24导线网的精度估算.docx

§2.4导线网的精度估算
2.4.1等边直伸导线的精度分析

在城市及工测导线网中．单一导线是一种较常见的网形，其中又以等边直伸导线为最简单的典型情况。各种测量规范中有关导线测量的技术要求都是以对这种典型情况的精度分析为基础而制定的。为此下面将重点介绍附合导线的最弱点点位中误差和平差后方位角的中误差。本节中采用下列符号：
表示点位的横向中误差；
表示点位的纵向中误差；
表示总点位中误差；
表示导线端点的下标；
表示导线中点的下标；
表示起始数据误差影响的下标；
表示测量误差影响的下标。
例如表示由测量误差而引起的导线端点的纵向中误差；表示由起始数据误差而引起的导线中点的横向中误差。
1.附合导线经角度闭合差分配后的端点中误差
图2-16
图2-16所示的等边直伸附合导线，经过角度闭合差分配后的端点中误差包括两部分：观测误差影响部分和起始数据误差影响部分。有关的计算公式已在测量学中导出，现列出如下：
（2-31）
（2-32）
（2-33）
（2-34）
式中，为导线边数；为边长测量的中误差；为测距系统误差系数；为导线全长；为测角中误差（以秒为单位）；为边长的中误差；为起始方位角的中误差；为导线的平均边长。
导线的端点中误差为
（2-35）
由上述公式可以看出，对于等边直伸附合导线而言，因测量误差而产生的端点纵向误差完全是由量边的误差而引起的；端点的横向误差完全是由测角的误差引起的。这个结论从图形来看是显然的，然而，如果导线不是直伸的，则情况就不同了。测角的误差也将对端点的纵向（指连结导线起点和终点的方向）误差产生影响，同样量边的误差也将对导线的横向误差产生影响。也就是说，无论是纵向误差还是横向误差，都包含有两种观测量误差的影响。对于这种一般情况下的端点点位误差的公式，这里就不予推导了。
2.附合导线平差后的各边方位角中误差
的中误差
（2-36）
由上式可知是导线边数，方位角序号和测角中误差的函数。现就=1的情况算出不同的和对应的值列于表2-6。从中可以看出：①一般地说，平差后各边方位角的精度最大仅相差约0.3"（当=16时）；②对于=12～16的导线，各边的的平均值近似等于测角中误差；③方位角精度的最强边当<10时在导线中间，当>10时在导线两端；④方位角精度的最弱边大约在距两端点1/5～1/4导线全长的边上，如图2-17所示。
表2-6 直伸等边导线平差后各边方位角误差系数
导线边号

导线边数
4
6
8
10
12
14
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.63
0.55
0.55
0.63
0.73
0.73
0.66
0.66
0.73
0.73
0.79
0.86
0.81
0.75
0.75
0.81
0.86
0.79

0.82
0.95
0.93
0.87
0.82
0.82
0.87
0.93
0.95
1.82
0.85
1.01
1.03
0.99
0.94
0.90
0.90
0.94
0.99
1.03
1.01
0.85
0.87
1.06
1.11
1.10
1.05
1.00
0.98
0.98
1.00
1.05
1.10
1.11
1.06
0.87
0.89
1.10
1.18
1.18
1.15
1.10
1.06
1.03
1.03
1.06
1.10
1.15
1.18
1.18
1.10
0.89
平均
0.59
0.71
0.80
0.88
0.95
1.02
1.09

图2-17
3.附合导线平差后中点的纵向中误差
点纵向的中误差为

对于导线的中点，距端点有条边，所以代入上式得
（2-37）
以上是测距的偶然误差产生的纵向中误差。此外，中点的纵向误差还受测距系统误差的影响。对于严格直伸的附合导线来说，平差后可以完全消除这种系统性的影响。然而，实际上不可能布设完全直伸的导线，现假定由此而产生的纵向误差为，于是考虑测距的偶然误差和系统误差之后，可以写出导线中点因测量误差而产生的纵向中误差为
（2-38）
4.附合导线平差后中点的横向中误差
对于图2-18的导线，只有方位角误差对横坐标有影响。对第点（距起点有条边），则点位横向中误差为

图2-18

（2-39）
对于导线中点，将代入上式得出
（2-40）
因导线全长为，所以上式还可写成
（2-41）
以上有关导线边方位角和点位精度的公式都是就等边直伸的条件下导出的，然而实际上一条导线并不完全满足这两个条件。所以，在这种情况下应用这些公式都是近似的，它们只能作为精度分析时的参考。
5.起始数据误差对附合导线平差后中点点位的影响
起始数据误差对平差后的附合导线中点的纵、横误差也有影响，由（2-33）式知，边长的误差对端点纵向中误差的影响为，则它对导线中点纵向误差产生的影响为
（2-42）
至于起始方位角误差对中点产生的横向误差可以这样来理解：当从导线一端推算中点坐标时，产生的横向误差为；而中点点位的平差值可以看做是从两端分别推算再取平均的结果。因而起始方位角误差对导线中点引起的横向误差为
（2-43）
附合导线平差后中点的点位中误差应为
（2-44）
6.附合导线端点纵横向中误差与中点纵横向中误差的比例关系
根据以上有关附合导线点位中误差的公式即可导出平差前端点点位中误差与平差后中点点位中误差的比例关系。根据这种关系，即可通过控制端点点位中误差（即导线闭合差的中误差）来控制导线中点（最弱点）的点位中误差，使其能满足规定的精度要求。各种测量规范中有关导线测量的主要技术要求，都是以这一关系作为重要依据的。下面来解决这个问题。
首先将与进行比较。由（2-32）和（2-41）式可知
（2-45）
同样，将（2-31）、（2-33）、（2-34）式与（2-38）、（2-42）、（2-43）式进行比较也可得出相应量之间的比例关系。现根据这些关系以及（2-45）式可写出下列各式：
（2-46）

