复变函数期末考试复习题及答案详解.doc

《复变函数》考试试题（一）
1、 __________.（为自然数）
2. _________.
3.函数的周期为___________.
4.设，则的孤立奇点有__________.
5.幂级数的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.
7.若，则______________.
8.________，其中n为自然数.
9. 的孤立奇点为________ .
10.若是的极点，则.
三.计算题（40分）：
1. 设，求在内的罗朗展式.
2.
3. 设，其中，试求
4. 求复数的实部与虚部.
四. 证明题.(20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.
《复变函数》考试试题（二）
二. 填空题. (20分)
1. 设，则
2.设，则________.
3. _________.（为自然数）
4. 幂级数的收敛半径为__________ .
5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.
6. 函数ez的周期为__________.
7. 方程在单位圆内的零点个数为________.
8. 设，则的孤立奇点有_________.
9. 函数的不解析点之集为________.
10. .
三. 计算题. (40分)
1. 求函数的幂级数展开式.
2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.
4. 求 .
四. 证明题. (20分)
1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.
2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题（三）
二. 填空题. (20分)
1. 设，则f(z)的定义域为___________.
2. 函数ez的周期为_________.
3. 若，则__________.
4. ___________.
5. _________.（为自然数）
6. 幂级数的收敛半径为__________.
7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________.
8. 设，则.
9. 若是的极点，则.
10. .
三. 计算题. (40分)
1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.
2. 试求幂级数的收敛半径.
3. 算下列积分：，其中是.
4. 求在|z|<1内根的个数.
四. 证明题. (20分)
1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.
2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）
二. 填空题. (20分)
1. 设，则.
2. 若，则______________.
3. 函数ez的周期为__________.
4. 函数的幂级数展开式为__________
5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________.
7. 设，则.
8. 的孤立奇点为________.
9. 若是的极点，则.
10. _____________.
三. 计算题. (40分)
1. 解方程.

2. 设，求
3. .
4. 函数有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.
四. 证明题. (20分)
1. 证明：若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析.
2. 证明方程在内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

二. 填空题.（20分）
1. 设，则.
2. 当时，为实数.
3. 设，则.
4. 的周期为___.
5. 设，则.
6. .
7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
8. 函数的幂级数展开式为_________.
9. 的孤立奇点为________.
10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则.（为自然数）
三. 计算题. (40分)
1. 求复数的实部与虚部.
2. 计算积分：
，
在这里L表示连接原点到的直线段.
3. 求积分：，其中0<a<1.
4. 应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里在上解析，并且.
四. 证明题. (20分)
1. 证明函数除去在外，处处不可微.
2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时
，
证明:是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）
1.
一、 填空题（20分）
1. 若，则___________.
2. 设，则的定义域为____________________________.
3. 函数的周期为_______________________.
4. _______________________.
5. 幂级数的收敛半径为________________.
6. 若是的阶零点且，则是的____________零点.
7. 若函数在整个复平面处处解析，则称它是______________.
8. 函数的不解析点之集为__________.
9. 方程在单位圆内的零点个数为___________.
10. 公式称为_____________________.
二、 计算题（30分）
1、.
2、设，其中，试求.
3、设，求.
4、求函数在内的罗朗展式.
5、求复数的实部与虚部.
6、求的值.
三、 证明题（20分）
1、 方程在单位圆内的根的个数为6.
2、 若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等于常数.
3、 若是的阶零点，则是的阶极点.

６．计算下列积分．（８分）
(1) ；　　　 (2) ．
７．计算积分．（６分）
８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）
(1)　；　　　　　　　　(2)　．
９．设为复平面上的解析函数，试确定，，的值．（６分）
三、证明题．
１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．（５分）
２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．（５分）
试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题（一）参考答案
二．填空题
1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 1
6. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .
三．计算题.
1. 解 因为 所以
.
2. 解 因为
,
.
所以.
3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内,
.
所以.
4. 解 令, 则
.
故 , .
四. 证明题.
1. 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) 若, 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.
2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以
的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.

《复变函数》考试试题（二）参考答案

二. 填空题
1.1，， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .
6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.
三. 计算题
1. 解 .
2. 解 令.
则.
又因为在正实轴去正实值，所以.
所以.
3. 单位圆的右半圆周为, .
所以.
4. 解
=0.
四. 证明题.
1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数).
令. 则.
即满足, 且连续, 故在内解析.
(充分性) 令, 则 ,
因为与在内解析, 所以
, 且.
比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.
2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”.
证明 令, 取, 当在上时, 有 .
.
由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相
同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.

