正比例和反比例的意义知识点总结加典型例题基础1.pdf

1正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的xyk量，那么正比例关系可以写成：一一kxy例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。工效（一定）工总和工时是成正比例的量工总工时 速度（一定）所以路程与时间成正比例。路程时间（2）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母和表示两种相关联的量，用表示一定的量，那么反比例xyk关系可以写成：=（一定）xyk例如，长宽面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数装订的本数纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？2（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。正比例反比例相同点 不同点 知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。3知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量和是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着xy变化。（2）若符合，则和成正比例；若符合=（一定），则一一kxyxyxyk和成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。xy【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。重量（千克）123456总价（元）1.93.85.77.69.511.4 （1）()和()是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化。（2）与总价 7.6 元相对应的重量是（）千克；与 6 千克相对应4的总价是（）元。（3）总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是（）。（4）因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成（）的量。题型二：根据关系式正比例反比例的判断例 2：判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。（1）瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。（2）铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。（3）铺地面积一定，方砖的边长和所需块数。（1）生产总时间一定，生产一个零件的时间和个数。（2）生产一个零件的时间一定，生产零件的总时间和个数。（1）圆的周长和半径。（2）圆的周长一定，圆周率和直径。（3）圆的面积和半径的平方。例 3：判断下面各题中的两种量成不成比例（在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”）。（1）正方形的面积和边长。（）（2）比的前项一定，比的后项和比值。（）（3）人的体重和身高。（）（4）每本书的单价一定，买书的本数与总价。（）（5）出粉率一定，小麦的重量和出粉重量。（）5 （6）正方体的体积和棱长。（）（7）产品合格率一定，产品合格数和产品总数。（）（8）工作时间一定，工作总量和工作效率。（）例 4：判断下面每题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。（1）每公顷施肥量一定，施肥总量与公顷数。（2）每台织布机的每小时织布的米数一定，织布的总米数和所用的小时数。（3）汽车行 1 千米的耗油量一定，汽车所行路程和总耗油量。（4）同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。例题 9：判断下列各题的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。（）（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。（）（3）路程一定，已走路程和剩下路程。（）6（4）圆的半径和面积。（）（5）平行四边形的底和面积。（）（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。（）（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。（）（8）abc，c 一定，a 和 b。（）（9）分数值一定，分子和分母。（）（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。（）【巩固练习】（1）比例尺一定，图上距离与实际距离成（）比例。（2）圆的半径和面积（）比例。（3）三角形的高一定，它的面积和底成（）比例。（4）订阅中国少年报的钱数和份数成（）比例。（5）圆的直径和周长成（）比例。（6）差一定，被减数和减数（）比例。