自动控制原理第四章复习课程.doc

精品文档

第四章
4-1根轨迹的基本概念

4-2 绘制根轨迹的基本原则
4-3 参量根轨迹

第四章 根轨迹法
[教学目的]：理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法。 掌握系统根轨迹所揭示出的系统极零点对系统性质的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性质。
[主要内容]：
　一、根轨迹的基本概念
二、系统根轨迹的绘制原则
三、零度根轨迹与参数根轨迹
[重点]：掌握根轨迹的基本概念。根轨迹的定义及根轨迹方程，相角条件和幅值条件。
[难点]：根轨迹的正确绘制。深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息。
[讲授技巧及注意事项]：由第三章的内容引出，并紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可能地用已学过的知识导出新知识。

引言
E(s)
B(s)
1.不同研究内容所需的传递函数：
闭环传递函数：

闭环系统开环传递函数：

特征方程

误差传递函数

2.三大性能同各个传递函数的关系
1）稳定性：用特征方程来分析，只与开环传递函数有关；实质上是研究闭环极点的分布。
2）稳态性能：用闭环系统的误差传递函数来研究，也是只于开环传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极点个数和开环增益。
3）动态性能：用闭环传递函数，这时不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关。研究闭环系统的零极点及闭环增益。
3.分析方法及思路
1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点：
物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型
（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点，-------很容易获得；
（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；
（3）可以直接求取稳态误差；
(4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。
2)一个美好的愿望：
开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→分析系统的三大类性能。
对此，1948年美国的伊凡思(W.R.Evans)提出了一种图解反馈系统特征方程的工程方法，该方法称为根轨迹法。
根轨迹法是在已知反馈系统的开环极点与零点分布基础上，通过系统参数变化图解特征方程，即根据参数变化研究系统闭环极点分布的一种图解法。应用根轨迹法通过简单计算便可确定系统的闭环极点分布，并同时可以看出参数变化对闭环极点分布的影响。
4-1根轨迹的基本概念

根据伊凡思提出的方法，用来绘制根轨迹的方程式称为根轨迹方程。根轨迹方程得自反馈系统的特征方程，其求取步骤是：
1.写出反馈系统的特征方程，即
式中 G(s) ——反馈系统前向通道传递函数；H(s) ——反馈系统主反馈通道传递函数；
G(s)H(s) —— 反馈系统的开环传递函数；“+”号对应负反馈系统；“-”号对应正反馈系统。
2绘制反馈系统根轨迹的根轨迹方程，即
（负反馈系统）
及 （正反馈系统）
绘制根轨迹时的注意事项

（4-1）
A. 绘制反馈系统根轨迹之前，需对根轨迹方程中的开环传递函数G(s)H(s)化成通过极点与零点表达的标准形式，即
式中:
K* ——绘制根轨迹的可变参数，称为参变量， 0≤k*<∞
pi ——(i=1，2，3，…，n)为系统的开环极点；
zi——(i=1，2，3，…，m)为系统的开环零点。
注意:开环传递函数的标准形式必须具有下列特征
1) 参变量k*必须是G(s)H(s)分子连乘因子中的一个；
B. G(s)H(s)必须通过其极点与零点来表示；
由于S为复数，特征方程写成复数的指数表达形式
C. 构成G(s)H(s)分子、分母的每个因子（ s-zi) (i=o，1，2 …，m )及（s-pi） (i=o，1，2 ，…，n)中s的项系数必须是+1。
幅值条件
3、得到的根轨迹方程为180°(负反馈系统)根轨迹，即
或写成

相角条件

具有标准形式的开环传递函数求得的根轨迹方程为0°(正反馈系统)根轨迹，即
或写成
(幅值条件)
(相角条件)
说明：相角条件是绘制根轨迹的充要条件；幅值条件常用来求根轨迹上一点的K*值

