八上数学导学手册答案.doc

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初二数学（八上）创新教育实验手册
参考答案（苏科版）

第一章 轴对称图形

1. 1 轴对称与轴对称图形
【实践与探索】
例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母．
解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．
注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形．
例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴．
（略）
【训练与提高】
一、选择题：
1．A 2．D 3．B 4．A 5．A
二、填空题：
6．（1） （2） （5） （6）
7．2，3，1，4 8．10∶21
三、解答题：
9．如图：

10．长方形、正方形、正五边形
【拓展与延伸】
1．（3）比较独特，有无数条对称轴

2．
1.2 轴对称的性质（1）

【实践与探索】
B1
C
B
A
C1
A1
图1.2.1
例1 已知△ABC和△A1B1C1是轴对称图形，画出它们的对称轴．
图1.2.2

解： 连接AA1，画出AA1的垂直平分线L，直线L就是△ABC和△A1B1C1的对称轴．
回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴．
例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段．
解：可标注不同的对称点．例如：A与A'是对称点，B与B'是对称点．
对称线段有AB与A'B'，CD与C'D'等．
回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质．
【训练与提高】
一、选择题：
1．B 2．D 3．B 4．A
二、填空题：
5．轴对称，3条 6．略 7．810076 8．AB＝CD BE＝DE ∠B＝∠D
三、解答题：
9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上
A
B
C
D1
D2
D3
D4
【拓展与延伸】
1．如图：

2．如图：

1.2轴对称的性质（2）
【实践与探索】
例1 画出图1.2.3中△ABC关于直线L的对称图形．
图1.2.３
（1）
（2）

解： 在图1.2.3（1）和图1.2.3（2）中，先分别画出点A、B、C关于直线L的对称点、和，然后连接、、，则△就是△ABC关于直线L对称的图形．
回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形；
（2）对称轴上的点（如图1.2.3（1）中的点B），其对称点就是它本身．
例2 问题1：如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A和B，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A和B两地的居民走的路最短？
图1．2．4　　　　　　　　　　图1．2．5
问题2：如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A和B，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A和B两地的总长最短？

问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？
探索：对问题1，显然只要连接AB，AB与a的交点就是所要找的点．
对问题2，即要在直线a上找一点C，使AC＋BC最小．
分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点C：
（1）作点A关于直线a的对称点A'；
（2）连结A'B交a于点C，点C就是所求作的点．
图1.2.4
理由：如图1.2.4，如果C'是直线a上异于点C的任意一点，连A C'、B C'、A' C'，则由于A、A'关于直线a对称，所以有
．
所以 ＞．
这说明，只有C点能使AC＋BC最小．
【训练与提高】
一、选择题：
1．C 2．C 3．B 4．A
二、填空题：
5．（1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5个
三、解答题：
8．略 9．略
①
②
③
④
10．画图略 11．如图：

12．画出点A关于直线L 的对称点A'，连结A'B与直线L的交点即为所求停靠点．
【拓展与延伸】
1．图略
2．图略
1.3设计轴对称图形

【实践与探索】
例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：

图1.3.1

观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？
例2 如图1.3.2，以直线L为对称轴，画出图形的另一半．

图1.3.2

【训练与提高】
一、选择题：
1．B 2．B
二、填空题：
3．M、P、N、Q
三、解答题：
4．如图：
5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略
8．图略
【拓展与延伸】
1．图略
2．图略，答案不唯一

1.4 线段、角的轴对称性(1)

【实践与探索】
例1 如图1.4.1，在△ABC中，已知边AB、BC的垂直平分线相交于点P．
(1)你知道点P与△ABC的三顶点有什么关系？图1.4.1

(2)当你再作出AC的垂直平分线时，你发现了什么？

解：(1)点P与△ABC的三顶点距离相等，即PA＝PB＝PC．
(2)如图，AC的垂直平分线也经过P点．即三角形的三条中垂线交于一点．
图1.4.２
例2 如图1.4.2，在△ABC中，已知AB ＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，交AC于E．已知△BCE周长为8，且AB－BC＝2，求AB、BC的长．