（7）圆锥的高一定，底面积和它的体积（）比例。(1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成()比例。(2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成()比例。(3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成()比例。(4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成()比例。(5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成()比例。A成正比例B成反比例C不成比例(1)平行四边形的底一定，高和7面积。()(2)积一定，一个因数与另一个数。()(3)一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。()(4)工作效率一定，工作总量和工作时间。()下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由。1、每个小朋友分的饼干数一定，饼干数的总块数和分的人数。2、每箱梨的重量一定，箱数和总重量。3、正方形的周长和边长。4、正方形的面积和边长。5、读一本书，每天读的页数和读的天数。6、一箱饮料的数量一定，卖出的和剩下的。7、三角形的底一定，它的面积和高。8、每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数。9、一个人的年龄和体重。10、长方形的周长和宽。11、长方形的长一定，面积与宽。12、三角形的高一定，面积与底。13、圆的面积与半径。14、正方形的周长和边长。15、一个班级的男生人数和女生人数。16、每箱苹果个数一定，运来苹果的箱数与苹果总个数。17 房屋地面的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。818、每块地砖的面积一定，铺地面积与所需地砖的块数。19、分子一定，分母和分数值。20、三角形的高一定，它的底和面积。21、梯形的上底和下底一定，面积和高。22、圆的周长和直径。23、车轮的直径一定，所行驶的路程和转数。24、被乘数一定，乘数和积。25、积一定，一个因数和另一个因数。26、除数一定，被除数和商。27、从甲地到乙地，行驶的速度和所用的时间。28、每台电视机的价格一定，购买电视机的台数和钱数。29、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高。30、小明的身高和他的体重。10 判断下面的两种量成不成比例？成正比例画“”，成反比例画“”，不成比例画“”。(1)每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。()(2)一个人的年龄和他的体重。()(3)生产总量一定，每天的生产量和生产天数。()(4)正方形的边长和面积。()(5)分母一定，分子和分数值。()11 填空：(1)物品的总价一定，它的单价和数量成()比例。9(2)每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成()比例。(3)要走的路程一定，已行路程与未行的路程()比例。(4)比的后项一定，前项和比值成()比例。(5)甲数是乙数的 80%，甲数和乙数成()比例。(6)圆的半径和它的周长成()比例。14 判断(对的打“”，错的打“”)(1)生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。()(2)出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。()(3)汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。()(4)三角形的高一定，它的面积和底不成比例。()(5)被减数一定，减数和差成反比例。()2、用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 X 页。题中（）量一定，关系式：（）（）（）（一定），（）和（）成（）比例。3、一间会客室地面用边长 0.3 米的正方形地砖铺，需要 640 块。如果改用边长 0.4 米的正方形地砖，需要 Y 块。题中（）量一定，关系式：（）（）（）（一定），（）和（）成（）比例。题型三：根据图表成正反比例判断例：李平和同学星期六骑车去郊游，下图表示她骑车的路程和时间的关系。10(1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？(2)利用图估计，李平 20 分钟大约行了多少千米？行 20 千米大约用了多少分钟？(答案保留整数)例：根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。(1)面粉的袋数(袋)1234面粉的总重量(千克)255075100(2)钢铁的重量(千克)7.815.623.431.2钢铁的体积(m3)1234【巩固练习】（4）糖果厂包装一批糖果，每袋糖果的粒数和装的袋数如下表：每袋的粒数1215202411装的袋数50403025每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？