程组必有唯一解:0nijaDnjDDxjj,2,1,L其中其中是把是把 D 中第中第 j 列换成常数项列换成常数项后得到的行列式后得到的行列式.jDnbbb,21L把这个法则应用于齐次线性方程组,则有把这个法则应用于齐次线性方程组,则有定理定理 2 设有含设有含 n 个方程的个方程的 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组11 1122121 122221 1220,0,0nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa xLLL L L L L L
15、L L L LL如果其系数行列式如果其系数行列式,则该方程组只有零解:,则该方程组只有零解:0D021nxxxL换句话说,若齐次线性方程组有非零解,则必有换句话说,若齐次线性方程组有非零解,则必有,在教材第二章中,将要证明,在教材第二章中,将要证明,0Dn 个方程的个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章第二章 矩阵矩阵(一)矩阵的定义(一)矩阵的定义1矩阵的概念矩阵的概念由由个数个数排成的一个排成的一个 m 行行 n 列的数表列的数表nm),2,1;,2,1(njmiaijLLmnmmnnaaaaa
16、aaaaALLLLL212222111211称为一个称为一个 m 行行 n 列矩阵或列矩阵或矩阵矩阵nm当当时,称时,称为为 n 阶矩阵或阶矩阵或 n 阶方阵阶方阵nm nnijaA元素全为零的矩阵称为零矩阵,用元素全为零的矩阵称为零矩阵,用或或 O 表示表示nmO23 个常用的特殊方阵:个常用的特殊方阵:n 阶对角矩阵是指形如阶对角矩阵是指形如 的矩阵的矩阵nnaaaALLLLL0000002211n 阶单位方阵是指形如阶单位方阵是指形如 的矩阵的矩阵100010001LLLLLnEn 阶三角矩阵是指形如阶三角矩阵是指形如 的矩阵的矩阵nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaLLLLLLLL
17、LL2122211122211211000,0003矩阵与行列式的差异矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表,而矩阵仅是一个数表,而 n 阶行列式的最后结果为一个数,因而矩阵与行列式是两阶行列式的最后结果为一个数,因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念,只有一阶方阵是一个数,而且行列式记号个完全不同的概念,只有一阶方阵是一个数,而且行列式记号“”与矩阵记号与矩阵记号“*”也不同,不能用错也不同,不能用错.*(二)矩阵的运算(二)矩阵的运算1矩阵的同型与相等矩阵的同型与相等设有矩阵设有矩阵,若,若,则说,则说 A 与与 B 是同型矩是同型矩nmijaA)(kijbB)(km n阵阵.若若 A 与与 B
18、 同型同型,且对应元素相等,即且对应元素相等,即,则称矩阵,则称矩阵 A 与与 B 相等,记为相等,记为ijijba BA 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵,才能说相等因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵,才能说相等.2矩阵的加、减法矩阵的加、减法设设,是两个同型矩阵则规定是两个同型矩阵则规定nmijaA)(nmijbB)(nmijijbaBA)(nmijijbaBA)(注意:只有注意:只有 A 与与 B 为同型矩阵,它们才可以相加或相减为同型矩阵,它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加,因而与普通数的加法运算有相同的运算律由于矩阵的相加体现为元素的相加,因而与普
19、通数的加法运算有相同的运算律.3数乘运算数乘运算设设,k 为任一个数,则规定为任一个数,则规定nmijaA)(nmijkakA)(故数故数 k 与矩阵与矩阵 A 的乘积就是的乘积就是 A 中所有元素都乘以中所有元素都乘以 k,要注意数,要注意数 k 与行列式与行列式 D 的的乘积,只是用乘积,只是用 k 乘行列式中某一行或某一列,这两种数乘截然不同乘行列式中某一行或某一列,这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算乘法运算设设,则规定,则规定kmijaA)(nkijbB)(nmijcAB)(其中其中 kjikjiji
