初中数学最值问题典型例题(含答案分析).doc

中考数学最值问题总结
考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题）
问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）
出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”
A
B
′
P
l
几何基本模型：
条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连结交于
点，则的值最小
例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）
（1）求S△DBF;
(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;
(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

例4、如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D
（1）求a，b及的值
（2）设点P的横坐标为
①用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由.

例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=,抛物线经过点A(4,0)与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
 解：

（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11分）

例2、 解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得： 解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线，得

∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，，∴x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1 ∴点F坐标为（0，1）
∴=2………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：，
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入，得：

解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，
即：………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4
∴
∵，
∴⑤式可写成：
解得：或（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线图像上，
∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，）.
例3、
解：（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=。
∴。
∴。
（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，
∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
∴。
（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。
第一种情况：当b＞2a时，存在最大值及最小值，
∵△BFD的边BD=，
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。
如图，当DF⊥BD时，S△BFD的最大值=，
S△BFD的最小值=。

第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，
S△BFD的最大值=。

例4、解：（1）由，得到x=－2，∴A（－2，0）。
由，得到x=4，∴B（4，3）。
∵经过A、B两点，
∴，解得。
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。
∴根据勾股定理，得AE=。
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。
∴。
（2）①由（1）可知抛物线的解析式为。
由点P的横坐标为，得P，C。
∴PC= 。
在Rt△PCD中，，
∵，∴当m=1时，PD有最大值。
②存在满足条件的值，。

例5、解：（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入中，得方程组，
解之，得.∴抛物线的解析式为.
（2）连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A ∴AC⊥m，∵ 弦 AB=AO， ∴ .∴AC⊥OB，∴m∥OB.
∴∠ OAD=∠AOB，∵OA=4 tan∠AOB=，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP= t.DF=DQ－FQ= t.
⊿ODF中，t=DF==1.8秒.
（3）令R(x, x2－2x) (0＜x＜4).
作RG⊥y轴于G 作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG= x，OG= x2+2x.
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB ，∴tan∠GIR=.∴IG=x IR= x,
Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x2+2x）=x2－x.HI=（x2－x）.
于是RH=IR－IH= x－（x2－ x）=－ x2+x=－ x2+x=－( x－)2+
当x=时，RH最大.S⊿ROB最大.这时x2－2x=×()2－2×=－.∴点R(,－)