实验三：A星算法求解8数码问题实验.doc

实验三：A*算法求解8数码问题实验

一、 实验目的
熟悉和掌握启发式搜索的定义、估价函数和算法过程，并利用A*算法求解N数码难题，理解求解流程和搜索顺序。

二、 实验内容

1、 八数码问题描述
所谓八数码问题起源于一种游戏:在一个3×3的方阵中放入八个数码1、2、3、4、5、6、7、8，其中一个单元格是空的。将任意摆放的数码盘（城初始状态）逐步摆成某个指定的数码盘的排列（目标状态），如图1所示

图1 八数码问题的某个初始状态和目标状态
对于以上问题，我们可以把数码的移动等效城空格的移动。如图1的初始排列，数码7右移等于空格左移。那么对于每一个排列，可能的一次数码移动最多只有4中，即空格左移、空格右移、空格上移、空格下移。最少有两种（当空格位于方阵的4个角时）。所以，问题就转换成如何从初始状态开始，使空格经过最小的移动次数最后排列成目标状态。

2、 八数码问题的求解算法
2.1 盲目搜索
宽度优先搜索算法、深度优先搜索算法
2.2 启发式搜索
启发式搜索算法的基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。
先定义下面几个函数的含义：
f*(n)=g*(n)+h*(n) (1)
式中g*(n)表示从初始节点s到当前节点n的最短路径的耗散值；h*(n)表示从当前节点n到目标节点g的最短路径的耗散值，f*(n)表示从初始节点s经过n到目标节点g的最短路径的耗散值。
评价函数的形式可定义如(2)式所示：
f(n)=g(n)+h(n) (2)
其中n是被评价的当前节点。f(n)、g(n)和h(n)分别表示是对f*(n)、g*(n)和h*(n)3个函数值的估计值。
利用评价函数f(n)=g(n)+h(n)来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。在A算法中，如果对所有的x，
h(x)<=h*(x) (3)
成立，则称好h(x)为h*(x)的下界，它表示某种偏于保守的估计。采用h*(x)的下界h(x)为启发函数的A算法，称为A*算法。
针对八数码问题启发函数设计如下：
f(n)=d(n)+p(n) (4)
其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为
把S放入OPEN表，记f=h
OPEN=NULL?
是
失败
扩展BESTNODE,产生其后继结点SUCCESSOR
选取OPEN表上未设置过的具有最小f值的节点
BESTNODE,放入CLOSED表
BESTNODE是目标节点
建立从SUCCESSOR返回BESTNODE的指针
计算g(SUC)=g(BES)+k(BES,SUC)
SUC∈OPEN
开始
g(SUC)<g(OLD)
SUC=OLD,把它添加到BESTNDOE的后继结点表中
重新确定OLD的父辈节点为BESTNODE，并修正父辈节点的g值和f值，记下g(OLD)
是
成功
SUC∈CLOSED

把SUCCESSOR放入OPEN表，添进BESTNODE的后裔表
计算f值
是
否
是
否
是
否
否
否

图2 A*算法流程图
p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。
由于实际情况中，一个将牌的移动都是单步进行的，没有交换拍等这样的操作。所以要把所有的不在位的将牌，移动到各自的目标位置上，至少要移动从他们各自的位置到目标位置的距离和这么多次，所以最有路径的耗散值不会比该值小，因此该启发函数h(n)满足A*算法的条件。

3、 A*算法流程图,如图2

4、 A*算法总结
4.1，把起始状态添加到开启列表。
4.2，重复如下工作：
a) 寻找开启列表中f值最低的节点，我们称它为BESTNOE
b) 把它切换到关闭列表中。
c) 对相邻的4个节点中的每一个
*如果它不在开启列表，也不在关闭列表，把它添加到开启列表中。把BESTNODE作为这一节点的父节点。记录这一节点的f和g值
*如果它已在开启或关闭列表中，用g值为参考检查新的路径是否更好。更低的g值意味着更好的路径。如果这样，就把这一节点的父节点改为BESTNODE，并且重新计算这一节点的f和g值，如果保持开启列表的f值排序，改变之后需要重新对开启列表排序。
d) 停止
把目标节点添加到关闭列表，这时候路径被找到，或者没有找到路径，开启列表已经空了，这时候路径不存在。
4.3，保存路径。从目标节点开始，沿着每一节点的父节点移动直到回到起始节点。这就是求得的路径。

5、数据结构
采用结构体来保存八数码的状态、f和g的值以及该节点的父节点；

struct Node{
int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格
int f,g;//启发函数中的f和g值
struct Node * next;
struct Node *previous;//保存其父节点
};

6、实验结果，如图3所示

图3 A*算法求解八数码问题实验结果

7、源代码
//-----------------------------------------------------------------------------
//代码：利用A*算法求解八数码问题。
//八数码问题的启发函数设计为：f(n)=d(n)+p(n),其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)，意为放错的数码与正确的位置距离之和。
//后继结点的获取：数码的移动等效为空格的移动。首先判断空格上下左右的可移动性，其次移动空格获取后继结点。
//-----------------------------------------------------------------------------