分析 ：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE，
因此△BCE的周长就转化为AC ＋BC，问题即可解决．
解： 因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE，
则△BCE的周长＝ BE＋CE ＋BC －AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．
又因为AB －BC ＝2， AB ＝AC，所以AC－BC＝2.
由上可解得AC ＝5， BC＝3．
回顾与反思 (1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法；
(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等．

【训练与提高】
一、选择题：
1．C 2．D 3．D 4．A
二、填空题：
5．无数个 6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm
三、解答题：
9．240 10．连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点
11．24 cm 12．(1) 35 0 （2）55 0
【拓展与延伸】
1．图略 （1）只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ （2）找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．
2． 9 cm
1.4 线段、角的轴对称性(2)
【实践与探索】
例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和
∠ACB的角平分线相交于O．请问：
图1.4.３

(1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？
(2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？
解： (1)点O到△ABC的三边的距离相等；
(2)如图1.4.3，∠A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点．
图1.4.4

例2 已知：如图1.4.4， AD∥BC， DC⊥BC， AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之．

分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试
（包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法．

(1)将“AE平分∠BAD"与“DE⊥AD"结合在一起考虑，可以联想到，
若作EF⊥AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF＝AD．
(2)再结合“点E是DC的中点”，可得：ED＝ EF＝EC．于是连接BE，可证BF＝BC．
这样，AD ＋ BC ＝AF ＋ BF ＝AB．
解：AD、BC与AB之间关系：AD ＋ BC ＝AB．证明思路简记如下：
作EF⊥AB，连接BE，易证△ADE≌△AFE( AAS)，∴AD ＝ AF．
再由EF＝ED，EF＝EC，可得△BFE≌△BCE( HL)，∴ BF＝BC，AD＋BC ＝AB．
回顾与反思 (1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等；
(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法．

【训练与提高】
一、选择题：
1．A 2．B 3．A 4．C
二、填空题：
5．线段的垂直平分线、角平分线 6．3 7．900
三、解答题：
8．略 9．过P点分别作垂线 10．作图略 11．作MN的中垂线，∠AOB的平分线交点即是 12．6 cm
【拓展与延伸】
1．600
2．略

1.5 等腰三角形的轴对称性(1)

【实践与探索】
例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数；
(2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数．
分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角；
(2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况．
解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为 (1800 － 1000)＝400．
(2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500．
回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？
例2 如图1.5.1，在△ABC中，AB ＝AC，D为BC的中点，
DE⊥AB，垂足为E， DF⊥AC，垂足为F．试说明DE＝DF的道理．
分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”图1.5.1
B
E
D
C
F
A
来说明
DE＝DF．也可以利用△ADB和△ACD面积相等来说明DE＝DF，
或用全等来说明．

【训练与提高】
一、选择题：
1．A 2．C 3．C 4．C 5．A
二、填空题：
6．5 cm 7．6 cm，2 cm，或4 cm，4 cm
8．（1）12.5 （2）， 9．3，3，4或4，4，2
三、解答题：
10．（1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11．750，750，300
12．33 cm 13．1080 14．BD＝CE. 理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．∴∠ADB＝∠AEC．∴ΔABD≌ΔACE．∴BD＝CE
【拓展与延伸】
1．1000
2．略
1.5 等腰三角形的轴对称性(2)

【实践与探索】
例1 如图1.5.2，在△ABC中，已知∠A ＝360，∠C＝720， BD
平分∠ABC，问图中共有几个等腰三角形？为什么？
解：图中共有3个等腰三角形．
∵∠A＝360，∠C＝720，
∴∠ABC＝1800一（∠A＋∠C）＝1800－ (360＋720) ＝720＝∠C，
图1．5．2
∴△ABC是等腰三角形．
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝360，
∠BDC＝∠A＋∠ABD ＝360＋360＝720，
即有∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C．
∴△ABD和△BCD都是等腰三角形．
∴图1.5.2中共有3个等腰三角形．
图1.5.3