4-2 绘制根轨迹的基本原则
式（4-1）
设已知反馈系统的开环传递函数具有如下标准形式：

式中zi(i=1，2，…，m) 、 pi(i=1，2，…，m) 分别为开环零点与极点，它们既可以是实数，也可以是共轭复数。
下面基于式（4-1）所示开环传递函数分别介绍按相角条件式绘制180°根轨迹的基本原则。
下面给出的绘制180°根轨迹基本规则
假若根轨迹方程为
其中G(s)H(s)具有式（4-17）所示的标准形式，则需按相角条件
绘制180°根轨迹。绘制规则是：
1.根轨迹的分支数
根轨迹的分支数等于反馈系统特征方程的阶数n，或者说根轨迹的分支数与闭环极点的数目相同。
2.根轨迹的连续性与对称性
式（4-2）
从式（4-11）及式（4-17）求得
结论：上式表明参变量k无限小的增量与s平面上长度|s-pi| (i=1，2，…，n) 及|s-zi| (i=1，2，…，m)的无限小增量相对应，这是复变量s在n条根轨迹上将产生一个无限小的位移。这个结论对于参变量k在[0，∞)上取任何值都是正确的，这便说明了根轨迹线是连续的。
由于反馈系统特征方程的系数仅与系统参数有关，而对实际的物理系统来说，系统参数又都是实数，从而特征方程的系数也必然都是实数。因为具有实数的代数方程的根如为复数，则必为共轭复数，所以实际物理系统的根轨迹必然是对称于实轴的曲线。
因此得绘制根轨迹的基本原则二：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。
3.根轨迹的起点与终点
根轨迹的起点是指参变量k=0时闭环极点在s平面上的分布位置而言，而根轨迹的终点则是k→∞时闭环极点在s平面上的分布位置。
式（4-3）
据开环传递函数为-1，系统的根轨迹方程可写成如下形式
说明过程：从上式可看出，在k=0时，根轨迹方程的解为s=pi(i=1,2,…,n)。这说明，在k=0时，闭环极点与开环极点相等。当k→∞时，根轨迹的解为s=zi(i=1,2,…,m)。这意味着参变量k趋于无穷大时，闭环极点与开环极点相重合。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则可认为有n-m个开环零点处于s平面上的无穷远处。因此，在m<n情况下，当k→∞时，将有n-m个闭环极点分布在s平面上的无穷远出。
因此得绘制根轨迹的基本原则三：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目m小于开环极点数目n，则有n-m条根轨迹终止于s平面上的无穷远处。
在实际物理系统中m≤n，所以闭环极点数目与开环极点数目n相等。这样，起始于n个开环极点的n条根轨迹，便构成了反馈系统根轨迹的全部分支。
式（4-4）
4.根轨迹的渐进线
由特征方程得
式（4-5）
或写成
当时k→∞，由于m<n，所以满足式（4-5）的复变量s也必趋于无穷大。因为需要研究k→∞ ，亦即k→∞的情况，所以在式（4-5）中取复变量s阶
式（4-6）
次较高的几项已足够。这样，由式（4-23）写出下列近似式
式（4-7）
将式（4-24）等号两边开(m-n)次方，得到
式（4-7）等号左边开方项按二项式定理展开，并略去变量1/s二次以上高次项，得到

式（4-8）

式（4-9）
考虑到e-j(2l+1)p=-1(l=0,1,2,…)，上式可写成

式（4-9）所示便是180°根轨迹方程在k→∞情况下的解。
绘制根轨迹的基本原则四：若反馈系统的开环零点数目m小玉其开环极点数目n，则当参变量k→∞时，跟轨迹共有(n-m)渐进线。这些渐进线在实轴上共交于一点，其坐标是
渐进线与实轴正方向的夹角分别是
5.实轴上的根轨迹
在实轴上的点，若在其右侧的开环实极点与开环实零点的总数为奇数，则该点所在线段必是实轴上根轨迹部分。
证明过程：找点用相角条件进行试探
6.根轨迹分离（会合）点
证明过程：分离点与会合点的坐标用下式求得证明过程见课本146

7.出射角与入射角

这一部分为出发的极点减去所有开环零点的向量相角之和

这一部分为出发极点减去所有其它的极点的相量相角之和

8.根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中的一部分位于虚轴上，亦即反馈系统特征方程根s=±jw。因此，将s=jw代入系统特征方程1+G(s)H(s)=0，得到由上式写出实部方程与虚部方程有
式（4-10）

便可方程组(4-32)解出根轨迹与虚轴交点坐标w以及与交点对应参变量k的临界值kc。因此得绘制根轨迹的基本原则八：反馈系统180°根轨迹与虚轴的交点坐标w以及参变量临界值kc为方程组(4-32)的实数解。
9.闭环极点的和与积
设反馈系统的特征方程为
的根为s1,s1,…,s1，则由
式（4-11）
根据代数方程根与系统间的关系，可写出对于稳定反馈系统,上式中的第二式可写成
因此得绘制根轨迹的基本原则九：在已知反馈系统的部分闭环极点情况下，可确定闭环极点在s平面上的分布位置,还可以计算出与系统闭环极点对应的参变量。
10.开环增益K的求取
式（4-12）
设参变量k是由开环增益K决定的变量。对于根轨迹分支上的某一点sl，其所对应的参变量kl可按式(4-21)计算为
因为参变量k为非负变量,所以上式可改写成
式（4-13）
式(4-13)说明，与根轨迹上一点sl对应的参变量值kl可通过该点至全部开环极点与开环零点的几何长度|sl-ki| (i=1,2,…,n) 、|sl-zi| (i=1,2,…,m)来计算。
因此得到绘制180°根轨迹的基本原则十：根据kl和反馈系统的型别及其开环极点与零点应用式可求取根轨迹分支上点sl对应的开环增益K。
例1: 设某系统的开环传递函数为
试绘制该系统的根轨迹。
解:由式(4-7)求得给定负反馈系统的根轨迹方程为
n=4, p1=0, p2=-1+j, p3=-1-j, p4=-2.73 ， m=0
因为给定系统的开环传递函数已具有式(4-9)所示标准形式，所以该系统的根轨迹图需按绘制180°根轨迹的基本原则来绘制。
1.由已知有
2.因为n=4,所以给定系统的根轨迹有四个根轨迹分支。
3.根轨迹的四个分支都是在s平面上的连续且对称于实轴的曲线。
3.因为n-m=4，所以其始开环极点p1~p4的四个根轨迹分支随着参变量均伸向s平面的无穷远。
4.由于n-m=4，所以给定系统共有四条渐进线，它们在实轴上的交点坐标
它们与实轴正方向的夹角
分别为±45°及±135°。
5.在实轴上，[0,-2.73]线段隶属于180°根轨迹。
6.起始于开环极点p1=0及p4=-2.73的两个分支脱离实轴时的分离点坐标求解
得出a≈-1.3。
7.起始于开环共轭复极点p2,3=-1±j的两个分支在p2、p3处的出射角，由出射角公式qp2=-75°由对称性可得qp3=+75°。
8.起始于开环共轭复极点p2,3的两个根轨迹分支与虚轴的交点坐标由式(4-32)分别求解实部方程与虚部方程

