求导公式-方法.pptx
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1、17 四月 20241一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理例例1解解 函数函数y=ax的反函数为的反函数为x=logay,又,又3.3 3.3 求导公式与求导方法求导公式与求导方法即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.17 四月 20242例例2 2解解同理可得同理可得17 四月 20243二、基本导数公式二、基本导数公式 17 四月 20244三、复合函数求导三、复合函数求导 定理定理(链式法则链式法则)若函数若函数u=g(x)在在x=x0可导,可导,y=f(u)在在u0=g(x0)可导,则复合可导,则复合函数函数y=fg(x)在在x=x0可导,且可
2、导,且即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于等于因变量因变量对对中间变量中间变量求导求导,乘以乘以中间变量中间变量对对自变量自变量求导求导.(.(链式法则链式法则)17 四月 20245 当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似当所针对的函数由三个以上的函数复合而成时也有类似结果,例如对三个函数结果,例如对三个函数y=f(u)、u=g(v)、v=h(x)复合而成的函复合而成的函数数y=fgh(x),有,有 应用时,首先把函数进行应用时,首先把函数进行“分解分解”,由外到里写成几个,由外到里写成几个基基本初等函数本初等函数复合而成的形式复合而成的形式(注意一定要注意一定要“分解
3、分解”得彻底,保得彻底,保证证最后写出的函数都是基本初等函数最后写出的函数都是基本初等函数),然后按照链式法则逐个,然后按照链式法则逐个求导。求导。注意最后要把注意最后要把u、v换回换回x17 四月 20246例例1 求函数求函数y=sinex在在x=x0处的导数。处的导数。解解 函数函数y=sinex由基本函数由基本函数y=sinu和和u=ex复合而成,复合而成,又又因此有因此有例例2 2解解练习练习答案答案17 四月 20247例例3 3解解例例4 4解解17 四月 20248例例5解解 题中函数由题中函数由y=eu、u=sinv、v=1/x复合而成,又复合而成,又练习练习答案答案则则熟练
4、以后,可以不写出中间变量,直接求导。熟练以后,可以不写出中间变量,直接求导。17 四月 20249例例 设设f(u)可导,求可导,求y=f(ex)ef(x)的导数。的导数。解解练习练习 设设f(u)可导,求可导,求y=fff(x)的导数。的导数。答案答案注意注意先求导后先求导后代入代入先代入后先代入后求导求导17 四月 202410求求 导导 数数 17 四月 2024113.43.4高阶导数与隐函数求导高阶导数与隐函数求导一、高阶导数一、高阶导数 我们知道,速度我们知道,速度v是位移函数是位移函数s(t)的导数:的导数:v=s(t)。设初始时。设初始时刻刻t0的速度为的速度为v0,末时刻,末
5、时刻t的速度为的速度为v,则从,则从t0到到t的的(平均平均)加速度加速度为为 这是对位移函数这是对位移函数s(t)的导数的导数v=s(t)再求导数,我们称之为二再求导数,我们称之为二阶导数。一般地,我们可以定义阶导数。一般地,我们可以定义n阶导数。阶导数。若要求在若要求在t0时刻的瞬时加速度,则需令时刻的瞬时加速度,则需令t t0对此式求极限:对此式求极限:17 四月 202412定义定义为为f(x)在在x0处的二阶导数处的二阶导数,记为,记为上的函数,称为上的函数,称为二阶导函数二阶导函数,简称,简称二阶导数二阶导数。的的三阶导数三阶导数,称为称为f(x)的的四阶导数四阶导数,17 四月
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