为什么？1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格 1数量/本13681020总价/元41224324080表格 2单价/元1.523456总价/元6812162024表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/元1.523456数量/本40302015121012题型四：根据比例关系填表例 4：（1）根据，填写下表。10 xy（2）下表中和两个量成反比例，请把表格填写完整xy（3）下表中和两个量相关联的量，观察规律，请把表格填写完整xy【巩固练习】（1）如果x和y成正比例，并且 20。请完成下表。yxy20801301 000850 x1.580.410y2035120 x28x21540y50.1x0.50.61y1.52.7313在下图中，描出上题中y与相对应的x的点(注意找几个关键点)，然后连成线。(21)已知 x和y成正比例关系，请完成下列表格。x608y642.4(3)已知x和y成反比例关系，请完成下表。x0.071.40.2y1410（4）小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。小英的年龄/岁67891011妈妈的年龄/岁3031母女的年龄成正比例吗？为什么？10、某造纸厂每小时造纸 1.5 吨，2 小时、3 小时各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间/时1234造纸吨数/吨1.514（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断，5 小时造纸多少吨？题型五：比例的扩大缩小例 5：选择。（把正确答案的序号填在括号里）（1）如果两种相关联的量成正比例，一种量扩大几倍，另一种量就（）相15同的倍数。扩大 缩小 增加 减少（2）如果两种相关联的量成反比例，一种量扩大几倍，另一种量就（）相同的倍数。扩大 缩小 增加 减少（3）和一定，一个加数和另一个加数（）。成正比例 成反比例 不成比例（4）正方形的面积和边长（）。成正比例 成反比例 不成比例（5）甲、乙两车行同一段路程，甲车需 3 小时，乙车需 5 小时，甲、乙两车速度的比是（）。116 35 53题型六：根据关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例或反比例。例：根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。(1)总价单价数量。()一定，()和()成正比例。(2)长方形面积底高。()一定，()和()成正比例。(3)xyz。()一定，()和()成正比例。(4)铺地面积方砖面积方砖块数。()一定，()和()成正比例。16(5)路程速度时间。()一定，()和()成正比例。已知abc，a、b都不为 0。先写两个正比例关系式，再填空。_()一定，()和()成正比例。_()一定，()和()成正比例。(1)速度时间路程。速度一定，()和()成()比例。时间一定，()和()成()比例。路程一定，()和()成()比例。(2)单价数量总价。单价一定，()和()成()比例。数量一定，()和()成()比例。总价一定，()和()成()比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；当高一定时，（）与（）成（）比例；当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中，当（）一定时，（）与（）成正比例；当（）一定时，（）与（）成反比例；176、当 a b c（a、b、c 为三种量，且均不为 0）。()一定，（）与（）成（）比例；（）一定，（）与（）成（）比例；（）一定，（）与（）成（）比例；拓展例：若 x 和 y 是两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例（1）若 5x=4y，（x，y 均不为 0），则 x 和 y 成（）比例。（2）若，（x，y 均不为 0），则 x 和 y 成（）比例。xy=34（3）若，（x，y 均不为 0），则 x 和 y 成（）比例。xy=43（4）若，（x，y 均不为 0），则 x 和 y 成（）比例。xy=+5（5）若，（x，y 均不为 0），则 x 和 y 成（）比例。,()ky kx+=3一一【巩固练习】1.三角形的高一定，它的面积和底（）A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例2.甲数和乙数互为倒数，则甲数和乙数（）A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例3.是的，那么与（）ab15abA.成正比例 B.成反比例 C.不成比例18例：如果1(b0，c0)，那么，当a一定时，b和c成()比例；当babc一定时，a和c成()比例；当c一定时，a和b成()比例。作业：一、填空1、判断分子、分母、分数值一种量一定，另外两种量成什么比例。（1）分子一定，分母和分数值成_比例。（2）分母一定，分子和分数值成_比例。（3）分数值一定，分子和分母成_比例。2、已知=k，当_一定时，另外两种量成反比例。xy3、=_，当_一定时，_和_成正比例。