《复变函数》考试试题（三）参考答案

二.填空题.
1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;
6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .
三. 计算题.
1. 解 .
2. 解 .
所以收敛半径为.
3. 解 令 , 则 .
故原式.
4. 解 令 , .
则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有
. 即在 内, 方程只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 证明 设在内.
令.
两边分别对求偏导数, 得
因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为
. 消去得, .
1) , 则 为常数.
2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .
所以. (为常数).
所以为常数.

2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .
于是由的任意性知对一切均有.
故, 即是一个至多次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（四）参考答案
.
二. 填空题.
1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;
6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .
三. 计算题.
1.

2. 解 , .
故原式.
3. 解 原式.
4. 解 =，令，得，
而
为可去奇点

当时，
而 为一阶极点.
四. 证明题.
1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑
.
而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.
2. 证明 令, , 则与在全平面解析,
且在上, ,
故在内.
在上, ,
故在内.
所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一. 判断题.
1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√.
二. 填空题.
1.2, , ; 2. ;
3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0;
7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. .
三. 计算题.
1. 解 令, 则
.
故 , .
2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 ,
故.
3. 令, 则. 当时
,
故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有
.
4. 解 令 则在内解析, 且在上, ,
所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.
四. 证明题.
1. 证明 因为, 故.
这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.
2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, .
于是由的任意性知对一切均有.
故, 即是一个至多次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（六）参考答案
二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1
6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式
三、计算题：
1. 解：因为
故.
2. 解：

因此
故
.
3.解：

4.解：

5．解：设, 则.

6．解：
四、1. 证明：设
则在上， 即有.
根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.
2.证明：设，则, 由于在内解析，因此有 , .
于是故，即在内恒为常数.
3.证明：由于是的阶零点，从而可设
，
其中在的某邻域内解析且，
于是
由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.
《复变函数》模拟考试试题
《复变函数》考试试题（一）
一、 判断题（4x10=40分）：
1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）
2、有界整函数必在整个复平面为常数。（ ）
3、若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )
4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ）
5、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（ ）
6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ）
7、若存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）
8、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（ ）
9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ）
10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ）
二、填空题（4x5=20分）
1、若是单位圆周，n是自然数，则__________。
2、设，则
_________。
3、设，则f(z)的定义域为___________。
4、的收敛半径为_________。
5、_____________。
三、计算题（8x5=40分）：
1、设，求在内的罗朗展式。
2、求。
3、求函数的幂级数展开式。
4、求在内的罗朗展式。
5、求，在|z|<1内根的个数。

《复变函数》考试试题（二）
一、判断题（4x10=40分）：
1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ）
2、有界整函数必为常数。（ ）
3、若收敛，则与都收敛。( )
4、若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）。（ ）
5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
6、若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件。（ ）
7、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）
8、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（ ）
9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ）
10、cos z与sin z的周期均为。（ ）
二、填空题（4x5=20分）
1、__________。
2、设，则f(z)的孤立奇点有__________。
3、若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。
4、 _________。
5、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
三、计算题（8x5=40分）：
1、
2、求
3、
4、求在内的罗朗展式。
5、求在|z|<1内根的个数。

《复变函数》考试试题（三）
一、判断题（3x10=30分）：
1、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ）
2、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）
3、如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在。( )
4、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）
5、若函数f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D内连续，则二元函数u(x,y)与(x,y)。（ ）
6、函数与在整个复平面内有界。（ ）
7、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
8、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（ ）
9、存在整函数将复平面映照为单位圆内部。（ ）
10、若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。（ ）
二、填空题（2x10=20分）
1、若，则__________。
2、若是单位圆周，n是自然数，则__________。
3、函数的周期为___________。
4、设，则的孤立奇点有__________。
5、幂级数的收敛半径为__________
6、若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点。
7、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内_________。、
8、函数的不解析点之集为________。
9、____________，其中n为自然数。
10、公式称为_____________.
三、计算题（8x5=40分）：
1、设，其中，试求
2、求。
3、设，求
4、求函数在内的罗朗展式。
5、求复数的实部与虚部。
6、求
四、证明题（6+7+7=20分）：
1、设是函数f(z)的可去奇点且，试证：
。
2、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且，则。
3、证明方程在内仅有3个根。

《复变函数》考试试题（四）
一、判断题（3x10=30分）：
1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）
2、如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在。（ ）
3、若存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点。( )
4、若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析。（ ）
5、若数列收敛，则与都收敛。（ ）
6、若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析。（ ）
7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ）
8、存在整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部。（ ）
9、若函数f(z)是区域D内的解析函数，且在D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（ ）
10、。（ ）
二、填空题（2x10=20分）
1、函数ez的周期为__________。
2、幂级数的和函数为__________。
3、函数ez的周期为__________。
4、设，则的孤立奇点有__________。
的收敛半径为_________。
5、幂级数的和函数为____________。
6、若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
7、若，则______________。
8、________，其中n为自然数。
9、方程在单位圆内的零点个数为________。
10、函数的幂级数展开式为__________。
三、计算题（5x6=30分）：
1、
2、求
3、
4、求函数在内的罗朗展式。
5、求方程在单位圆内零点的个数。
6、求。
四、证明题（6+7+7=20分）
1、设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析。
2、如果函数在上解析，且，则。
3、设方程 证明：在开单位圆内根的个数为5。