20、ijbababacL2211),2,1;,2,1(njmiLL由此定义可知,只有当左矩阵由此定义可知,只有当左矩阵 A 的列数与右矩阵的列数与右矩阵 B 的行数相等时,的行数相等时,AB 才有意义,才有意义,而且矩阵而且矩阵 AB 的行数为的行数为 A 的行数,的行数,AB 的列数为的列数为 B 的列数,而矩阵的列数,而矩阵 AB 中的元素是由左矩中的元素是由左矩阵阵 A 中某一行元素与右矩阵中某一行元素与右矩阵 B 中某一列元素对应相乘再相加而得到中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同,一般地:故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同,一般地:不满足交换律,即不满足交换律
21、,即BAAB 在在时,不能推出时,不能推出或或,因而也不满足消去律,因而也不满足消去律.0AB0A0B特别,若矩阵特别,若矩阵 A 与与 B 满足满足,则称,则称 A 与与 B 可交换,此时可交换,此时 A 与与 B 必为同阶必为同阶BAAB 方阵方阵.矩阵乘法满足结合律,分配律及与数乘的结合律矩阵乘法满足结合律,分配律及与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵方阵的乘幂与多项式方阵设设 A 为为 n 阶方阵,则规定阶方阵,则规定mAAAAL1 4 2 4 3m 个特别特别EA 0又若又若,则规定,则规定1110()mmmmf xa xaxa xaL1110()mmmmf Aa AaAa Aa
22、 EL称称为为 A 的方阵多项式,它也是一个的方阵多项式,它也是一个 n 阶方阵阶方阵)(Af6矩阵的转置矩阵的转置设设 A 为一个为一个矩阵,把矩阵,把 A 中行与列互换,得到一个中行与列互换,得到一个矩阵,称为矩阵,称为 A 的转的转nmmn置矩阵,记为置矩阵,记为,转置运算满足以下运算律:,转置运算满足以下运算律:TA,AAT)(TTTBABA)(TTkAkA)(TTTABAB)(由转置运算给出对称矩阵,反对称矩阵的定义由转置运算给出对称矩阵,反对称矩阵的定义设设 A 为一个为一个 n 阶方阵,若阶方阵,若 A 满足满足,则称,则称 A 为对称矩阵,若为对称矩阵,若 A 满足满足AAT,
23、则称,则称 A 为反对称矩阵为反对称矩阵.AAT7方阵的行列式方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念,但对于矩阵与行列式是两个完全不同的概念,但对于 n 阶方阵,有方阵的行列式的概念阶方阵,有方阵的行列式的概念.设设为一个为一个 n 阶方阵,则由阶方阵,则由 A 中元素构成一个中元素构成一个 n 阶行列式阶行列式,称为方,称为方)(ijaA nija阵阵 A 的行列式,记为的行列式,记为A方阵的行列式具有下列性质:设方阵的行列式具有下列性质:设 A,B 为为 n 阶方阵,阶方阵,k 为数,则为数,则;AATAkkAnBAAB(三)方阵的逆矩阵(三)方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质可逆矩
24、阵的概念与性质设设 A 为一个为一个 n 阶方阵,若存在另一个阶方阵,若存在另一个 n 阶方阵阶方阵 B,使满足,使满足,则把,则把EBAABB 称为称为 A 的逆矩阵,且说的逆矩阵,且说 A 为一个可逆矩阵,意指为一个可逆矩阵,意指 A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵,把是一个可以存在逆矩阵的矩阵,把A 的逆矩阵的逆矩阵 B 记为记为,从而,从而 A 与与首先必可交换,且乘积为单位方阵首先必可交换,且乘积为单位方阵 E.1A1A逆矩阵具有以下性质:设逆矩阵具有以下性质:设 A,B 为同阶可逆矩阵,为同阶可逆矩阵,为常数,则为常数,则0k是可逆矩阵,且是可逆矩阵,且;1AAA11)(AB 是可逆矩
25、阵,且是可逆矩阵,且;111)(ABABkA 是可逆矩阵,且是可逆矩阵,且111)(AkkA是可逆矩阵,且是可逆矩阵,且TATTAA)()(11可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去,即可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去,即 设设 P 为可逆矩阵,则为可逆矩阵,则 BAPBPABABPAP2伴随矩阵伴随矩阵设设为一个为一个 n 阶方阵,阶方阵,为为 A 的行列式的行列式中元素中元素的代数余子的代数余子)(ijaA ijAnijaA ija式,则矩阵式,则矩阵称为称为 A 的伴随矩阵,记为的伴随矩阵,记为(务必注意(务必注意中元素排列中元素排列nnnnnnAAAAAAAAALLLLLL21222121211
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