时间路程 当_一定时，_和_成反比例。4、已知 x、y 成反比例，完成表格。X41232Y91833.65、已知 x、y 成正比例，完成表格。X1.532765Y2114.50.156、如果 6，那么：_：_，：5_：_。7、有 120 吨货物，每次运的吨数和运的次数成（）比例。8、总价一定，购买算草本的本数和单价成（）比例。199、工作效率一定，工作总量和工作时间成（）比例。10、汽车每千米耗油量一定，所行的路程和耗油总量成（）比例。二、选择1、如果 3x=8y（x、y 都不等于 0），那么 x 和 y（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对2、如果=（x、y 都不等于 0），那么 x 和 y（）3x8y A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对3、把一堆化肥装入麻袋中，麻袋的数量和每袋化肥的重量（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对4、下列表示 x 和 y 成反比例的式子是（）A、x+3y=12 B、y=4xC、y=D、y=-xx23235、已知 kx=y，且 x 和 y 都不为 0，当 k 一定时，x 和 y（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对6、三种量 a，b，h 的关系是 b=ah，当 b 一定时，a 和 h（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对7、甲数的是乙数，那么甲数与乙数（）4320A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、以上说法都不对三、判断题1、正方形的边长和周长成正比例。（）2、正方形的边长和面积成正比例。（）3、a 是 b 的，数 a 和数 b 成正比例。（）754、如果 4a=3b,那么 ab=34。（）5、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。（）6、=B，那么 A 和 B 成反比例。（）8A7、长方体的体积一定，底面积和高成反比例。（）8、如果 x 与 y 成反比例，那么 3 x 与 y 也成反比例。（）9、圆的面积与半径的平方成正比例。（）10、圆锥的体积一定，底面积和高成反比例。（）11、三角形的高一定，底和面积成反比例。（）12、路程一定，车轮的直径与车轮的转数成反比例。（）13、全班总人数一定，出勤人数和出勤率成正比例。（）14、从甲地到乙地，已走路程和未走路程成反比例。（）15、减数一定，被减数和差成正比例。（）四、图表题1、某场一生产车间的生产情况如下表：时间（天）1234567821生产量（吨）70140210280350420490560（1）表中有哪两个量？是不是相关联的量？（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小。（3）说明这个比值所表示的意义。（4）表中的两种量成正比例吗？为什么？2、平行四边形的底（cm）12345平行四边形的高（cm）15.67.85.23.93.12（1）写出两种量中相对应的两个数的积，比较大小。（2）积的意义是什么？表中相关联的量成什么比例？（3）当底为 6cm 的时候，高为多少？22判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。1、天数一定，每天烧煤量和烧煤总量（）比例。2、圆的直径和面积（）比例。3、订少年科学画报的份数和所需要的钱数（）比例。4、生产时间一定，每小时生产的个数和总个数（）比例。5、被除数一定，除数和商（）比例。6、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数（）比例。7、正方形的边长和周长（）比例。8、比的后项一定，比的前项和比值（）比例。9、A、B、C 三种量的关系是：A=。如果 B 一定，A、C 两种量（）CB比例。如果 C 一定，A 和 B 两种量（）比例。10、如果 Y=10X，X 和 Y（）比例；如果 Y=，X 和 Y（）比例。X10如果=Y，X 和 Y（）比例。7X11、分数的大小一定，它的分子和分母（）比例。12、全班人数一定，出勤人数和出勤率（）比例。13、正方体一个面的面积和它的表面积（）比例。2314、在一定的时间里，做一个零件所用的时间和做零件的个数（）比例。15、圆的半径和面积（）比例。16、圆锥体的高一定，圆锥的底面半径和它的体积（）比例。17、4X=8Y，X 和 Y（）比例。18、车轮的直径一定，所行的路程和车轮的转数（）比例。19、圆柱的底面半径一定，圆柱的高和圆柱的体积（）比例。20、分数值一定，分子和分母（）比例。21、正方形的边长和面积（）比例。22、小麦的总重量一定，出粉率和面粉的重量（）比例。23、三角形的面积一定，底和高（）比例。24、要行一段路程，已行的和未行的路程（）比例。25、长方形的长一定，宽和周长（）比例。26、圆的半径和周长（）比例。27、总产量一定，单产量和数量（）比例。28、在同一时间里，杆高和影长（）比例。29、做一项工程，工作效率和工作时间（）比例。30、汽车从甲地到乙地，行车时间和速度（）比例。二、判断题，对的打，错的打。1、速度和时间成反比例。（）2、图上距离和实际距离成正比例。