得到w1=0(k=0)及w2,3=±1.07rad/sec(k>0)。将w=1.07代入实部方程求得参变量k的临界值kc=7.28。因为给定系统为Ⅰ型，所以应用式(4-19)由kc=7.28求得给定系统的开环增益Kv的临界值Kvc为
其中m=0，故取
根据上列各点可绘制出给定系统的根轨迹，如图4-6所示。从图中可清楚的看到开环增益
Kv对系统稳定性的影响。

说明：
1、具体例题可参见课本，或PPT文件。
2、有时间的话在板书上规范做一题，然后再用MATLAB实现一下，
3、此块儿使学生达到的要求为：快速涂手绘制根轨迹法，及用MATLAB进行工程实现的方法。
二、绘制0°根轨迹的基本原则
除了四、五、七、八几点外，绘制0°根轨迹的基本原则与绘制180°根轨迹的基本原则均相同。故绘制绘制0°根轨迹时只需对绘制180°根轨迹的基本原则中的四、五、七、八几点做一些修改就可以了。
4.渐进线在实轴上相交于一点,其坐标是(sa,j0)，其中
各条渐进线与实轴正方向的夹角为
式（4-14）

在上式中pi(i=1,2,…,m)为开环极点；zi(i=1,2,…,n)为开环零点。
5.在实轴上取实验点s，若其右侧的开环实极点数目与开环实零点的数目的总和等于偶数时，实轴部分为根轨迹部分。
7.始于开环复极点的0°根轨迹的出射角qpl和止于开环复零点的0°根轨迹的入射角qzl分别按下式计算，即
式（4-15）

式（4-16）

式（4-17）
8.0°根轨迹与虚轴的交点坐标及参变量的临界值为方程组的解。
4-3 参量根轨迹
为区别与以开环增益为参变量的普通根轨迹，以非开环增益的其它参量为参变量的根
轨迹称为反馈系统的参量根轨迹。
反馈系统参量根轨迹图的绘制步骤为：
1.将系统特征方程
整理成
式（4-18）
式中G(s,X)——系统的开环传递函数；
X——参变量，非开环增益；
P(S)、Q(s)——不含参变量的复变量的多项式，其中最高次幂项的系数需化为+1，即需标准形式。
2.根据根轨迹方程按绘制180°根轨迹或绘制0°根轨迹的基本原则，同绘制以开环增益为参变量的普通根轨迹图一样，来绘制参变量X=0∽∞的参量根轨迹图。
例2： 已知某负反馈系统的开环传递函数为
试绘制以时间常数t为参变量的参量根轨迹，其中开环增益K及时间常数T为已知常数。
解：由已知的开环传递函数可写出给定负反馈系统的特征方程为
将上列特征方程式按式（4-18）要求进行整理，即

等效开环传递函数

将上列以时间常数t为参变量的根轨迹方程按式（4-9）要求进一步完成标准化处理，即由上式直接求得开环极点

及三个开环零点
小结
1.公式小结前边已经给出；
2.MATLAB函数：
rlocus(sys)、asymprl(sys)、rasymp(sys)、ltiview、sisotool等。
3.根轨迹分析方法的思路
1）先绘出基本的系统根轨迹图；
2）讨论根增益全程变化时的三大性能，关键是确定临界稳定和临界阻尼两个特殊点；
3）讨论增加零极点对根轨迹图的影响，寻找一个你能够用试探法得到的更好的结果：
这时：不考虑最好，只追求更好。（基本思想：对比讨论法）
4.sisotool是你可以找到的最好的辅助工具,也是今后工作中离不开的得力工具。

此处还应提供一些源程序，用MATLAB来实现根轨迹。

[作业]：
4-2,4-3，4-4，4-8

精品文档