概率统计第三章知识点小结.doc.pdf

第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第一节第一节 基本概念基本概念1 1、概念网络图、概念网络图分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布FtXXXZYXZYXn221),min(max,),(L2 2、重要公式和结论、重要公式和结论离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为，),2,1,)(,(Ljiyxji且事件=的概率为pij,称),(jiyx),2,1,(),(),(LjipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jMMMMMxipi1ijpMMMMM这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1ijijp（1）联合分布连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数),(YX，使对任意一个其邻边),)(,(yxyxf分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx.0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，（4）离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，离散型X 的边缘分布为；),2,1,()(LjipxXPPijjiiY 的边缘分布为。),2,1,()(LjipyYPPijijj（5）边缘分布连续型X 的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY离散型在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP（6）条件分布连续型在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为；)(),()|(yfyxfyxfY在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf0（7）独立性随机变量的函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g 为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y1 D1O 1 x图 3.1y1 O 2 x图 3.2ydcO a b x图 3.3D21D3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf其中是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态1|,0,0,21,21分布，记为（X，Y）N（).,2221,21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（).(),22,2211NY但是若 XN（，(X，Y)未必是二维正态分布。)(),22,2211NYZ=X+Y根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型，fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。222121,n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，iiiCiiiC222（10）函数分布Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立，其分布函数分别为nXXXL21,，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布)()()(21xFxFxFnxxxL，函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxxL)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxxL分布2设 n 个随机变量相互独立，且服从标准正态分nXXX,21L布，可以证明它们的平方和niiXW12的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的分布，记为 W2，其中)(2n.2012dxexnxn所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设2),(2iinY则).(2112kkiinnnYZLt 分布设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX可以证明函数nYXT/的概率密度为2121221)(nntnnntf).(t我们称随机变量 T 服从自由度为 t 分布，记为 Tt(n)。)()(1ntntF 分布设，且 X 与 Y 独立，可以证明)(),(2212nYnX的概率密度函数为21/nYnXF 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为n2的 F 分布，记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF例 31 二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为 YX-1012p1161000612616106121300616131pj316161311例 32：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域 D 上服从均匀分布，其中,1|,1|:|),(yxyxyxD求 X 的边缘密度 fX(x)例 33：设随机变量 X 以概率 1 取值 0，而 Y 是任意的随机变量，证明 X 与 Y 相互独立。例 34：如图 3.1，f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3，不独立。例 35：f(x,y)=其他,010,20,2yxAxy例 36：设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，且 XU（0，1），Ye（1），求 Z=X+Y 的分布密度函数 fz(z)。例 37：设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为,6.04.021X而 Y 的概率密度为 e(1)，求随机变量 U=的概率密度 g(u)。1YX第二节第二节 重点考核点重点考核点二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布第三节第三节 常见题型常见题型1 1、二维随机变量联合分布函数、二维随机变量联合分布函数例 38：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？（A）.,0,0,0),1)(1(),(1其他yxeeyxFyx（B）.3arctan22arctan21),(22yxyxF（C）.12,0,12,1),(3yxyxyxF（D）.,0,0,0,2221),(4其他yxyxFyxyx例 39：设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，它们均匀地分布在（0,）内，试求方程lt2+Xt+Y=0 有实根的概率。例 310：将一枚均匀硬币连掷三次，以 X 表示三次试验中出现正面的次数，Y 表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。例 311：设随机变量，且，求2,1,412141101iXi1)0(21XXP).(21XXP例 312：设某班车起点站上车人数 X 服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途)0(下车的概率为 p(0p1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的，用 Y 表示在中途下车的人数，求：二维随机向量（X，Y）的概率分布。例 313：设平面区域 D 是由与直线 y=0,x=1,x=e2所围成（如图 3.15），二维随机xy1向量=（X，Y）在 D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘分布密度在 x=2 处的值。例 314：设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随X)1,0()10(xxX机变量在区间上服从均匀分布，求Y),0(x()随机变量和的联合概率密度；XY()的概率密度；Y()概率1YXP2 2、随机变量的独立性、随机变量的独立性例 315：设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律，X，Y 的边缘分布律，并判断独立性。例 316：设随机变量 X 与 Y 独立，并且 P(X=1)=P(Y=1)=p，P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q，0p2|Y1),求的分布。21XY 第四节第四节 历年真题历年真题数学一：数学一：1 1（87，6 分）设随机变量X，Y相互独立，其概率密度函数分别为其他,010,1)(xxfX0,00,)(yyeyfyY求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数。2 2（91，6 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他,00,02),()2(yxeyxfyx求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数。