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

//八数码状态对应的节点结构体
struct Node{
int s[3][3];//保存八数码状态，0代表空格
int f,g;//启发函数中的f和g值
struct Node * next;
struct Node *previous;//保存其父节点
};

int open_N=0; //记录Open列表中节点数目

//八数码初始状态
int inital_s[3][3]={
2,8,3,
1,6,4,
7,0,5
};

//八数码目标状态
int final_s[3][3]={
1,2,3,
8,0,4,
7,6,5
};

//------------------------------------------------------------------------
//添加节点函数入口，方法：通过插入排序向指定表添加
//------------------------------------------------------------------------
void Add_Node( struct Node *head, struct Node *p)
{
struct Node *q;

if(head->next)//考虑链表为空
{ q = head->next;
if(p->f < head->next->f){//考虑插入的节点值比链表的第一个节点值小
p->next = head->next;
head->next = p;
}
else {
while(q->next)//考虑插入节点x，形如a<= x <=b
{
if((q->f < p->f ||q->f == p->f) && (q->next->f > p->f || q->next->f == p->f)){
p->next = q->next;
q->next = p;
break;
}
q = q->next;
}
if(q->next == NULL) //考虑插入的节点值比链表最后一个元素的值更大
q->next = p;
}
}
else head->next = p;
}

//------------------------------------------------------------------------
//删除节点函数入口
//------------------------------------------------------------------------
void del_Node(struct Node * head, struct Node *p )
{
struct Node *q;
q = head;
while(q->next)
{
if(q->next == p){
q->next = p->next;
p->next = NULL;
if(q->next == NULL) return;
// free(p);
}
q = q->next;
}
}

//------------------------------------------------------------------------
//判断两个数组是否相等函数入口
//------------------------------------------------------------------------
int equal(int s1[3][3], int s2[3][3])
{
int i,j,flag=0;
for(i=0; i< 3 ; i++)
for(j=0; j< 3 ;j++)
if(s1[i][j] != s2[i][j]){flag = 1; break;}
if(!flag)
return 1;
else return 0;
}

//------------------------------------------------------------------------
//判断后继节点是否存在于Open或Closed表中函数入口
//------------------------------------------------------------------------
int exit_Node(struct Node * head,int s[3][3], struct Node *Old_Node)
{
struct Node *q=head->next;
int flag = 0;
while(q)
if(equal(q->s,s)) {
flag=1;
Old_Node->next = q;
return 1;}
else q = q->next;
if(!flag) return 0;
}

//------------------------------------------------------------------------
//计算p(n)的函数入口
//其中p(n)为放错位的数码与其正确的位置之间距离之和
//具体方法：放错位的数码与其正确的位置对应下标差的绝对值之和
//------------------------------------------------------------------------
int wrong_sum(int s[3][3])
{
int i,j,fi,fj,sum=0;
for(i=0 ; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
{
for(fi=0; fi<3; fi++)
for(fj=0; fj<3; fj++)
if((final_s[fi][fj] == s[i][j])){
sum += fabs(i - fi) + fabs(j - fj);
break;
}

}
return sum;
}

//------------------------------------------------------------------------
//获取后继结点函数入口
//检查空格每种移动的合法性，如果合法则移动空格得到后继结点
//------------------------------------------------------------------------
int get_successor(struct Node * BESTNODE, int direction, struct Node *Successor)//扩展BESTNODE，产生其后继结点SUCCESSOR
{
int i,j,i_0,j_0,temp;
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
Successor->s[i][j] = BESTNODE->s[i][j];
//获取空格所在位置
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
if(BESTNODE->s[i][j] == 0){i_0 = i; j_0 = j;break;}
switch(direction)
{
case 0: if((i_0-1)>-1 ){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0-1][j_0];
Successor->s[i_0-1][j_0] = temp;
return 1;
}
else return 0;

case 1: if((j_0-1)>-1){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0-1];
Successor->s[i_0][j_0-1] = temp;
return 1;
}
else return 0;

case 2: if( (j_0+1)<3){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0][j_0+1];
Successor->s[i_0][j_0+1] = temp;
return 1;
}
else return 0;

case 3: if((i_0+1)<3 ){
temp = Successor->s[i_0][j_0];
Successor->s[i_0][j_0] = Successor->s[i_0+1][j_0];
Successor->s[i_0+1][j_0] = temp;
return 1;
}
else return 0;

}

}

//------------------------------------------------------------------------
//从OPen表获取最佳节点函数入口
//------------------------------------------------------------------------
struct Node * get_BESTNODE(struct Node *Open)
{
return Open->next;
}

//------------------------------------------------------------------------
//输出最佳路径函数入口
//------------------------------------------------------------------------
void print_Path(struct Node * head)
{
struct Node *q, *q1,*p;
int i,j,count=1;
p = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));