例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝
900．，M、N分别是AC. BD的中点，试说明：
(1)DM＝BM； (2)MN⊥BD．
解： (1) ∵点M是Rt△ABC斜边的中点，∴BM＝ AC，
同理DM＝AC，∴BM＝BM；
(2) ∵N是BD的中点，又BM＝DM，∴MN⊥BD．
回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系；
(2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一．
【训练与提高】
一、选择题：
1．D 2．B 3．D 4．C
二、填空题：
5．等腰 6．8 7．350 ， 8．（1）ΔBDE或ΔADE （2）ΔBCE
（3）ΔAGF
三、解答题：
9．等腰三角形 10．ΔABC，ΔAEF，ΔEBO，ΔFCO，ΔOBC BE＝CF＝EF
11．平行 12．10 cm
【拓展与延伸】
1．延长AE交BC延长线于F
2．略

1.5 等腰三角形的轴对称性(3)

【实践与探索】
图1.5.4
例1 如图1.5.4，在△ABC中，AB ＝AC，∠BAC＝
1200，点D、E在BC上，且BD ＝AD，CE ＝AE．判断△ADE的形
状，并说明理由．
解： △ADE是等边三角形．
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120．，∴∠B＝∠C＝300．
∵BD ＝AD， AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD ＝300，∠C＝∠CAE ＝300，∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝600.
∴△ADE是等边三角形．
例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为 ( )
A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．以上都不对
分析 可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm．因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm．
解： 选B．
回顾与反思 涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况．这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．
【训练与提高】
一、选择题：
1．D 2．D 3．C 4．A 5．C
二、填空题：
6．等边、等边 7．150 8．1200
三、解答题：
9． 10、略 11．（1）EC＝BD （2）添加条件：AB＝AC，是轴对称图形，此时，∠BOC＝1200，
12．过D点作AC平行线
【拓展与延伸】
1．添辅助线，通过ΔACD≌ΔBCE来说明
2．略

1.6 等腰梯形的轴对称性(1)

图1.6.1
【实践与探索】
例1 如图1.6.1，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝CD，
点E在BC上，DE∥AB且平分∠ADC，△CDE是什么三角形？
请说明理由．

解： △CDE是等边三角形．
因为AD∥BC， AB＝CD，所以∠B＝∠C．理由：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”
又因为AD∥BC，所以∠ADE＝∠CED．由DE平分∠ADC，可得∠ADE＝∠CDE，
于是∠CED＝∠CDE.又因为AB∥DE，所以∠B＝∠CED，从而有∠C＝∠CED＝∠CDE，
所以△CDE是等边三角形．
回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识．
例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，
图1.6.2
∠B ＝600， AB ＝2，BC＝6．将纸片折叠，使得点B与点D
恰好重合，折痕为AE，求AE和CE的长．
解 ∵点B与点D沿折痕AE折叠后重合，
∴△ABE≌△ADE ，
∴ ∠1 ＝ ∠B ＝600， ∠3 ＝∠4.
∵AD∥BC， ∴∠1 ＝ ∠2＝600.
而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝1200， ∴ ∠3 ＝∠4＝600，
而∠B ＝600，∴∠5 ＝600，因此，△ABE是等边三角形．
∴AE － BE ＝AB ＝2， ∴CE ＝BC － BE ＝4.
回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用．
【训练与提高】
一、选择题：
1．B 2．C 3．B
二、填空题：
4．1080，1080，720 5．27 6．①②③④ 　7．1 cm 8．150
三、解答题：
9．∠A＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．成立
【拓展与延伸】
1． CE＝（AB＋BC）
过点C作CF∥DB，交AB的延长线于点F，先证：ΔDCB≌ΔFBC，则CF＝DB，又四边形ABCD是等腰梯形，则AC＝DB，故AC＝CF，
易证：∠AOB＝∠ACF，所以ΔACF为等腰直角三角形．
又因为CE⊥AB，易证：CE＝AE＝EF＝．

