概率统计第三章知识点小结.doc.pdf
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1、第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第一节第一节 基本概念基本概念1 1、概念网络图、概念网络图分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布FtXXXZYXZYXn221),min(max,),(L2 2、重要公式和结论、重要公式和结论离散型如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。设=(X,Y)的所有可能取值为,),2,1,)(,(Ljiyxji且事件=的概率为pij,称),(jiyx),2,1,(),(),(LjipyxYXPijji为=(X,Y)的分布
2、律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jMMMMMxipi1ijpMMMMM这里pij具有下面两个性质:(1)pij0(i,j=1,2,);(2).1ijijp(1)联合分布连续型对于二维随机向量,如果存在非负函数),(YX,使对任意一个其邻边),)(,(yxyxf分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D=(X,Y)|axb,cyx1时,有 F(x2,y)F(x1,y);当 y2y1时,有 F(x,y2)F(x,y1);(3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即);0,(),(),0(),(
3、yxFyxFyxFyxF(4).1),(,0),(),(),(FxFyFF(5)对于,2121yyxx.0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF,(4)离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(,离散型X 的边缘分布为;),2,1,()(LjipxXPPijjiiY 的边缘分布为。),2,1,()(LjipyYPPijijj(5)边缘分布连续型X 的边缘分布密度为;dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY离散型在已知X=xi的条件下,Y 取值的条件分布为;iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下
4、,X 取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP(6)条件分布连续型在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为;)(),()|(yfyxfyxfY在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf0(7)独立性随机变量的函数若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立,h,g 为连续函数,则:h(X1,X2,Xm
5、)和 g(Xm+1,Xn)相互独立。特例:若 X 与 Y 独立,则:h(X)和 g(Y)独立。例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。(8)二维均匀分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从 D 上的均匀分布,记为(X,Y)U(D)。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y1 D1O 1 x图 3.1y1 O 2 x图 3.2ydcO a b x图 3.3D21D3(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxe
6、yxf其中是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态1|,0,0,21,21分布,记为(X,Y)N().,2221,21由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即 XN().(),22,2211NY但是若 XN(,(X,Y)未必是二维正态分布。)(),22,2211NYZ=X+Y根据定义计算:)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型,fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。222121,n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。,iiiCiiiC222(10)函数分布Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立,其分布函
7、数分别为nXXXL21,,则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布)()()(21xFxFxFnxxxL,函数为:)()()()(21maxxFxFxFxFnxxxL)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxxL分布2设 n 个随机变量相互独立,且服从标准正态分nXXX,21L布,可以证明它们的平方和niiXW12的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的分布,记为 W2,其中)(2n.2012dxexnxn所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性:设2),(2ii
8、nY则).(2112kkiinnnYZLt 分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且),(),1,0(2nYNX可以证明函数nYXT/的概率密度为2121221)(nntnnntf).(t我们称随机变量 T 服从自由度为 t 分布,记为 Tt(n)。)()(1ntntF 分布设,且 X 与 Y 独立,可以证明)(),(2212nYnX的概率密度函数为21/nYnXF 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1,第二个自由度为n2的 F 分布,记为 Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFn
9、nF例 31 二维随机向量(X,Y)共有六个取正概率的点,它们是:(1,-1),(2,-1),(2,0),2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同,则(X,Y)的联合分布及边缘分布为 YX-1012p1161000612616106121300616131pj316161311例 32:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,其中,1|,1|:|),(yxyxyxD求 X 的边缘密度 fX(x)例 33:设随机变量 X 以概率 1 取值 0,而 Y 是任意的随机变量,证明 X 与 Y 相互独立。例 34:如图 3.1,f(x,y)=8xy,fX(x)
10、=4x3,fY(y)=4y-4y3,不独立。例 35:f(x,y)=其他,010,20,2yxAxy例 36:设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,且 XU(0,1),Ye(1),求 Z=X+Y 的分布密度函数 fz(z)。例 37:设随机变量 X 与 Y 独立,其中 X 的概率分布为,6.04.021X而 Y 的概率密度为 e(1),求随机变量 U=的概率密度 g(u)。1YX第二节第二节 重点考核点重点考核点二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布第三节第三节 常见题型常见题型1 1、二维随机变量联合分布函数、二维随机变量联合分布函数例 38:如下四个二元函数,哪个不
11、能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数?(A).,0,0,0),1)(1(),(1其他yxeeyxFyx(B).3arctan22arctan21),(22yxyxF(C).12,0,12,1),(3yxyxyxF(D).,0,0,0,2221),(4其他yxyxFyxyx例 39:设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量,它们均匀地分布在(0,)内,试求方程lt2+Xt+Y=0 有实根的概率。例 310:将一枚均匀硬币连掷三次,以 X 表示三次试验中出现正面的次数,Y 表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。例 311:设随机变量,且,求2,1,412141
12、101iXi1)0(21XXP).(21XXP例 312:设某班车起点站上车人数 X 服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途)0(下车的概率为 p(0p1),并且他们在中途下车与否是相互独立的,用 Y 表示在中途下车的人数,求:二维随机向量(X,Y)的概率分布。例 313:设平面区域 D 是由与直线 y=0,x=1,x=e2所围成(如图 3.15),二维随机xy1向量=(X,Y)在 D 上服从均匀分布,求(X,Y)关于 X 的边缘分布密度在 x=2 处的值。例 314:设随机变量在区间上服从均匀分布,在的条件下,随X)1,0()10(xxX机变量在区间上服从均匀分布,求Y),0(x()随机变量和
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