2.4.2 关于直伸导线的特点

由测量学中的有关知识和以上的分析可知，直伸导线的主要优点是：①导线的纵向误差完全是由测距误差产生的；而横向误差完全是由测角误差产生的。因此在直伸导线平差时纵向闭合差只分配在导线的边长改正数中，而横向闭合差则只分配在角度改正数中；即使测角和测距的权定得不太正确，也不会影响导线闭合差的合理分配。但对于曲折导线，情况就不是这样，它要求测角和测边的权定得比较正确才行，然而实际上这是难以做到的。②直伸导线形状简单，便于理论研究。本节中导出的有关点位精度关系的一些公式，都是针对等边直伸导线而言的，如果不是直伸导线，上述公式都只能是近似的。
直伸导线也有不足之处。模拟计算表明：直伸导线的点位精度并不是最高的，有人提出，精度较高的导线是一种转折角为90°和270°交替出现的状如锯齿形的导线。有关规范上之所以要求布设直伸导线，主要是考虑它所具有的上述优点，然而实用上很难布成完全直伸的导线。于是有关规范只能规定一个限度，在此容许范围内的导线可以认为是直伸的。

2.4.4导线网的精度估算

以等级导线作为测区的基本控制时，经常需要布设成具有多个结点和多个闭合环的导线网，尤其在城市和工程建设地区更是如此，在设计这种导线网时，需要估算网中两结点和最弱点位精度，以便对设计的方案进行修改。至于估算的方法，在过去采用的“等权代替法”是一种近似的方法，而且有一定的局限性。但是由此法导出的一些结论仍可作为导线网设计的参考。如今在实际上采用的主要是电算的方法，如2.3.2小节所述。
下面介绍等权代替法。
测量学中已经导出计算支导线终点点位误差的公式
（2-47）
上式略去了起始数据误差的影响，其中。由此式可见若不考虑起始数据误差，则在一定测量精度和边长的情况下，支导线终点点位误差与导线全长有关。这种关系如用图解表示可以看得更清楚。以城市四等电磁波测距导线为例。设导线测量的精度为，，=±2.5"，导线边长分别为500、1 000、1 500和2 OOOm，导线总长为1～lOkm，代入(2-47)式计算支导线终点点位误差。将所得结果以为横坐标，以为纵坐标作图，如图2-19所示。由图可知，这些曲线都近似于直线，因此，在一定的测量精度与平均边长情况下，导线终点点位误差大致与导线长度成正比。设以长度为的导线终点点位误差作为单位权中误差，则长度为的导线终点点位的权及其中误差可按下列近似公式计算
（2-48）

图2-19
式中，。所以
或
式中，是导线长以为单位时的长度。
由上式可知，如果已知线路的权，则可求出相应的单一线路长度；反之如果已知线路长度，则可求出相应的权。现以图2-20所示的一级导线网为例，说明如何运用以上公式估算网中结点和最弱点的点位精度。图中为已知点,为结点。各线路长度如图所示。试估计结点和最弱点的点位中误差（不顾及起始数据误差影响）。

图2-20
为了估计导线网中任意点的点位中误差，需设法将网化成单一导线，然后按加权平均的原理计算待估点的权，再设法求出单位权中误差，最后即可求出待估点的中误差。
设以lkm长的一级导线的端点点位中误差为单位权中误差，则图2-20中各段线路的等权线路即为已知的线路长，所以
，，
相应的权为
，，
从线路和都可求得点的坐标，如取其加权平均作为点的坐标，则此坐标的权为

这个权值相应的虚拟等权线路长为

这就相当于把,两条线路合并成一条等权的线路，其长度为km,如图2-20（b）中虚线所示。现在原导线网已成为一条单一导线，其等权线路长为

对于这条单一导线而言，其最弱点应在导线中点，即距两端为km处。
现在来求点和点的权。点的坐标可看做是从和两条线路推算结果的加权平均，则点的权为

是导线的中点，其权应为线路的权的2倍，即

再来计算单位权中误差即长为lkm的一级导线端点的点位中误差。设导线的平均边长为m，测距精度为mm，，，；代入(2-47)式得

于是结点和最弱点的点位中误差为

图2-21
用同样的方法可以估算多结点的导线网的精度。但是这种方法不能解决全部导线网的精度估算问题，例如带有闭合环的导线网等图形。对于其中几类特殊的网形，有人提出过其他的一些估算方法，然而要估算任意导线网的精度，如今只能用电子计算机进行。
对于某些典型的导线网，人们已用上述等权代替法以及其他的一些方法进行了研究，其结论可作为设计导线网时的参考。
图2-21是若干种典型导线网图形，这些图形都可以转化为单一的等权线路。我们设想附合在两个高级控制点之间的单一等边直伸导线的容许长度为1.00，如图2-21（a）所示，则规定其他图形的最弱点点位误差与上述导线最弱点点位误差相等（亦即规定二者等权）的条件下，按等权代替法，算得各图形中高级点之间的容许长度及导线节的容许长度，它们的容许值分别在图中标出，网的最弱点位置以黑点标志。在进行导线网的初步设计时，若某一级单导线的规定容许长度为，则同等级导线网中导线节的长度可由图2-21中所示的比例关系来规定。按这种方式设计导线网，其最弱点点位误差将等于图2-21（a）中单导线的最弱点点位中误差。只要这一误差满足设计要求，则全部导线网的点位误差也必满足要求。