2．4，6
1.6等腰梯形的轴对称性（2）

【实践与探索】
B
C
F
A
D
E
例1 如图1.6.3，△ABC中，∠ACB＝900，D是AB的中点，DE∥AC，且DE＝，点F在AC延长线上，且CF＝，请说明四边形AFED是等腰梯形．
图1.6.3
略证：先说明四边形CFED是平行四边形．
由CD∥EF，∠F＝∠ACD，且CD是RT△ABC斜边上的中线
得∠A＝∠F，证得四边形AFED是等腰梯形

回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等．
例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题．
已知在四边形ABCD中，AB＝CD，AC＝BD，AD≠BC.则四边形ABCD是等腰梯形．你能说明理由吗？
分析：要证明四边形ABCD是等腰梯形，因为AB＝DC，所以只需证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD≠BC，故只需证AD∥BC．现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明．
(1)
(2)
(3)
(4)
图1.6.4

友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．
回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来．
【训练与提高】
一、选择题：
1．C 2．C 3．B 4．B 5．C
二、填空题：
6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0，
8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰
三、解答题：
10．略 11．ΔABC≌ΔDCB
12．是，理由：∵∠E＝∠ACE，∴AE＝AC ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACE
∴∠E＝∠DAC ∵AD＝BE，∴ΔABE≌ΔCDA ∴AB＝CD ∴梯形ABCD是等腰梯形．
13．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB ．
∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝900，BC＝BC
∴ΔBEC≌ΔCDB．∴BE＝CD∴AE＝AD．
∴AED＝∠ADE＝．∵∠ABC＝∠ACB＝，
∴∠AED＝∠ABC.∴ED∥BC.
∵BE与CD相交于点A，∴BE与CD不平行．
∴四边形BCDE是梯形．∵∠EBC＝∠DCB，∴梯形BCDE是等腰梯形．
M
N
F
D
C
B
A
E
【拓展与延伸】
1．26，32
2．解：设经过x 秒后梯形MBND是等腰梯形，
∵作ME⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．
∴BE＝FN＝AM＝x．∴EF＝MD＝21－x，CN＝2x，BN＝24－2x．
∴BN＝2AM＋MD．即24－2x＝2x＋21－x，∴x＝1．

第一章复习题
A组：
1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．、18或21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0或700、700 8．3 cm 或7 cm 9．7，10或8.5， 8.5
10．（1）300， （2）19 11．1000 12．（1）400，（2）350，（3）360
13．450 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3
B组：
16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先证：ΔADE≌ΔADC，则DE＝DC，
所以∠DEC＝∠DCE，又EF∥BC，所以∠DCE＝∠FEC，则∠FEC＝∠DEC
20． 21．略
22．提示：连结CR、BP，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

