简单多面体外接球问题总结.doc

简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结
1.由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.
⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心.
2．构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.
⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
3.由性质确定球心
利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.
二：常见几何体的外接球小结
1、设正方体的棱长为，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。
（1）截面图为正方形的内切圆，得；
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。
图1
图2
图3

2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为，也是球心）
内切球半径为：
外接球半径为：
三：常见题型
1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法

2. 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .
解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.

3.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .

解析：寻求轴截面圆半径法
4. 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
解析：确定球心位置法
四：练习
1、已知点、是球表面上的点，平面，四边形是边长为的正方形.若，则的面积为多少？

2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为多少？

3、三棱锥中，平面，，是边长为1的正三角形，则其外接球的表面积为多少？

4、点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为多少？

5、四面体的三组对棱分别相等，棱长为，求该四面体外接球的体积.

6、正四面体外接球的体积为，求该四面体的体积.

7、若底面边长为2的正四棱锥的斜高为，求此正四棱锥外接球的体积.

8、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 .
9、已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
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