（）3、三角形的底一定，它的面积和高不成比例。（）4、图上距离一定，实际距离和比例尺成正比例。（）245、出盐率一定，盐的重量和海水的重量成正比例。（）1（正）小兰身高 1.5 米她的影长 2.4 米 如果同一时间同一地点测得一棵树的影子长 4 米这棵树有多高？解设 这棵树高 x 米 1.5/2.4=x/4 x=2.52（正）我国发射的科学实验人造地球卫星 在空中绕地球运行 6 周要 10.6 小时 运行 14 周要用多少小时？解设运行 14 周要用 x 小时 10.6/6=x/14 x=24 又 11/15 3（正）一个晒盐场 100 克海水可以晒出 3 克盐 如果一块盐田一次放入585000 吨海水可以晒出多少吨盐？解设可以晒出 x 吨盐 3/100=x/585000 x=175504（正）一辆车去时每小时行 60 千米 6.5 小时到达目的地 回来时每小时行78 千米 多长时间能够返回出发点？解设 x 小时能返回出发点 60*6.5=78x x=55（反）修一条水渠每天工作 6 小时 12 天可以完成 如果工作效率不变每天工作 8 小时多少天可以完成任务？解设 x 天可以完成任务 12*6=8x x=96（反）学校举行团体操表演如果每列 25 人 要排 24 列 如果每列 20 人 要排多少列？解设要排 X 列 25*24=20 x x=30 7（反）张大妈上个月用 8 吨水水费 12.8 元 李奶奶用水 10 吨 上个月李奶奶水费多少元？解设 上个月李奶奶水费 x 元 12.8/8=x/10 x=16 8（反）一批书每包 20 本 要捆 18 包 如果每包 30 本 要捆多少包？解设要捆 x 包 20*18=30 x x=12 9（正）小明买 4 支圆珠笔用 6 元 买 3 支笔要多少？25解设买 3 支笔要 x 元 6/4=x/3 x=4.5 10（反）学校小商店有两种圆珠笔小明带的钱刚好可以买 4 这单价是 1.5 元的 如果买单价是 2 元的 可以买多少支？解设 可以买 x 支 4*1.5=2x x=3运用正反比例解决问题运用正反比例解决问题综合练习综合练习班级班级_ 姓名姓名_ 时间时间 2014.02._2014.02._1.1.认真填空认真填空(1)运用正反比例解决问题，关键是：找出_，判断哪两个量_。(2)一种盐水，是由盐和水按 1:50 配制而成的。其中，盐的重量占盐水的（），水的重量占盐水的（）。(3)一幅地图，图上 A、B 距离 3 厘米，地面上 A、B 距离 180 千米。这幅图的比例尺是（）。(4)如果 xy=715，那么 x 和 y 成（）比例；如果 x:4=5:y，那么 x和 y 成（）比例。(5)如果甲乙=丙，那么，甲一定时，乙和丙成（）比例；乙一定时，甲和丙成（）比例；丙一定时，甲和乙成（）比例。(6)在比例尺为 1:8 的图纸上，甲、乙两圆的直径比是 2:3，那么甲、乙两圆的实际的直径比是（）。(7)零件的总个数一定，每小时加工个数和加工时间（）；零件的总个数一定，已经加工零件数和剩下零件个数（）；两个互相咬合的齿轮的齿数与转数（）；购买各种学习用品的总价与数量（）；订数学书的本数与所需要的钱数（）。A 成正比例 B 成反比例 C 不成比例2.2.先把题补充完整，使它成为正比例或反比例问题，再在横线上列出相应的方先把题补充完整，使它成为正比例或反比例问题，再在横线上列出相应的方程程(1).一列客车 5 小时行驶 300km。照这样计算，()?_(2)修一条长 3250m 的公路，3 天挖了 280m。照这样计算，()?_(3)一列客车从甲到乙，每小时行驶 70km，6 小时到达；()?26 _(4).修一条公路,每天 70m，18 天可挖完；如果要 15 天完成，()?_3.3.解决问题解决问题(1)一种微型零件的长 5 毫米，画在设计图纸上长 20 厘米。这幅设计图的比例尺是多少？(2)一幅地图的线段比例尺是。甲乙两城在这幅地图上相距 18 厘米，两城间的实际距离是多少千米？丙丁两城的地面距离是 660 千米，在这幅地图上两城之间的距离是多少厘米(3)加工一批零件，如果每天做 1200 个，8 天可以完成；如果每天加工 1500 个，几天可以完成？用比例解(4)小明买 4 本同样的练习本用了 4.8 元，用 3.6 元可以买多少本这样的练习本？用比例解(5)配制一种农药，药粉和水的比是 1:500。用 600kg 水配制这种农药，需要药粉多少千克?用药粉 3.6kg 配制这种农药，需加入水多少千克？(6)一个榨油厂榨 26kg 豆油，用了黄豆 200kg。照这样计算，用 5 吨黄豆可榨出豆油多少吨？用比例解(7)机器上有两个互相咬合的齿轮，主动轮有 50 个齿，每分钟转 90 转；从动轮有 30 个齿，每分钟转多少转?用比例解27(9)一幅地图，图上 3 厘米代表实际距离 150 千米；A、B 两地实际距离 600 千米，在图上为多少厘米?用比例解(10)一间空房间的地面，如果用边长 4dm 的方砖铺，需要 400 块；如果用边长5dm 的方砖铺，最少要多少块？用比例解(11)小李买来同样数量的方砖，边长 4dm 的可以铺设地面 4000dm，边长 5dm的可以铺设地面多少 dm？用比例解(12)加工 1500 个零件，3 小时完成了 20%。照这样计算，完成余下的任务还要多少小时？用算术法和比例法解(13)一辆汽车从甲地往乙地送货，去时每小时行驶 44km，用 6 小时到达；返回时缩短了半小时，这辆汽车返回时每小时行多少千米？用算术法和比例法解