第二章 勾股定理与平方根答案
2.1 平方根⑴
例1解： ⑴∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10，即；
⑵∵(±1.3)2＝1.69，∴1.69的平方根是±1.3，即；
⑶∵ ，(±)2＝，∴的平方根是±，即；
⑷∵02＝0，∴0的平方根是0，即.
回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10的错误；
⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根；
⑶ 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根.
例2解： ⑴∵－64＜0，∴－64没有平方根；
⑵∵(－4)2＝16＞0； ∴(－4)2有两个平方根，即；
⑶∵－52＝－25＜0， ∴－52没有平方根；
⑷∵表示81的正的平方根是9，∵9＞0， ∴的平方根有两个是±3.
回顾与反思：象(－4)2、这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数的平方根.
例3解：⑴ ∵，∴x是196的平方根，即；
⑵ ∵，∴，x是2的平方根，即；
⑶ ∵， ∴，
∴是的平方根，即；
∴，
【训练与提高】
1. B； 2D； 3B. 4.3； 5.±17；±4； 6.±15；； 7.－1； ； 8.9；81； 9.0. 10．⑴－8；⑵±1.3；⑶；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶；⑷3，－1；12.25； 13．±4.
【拓展与延伸】
1. ±9；2.±3.
2.1 平方根⑵
例1分析： 表示10000的_________根； 表示的算术平方根的相反数； 表示的__________根.
解 ⑴；
⑵ ；
⑶ .
回顾与反思：表示10000的算术平方根，要防止出现＝±100的错误.
探索：⑴发现： 当时，.
⑵发现：当时，， 当时， ；当时， .
即.
例2解： ⑴ ＝3； ⑵ ＝3； ⑶ 当x＞0时，；
⑷当时，，.
回顾与反思：等式和，是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们.
【训练与提高】
1.B； 2.A； 3.B 4.D； 5.D； 6.C. 7.⑴±15，15；⑵ ， ；⑶±0.1，0.1；⑷.⑸±2，2；8.； 9.，2；10.；11.－1； 12.－3，互为相反数. 13.⑴ 1；⑵； ⑶；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺.⑻.
【拓展与延伸】
1. ±5，±1 ；12. 5.
2.2立方根
例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.
例1解 ⑴∵，∴；
⑵∵，∴ ；
⑶、⑷、⑸略.
例2解 ⑴；
⑵.
⑶略.
回顾与反思：⑴当被开方数带“－”号时，可把“－”提取到根号外后再计算；
⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数；
⑶当被开方数没化简时，应先化简后再求值.
例3解 ⑴；⑵略
回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵与中的被开方数a的取值范围不同， 中的a应满足a≥0， 中的a可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根.
【训练与提高】
1. B； 2.C； 3.D； 4.B； 5.±8，4，8； 6.－1，5，，. 7. 100；±8； 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵；⑶；⑷；⑸；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 10.⑴.⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵；⑶－4；⑷－2.
【拓展与延伸】
1. ； 2. 37.5㎝2.
2.3实数⑴
例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是.

图2.3.1

这就是说，边长为1的正方形的对角线长是，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示的点，如图2.3.2所示.
O
1
x

例2分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率就是无理数.
解 有理数有－3.1415926，， ，.
无理数有， ，， 0.1010010001….
回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.
例3解 ⑴ 不正确.如是无限小数，但它不是无理数；
⑵ 不正确. 如是有理数，但它是无限小数；
⑶ 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数；
⑷ 不正确.如是有理数.
【训练与提高】
1.B； 2. C； 3.C. 4.实数； 5. ，，0，252252225 ，； 5.121121121…，， ，. 6．；7.±.
【拓展与延伸】
1. C； 2. 8.
2.3实数⑵
例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.
解 ⑴ ∵，∴的相反数是4，绝对值是4；
的相反数是，∵＜0，∴.
⑵ ∵，，∴这个数是±
解 由图可知，∴.∵，∴，∴
∵，∴，
∴
回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系；
⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.
⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.
例3解： （1）∵ ，，又， ∴ .
（2）∵，∴， ∴
回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.
估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.

【训练与提高】
1. D ； 2.B； 3.⑴2，2；⑵ ，；⑶－3，3；⑷， . 4． ＜， ＜， ＜； 5.－1，0，1； 6. ； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 8.⑴－5；⑵－4；⑶；⑷－9. 9.b－2 a－2c . 10＜； ＜； ＜； ＞.
【拓展与延伸】
1. 2a－b .2. 4－.
2.3近似数与有效数字
例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.
解 略.
例2解 ⑴ 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8.
⑵ 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6.
⑶ 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.
回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.
例3解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480；
⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.7×104.
回顾与反思：（1）本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?
（2）第⑷小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保