//通过头插法变更节点输出次序
p->previous = NULL;
q = head;
while(q)
{
q1 = q->previous;
q->previous = p->previous;
p->previous = q;
q = q1;
}
q = p->previous;

while(q)
{
if(q == p->previous)printf("八数码的初始状态：\n");
else if(q->previous == NULL)printf("八数码的目标状态：\n");
else printf("八数码的中间态%d\n",count++);
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
{
printf("%4d",q->s[i][j]);
if(j == 2)printf("\n");
}

printf("f=%d, g=%d\n\n",q->f,q->g);
q = q->previous;
}

}

//------------------------------------------------------------------------
//A*子算法入口:处理后继结点
//------------------------------------------------------------------------
void sub_A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * BESTNODE, struct Node * Closed,struct Node *Successor)
{

struct Node * Old_Node = (struct Node *)malloc(sizeof(struct Node));
Successor->previous = BESTNODE;//建立从successor返回BESTNODE的指针
Successor->g = BESTNODE->g + 1;//计算后继结点的g值
//检查后继结点是否已存在于Open和Closed表中，如果存在：该节点记为old_Node，比较后继结点的g值和表中old_Node节点
//g值，前者小代表新的路径比老路径更好，将Old_Node的父节点改为BESTNODE，并修改其f，g值，后者小则什么也不做。
//即不存在Open也不存在Closed表则将其加入OPen表，并计算其f值
if( exit_Node(Open, Successor->s, Old_Node) ){
if(Successor->g < Old_Node->g){
Old_Node->next->previous = BESTNODE;//将Old_Node的父节点改为BESTNODE
Old_Node->next->g = Successor->g;//修改g值
Old_Node->next->f = Old_Node->g + wrong_sum(Old_Node->s);//修改f值
//排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~
del_Node(Open, Old_Node);
Add_Node(Open, Old_Node);
}

}
else if( exit_Node(Closed, Successor->s, Old_Node)){
if(Successor->g < Old_Node->g){
Old_Node->next->previous = BESTNODE;
Old_Node->next->g = Successor->g;
Old_Node->next->f = Old_Node->g + wrong_sum(Old_Node->s);
//排序~~~~~~~~~~~~~~~~~~
del_Node(Closed, Old_Node);
Add_Node(Closed, Old_Node);
}
}
else {
Successor->f = Successor->g + wrong_sum(Successor->s);
Add_Node(Open, Successor);
open_N++;
}
}

//------------------------------------------------------------------------
//A*算法入口
//八数码问题的启发函数为：f(n)=d(n)+p(n)
//其中A*算法中的g(n)根据具体情况设计为d(n)，意为n节点的深度，而h(n)设计为p(n)，
//意为放错的数码与正确的位置距离之和
//------------------------------------------------------------------------
void A_algorithm(struct Node * Open, struct Node * Closed) //A*算法
{
int i,j;
struct Node * BESTNODE, *inital, * Successor;

inital = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));

//初始化起始节点
for(i=0; i<3; i++)
for(j=0; j<3; j++)
inital->s[i][j] = inital_s[i][j];
inital->f = wrong_sum(inital_s);
inital->g = 0;
inital->previous = NULL;
inital->next = NULL;

Add_Node(Open, inital);//把初始节点放入OPEN表
open_N++;
while(1)
{
if(open_N == 0){printf("failure!"); return;}
else {
BESTNODE = get_BESTNODE(Open);//从OPEN表获取f值最小的BESTNODE，将其从OPEN表删除并加入CLOSED表中
del_Node(Open, BESTNODE);
open_N--;
Add_Node(Closed, BESTNODE);

if(equal(BESTNODE->s, final_s)) {//判断BESTNODE是否为目标节点
printf("success!\n");
print_Path(BESTNODE);
return;
}
//针对八数码问题，后继结点Successor的扩展方法：空格（二维数组中的0）上下左右移动，
//判断每种移动的有效性，有效则转向A*子算法处理后继节点，否则进行下一种移动
else{
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 0, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 1, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 2, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
Successor = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node)); Successor->next = NULL;
if(get_successor(BESTNODE, 3, Successor))sub_A_algorithm( Open, BESTNODE, Closed, Successor);
}
}
}
}

//------------------------------------------------------------------------
//main()函数入口
//定义Open和Closed列表。Open列表：保存待检查节点。Closed列表：保存不需要再检查的节点
//------------------------------------------------------------------------
void main()
{
struct Node * Open = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
struct Node * Closed = (struct Node * )malloc(sizeof(struct Node));
Open->next = NULL ; Open->previous = NULL;
Closed->next =NULL; Closed->previous = NULL;
A_algorithm(Open, Closed);
}

三、 实验体会
通过这次实验，使我对启发式搜索算法有了更进一步的理解，特别是估计函
数h(n)所起到的巨大重用。一个好的估计函数对于启发式搜索算法来说是十分关键的。