3 3（92，6 分）设随机变量X与Y相互独立，X 服从正态分布，Y 服从-),(2N，上均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数 表示，其中。)(21)(22dtexxt4 4（94，3 分）设相互独立的两个数随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为则随机变量Z=maxX，Y的分布律为。212110pX5 5（95，3 分）设X和Y为两个随机变量，且7400,730,0YPXPYXP则。0),max(YXP6 6（98，3 分）设平面区域D由曲线，二维随所围成及直线2,1,01exxyxy机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2 处的值为。7 7（99，3 分）设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1），则（A）（B）210YXP211YXP（C）（D）210YXP211YXP8 8（99，8 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。Y X1y2y3yjipxXP1x812x81jjpyYp6119 9（02，3 分）设是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度21XX 和分别为，分布函数分别为，则)()(21xfxf和)()(21xFxF和（A）必为某一随机变量的概率密度；)()(21xfxf（B）必为某一随机变量的概率密度；)()(21xfxf（C）必为某一随机变量的分布函数；)()(21xFxF（D）必为某一随机变量的分布函数。)()(21xFxF1010（03，4 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他010,6),(yxxyxf则=。1YXP 11（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为，再从中任取一个XX,1L数，记为，则_。Y 2YP 12（05，4 分）设二维随机变量的概率分布为YX,已知随机事件与互相独立，则0X1YX（A）（B）3.0,2.0ba1.0,4.0ba（C）（D）（）2.0,3.0ba4.0,1.0ba 13（05，9 分）设二维随机变量的概率密度为YX,其他 ,0,20 ,10 ,1,xyxyxf 求：（I）的边缘概率密度，；YX,xfX yfY （II）的概率密度。YXZ 2 zfZ 14（06，4 分）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则XY 3,0 _。1,maxYXP 15（06，9 分）随机变量的概率密度为 令，x 其他,020 ,4101,21xxxfx2xy 为二维随机变量的分布函数。yxF,YX,（I）求的概率密度Y yfY （II）4,21F数学三：数学三：1 1（90，3 分）设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为212111mXPm212111mYPm则下列式子正确的是：（A）（B）YX 0 YXP（C）（D）21 YXP1 YXP2 2（90，5 分）一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知 X 和 Y 的联合分布函数为：其他若,00,1),()(5.05.05.0yxeeeyxFyxyx（1）问X和Y是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。3 3（92，4 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他,00,),(yxeyxfy（1）求 X 的概率密度);(xfX求。1YXP4 4（94，8 分）设随机变量相互独立且同分布，4321,XXXX。)4,3,2,1(4.0)1(,6.0)0(iXPXPii求行列式4321XXXXX 的概率分布。5 5（95，8 分）已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为其他若,010,10,4),(yxxyyxf求（X，Y）的联合分布函数。6 6（97，3 分）设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P（X=-1）=P（Y=-1）=，P（X=1）=P（Y=1）=，则下列各式成立的是2121（A）（B）21)(YXP1)(YXP（C）（D）41)0(YXP41)1(XYP7 7（98，3 分）设分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使)()(21xFxF与是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取)()()(211xbFxFaxF（A）（B）52,53ba32,32ba（C）（D）23,21ba23,21ba8 8（99，3 分）设随机变量),2,1(412141101iXi且满足等于则,102121XXPXXP（A）0（B）（C）（D）141219 9（01，8 分）设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形上的均匀分布。试求随机变量32,31:,(yxyxG。)(|upYXU的概率密度1010（03，13 分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为7.03.021X而 Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。11（05，4）从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为4,3,2,1XX,1L，则 _。Y 2YP12（05，4 分）设二维随机变量的概率分布为YX,若随机事件与互相独立，则 _，_。0X1YXab 13（05，13 分）设二维随机变量的概率密度为YX,其他 ,020,10 ,1,xyxyxf 求：（I）的边缘概率密度；YX,yfxfYX,（II）的概率密度；YXZ 2 zfZ （III）.2121XYP 14（06，4 分）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则XY 3,0_1,maxYXP数学四：数学四：1 1（90，6 分）甲、乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求（X，Y）的联合概率分布。2 2（93，3 分）设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN（，42），YN（，52），记p1=PX-4，p2=PY+5，则（A）对任何实数，都有p1=p2。（B）对任何实数，都有p1=p2。（C）只对 的个别值，才有p1=p2。对任何实数 都有p1=p2。3 3（96，7 分）设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 0 的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间 T 的概率分布。4 4（97，3 分）设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若PX0=，则PY1=。955 5（98，3 分）设分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)()(21xFxF与=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）（B）52,53ba32,32ba（C）（D）23,21ba23,21ba6 6（99，9 分）设二维随机变量（X，Y）在矩形 G=(X,Y)0 x2,0y1 上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)。7 7（99，8 分）已知随机变量X1和X2的概率分布212110,41214110121XX而且P X1X2=0=1。（1）求X1和X2的联合分布：（2）问X1和X2是否独立？为什么？8 8（02，3 分）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为，分布函数分别为。则)()(21xfxf和)()(21xFxF和（A）必为某一随机变量的概率密度。)()(21xfxf（B）必为某一随机变量的分布函数。)()(21xFxF（C）必为某一随机变量的分布函数。)()(21xFxF（D）必为某一随机变量的概率密度。)()(21xfxf9（04，13 分）设随机变量在区间上服从均匀分布，在X)1,0(的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求)10(xxXY),0(x()随机变量和的联合概率密度；()的概率密度；()概率XYY1YXP 10（05，4 分）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为，再从中任取一个XX,1L数，记为，则_。Y 2YP 11（05，4 分）设二维随机变量的概率分布为YX,YX0104.0a1b1.0 若随机事件与互相独立，则0X1YX （A）（B）3.0,2.0ba4.0,1.0ba （C）（D）2.0,3.0ba1.0,4.0ba 12（05，13 分）设二维随机变量的概率密度为YX,其他 ,020,10 ,1,xyxyxf 求：（I）的边缘概率密度，；YX,xfX yfY （II）的概率密度；YXZ 2 zfZ （III）。2121XYP 13（06，4 分）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则XY 3,1_1,maxyxP 14（06，13 分）设二维随机变量的概率分布为YX,YX1011a02.001.0b2.0101.0c 其中为常数，且的数学期望，记cba,x2.0EX5.00,0yxPYXZ 求：（1）的值cba,（2）的概率分布Z （3）ZXP