《复变函数》考试试题（五）
一、判断题（3x10=30分）：
1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续。（ ）
2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ）
3、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件。( )
4、若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则。（ ）
5、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（ ）
6、若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（ ）
7、若，则函数f(z)在是D内的单叶函数。（ ）
8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ）
9、如果函数f(z)在上解析，且，
则。（ ）
10、。（ ）
二、填空题（2x10=20分）
1、若，则__________。
2、设，则的定义域为__________。
3、函数sin z的周期为___________。
4、________。
5、幂级数的收敛半径为_____________。
6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是的______零点。
7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。
8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。
9、方程在单位圆内的零点个数为_________。
10、公式称为__________。
三、计算题（5x6=30分）：
1、
2、设，其中，试求
3、设，求
4、求函数在内的罗朗展式。
5、求复数的实部与虚部。
6、求的值。
四、证明题（6+7+7=20分）
1、方程在单位圆内的根的个数为6。
2、若函数在区域D内解析，等于常数，则在D内恒等于常数。
3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。

《复变函数》考试试题（六）
一、判断题（3x8=24分）
1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）
2、若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件。（ ）
3、如果z0是f(z)的可去奇点，则一定存在且等于零。( )
4、若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则。（ ）
5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ）
6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ）
7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ）
8、。（ ）
二、填空题（2x10=20分）
1、若，则__________。
2、设，则的定义域为__________。
3、函数的周期为___________。
4、________。
5、幂级数的收敛半径为_____________。
6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是的______零点。
7、若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_______。
8、函数f(z)=|z|的不解析点之集为__________。
9、方程在单位圆内的零点个数为_________。
10、_____________。
三、计算题（5x6=30分）
1、求
2、设，其中，试求
3、设，求
4、求函数在内的罗朗展式。
5、求复数的实部与虚部。
6、利用留数定理计算积分：
四、证明题（6+7+7=20分）
1、方程在单位圆内的根的个数为7。
2、若函数在区域D内解析， 等于常数，则在D内恒等于常数。
3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。
五、计算题（10分）
求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘保形映射为w平面的单位圆盘。

《复变函数》考试试题（七）
一、 判断题（2x10=20分）
1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析。（ ）
2、若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析。（ ）
3、如果z0是f(z)的极点，则一定存在且等于无穷大。( )
4、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（ ）
5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（ ）
7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（ ）
8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ）
9、如果函数f(z)在上解析，且，则。（ ）
10、。（ ）
二、填空题（2x10=20分）
1、若，则__________。
2、设，则的定义域为__________。
3、函数sin z的周期为___________。
4、________。
5、幂级数的收敛半径为_____________。
6、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是的______零点。
7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。
8、函数 的不解析点之集为__________。
9、方程在单位圆内的零点个数为_________。
10、_____________。
三、计算题（5x6=30分）
1、
2、设，其中，试求
3、设，求
4、求函数在内的罗朗展式。
5、求复数的实部与虚部。
6、利用留数定理计算积分。
四、证明题（6+7+7=20分）
1、方程在单位圆内的根的个数为6。
2、若函数在区域D内解析， 等于常数，则在D内恒等于常数。
3、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。
五、计算题（10分）
求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域保形映射为w平面的单位圆盘。

《复变函数》考试试题（八）
二、 判断题（4x10=40分）：
1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ）
2、如果z0是f(z)的本性奇点，则一定不存在。（ ）
3、若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )
4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ）
5、若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点。（ ）
6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ）
7、若存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）
8、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有。（ ）
9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ）
10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ）
二、填空题（4x5=20分）
1、函数ez的周期为__________。
2、幂级数的和函数为__________。
3、设，则f(z)的定义域为___________。
4、的收敛半径为_________。
5、_____________。
三、计算题（8x5=40分）：
1、
2、求
3、。

4 设。求，使得为解析函数，且满足。其中（D为复平面内的区域）。

5、求，在|z|<1内根的个数

《复变函数》考试试题（九）
一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，25=10分）
1．当复数时，其模为零，辐角也为零。 （ ）
2．若是多项式（）的根，则也是 的根。 （ ）
3．如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为
一常数。 （ ）
4．设函数与在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，
则对任意的，有。 （ ）
5．若 是函数的可去奇点，则。 （ ）
二、填空题（每题2分）
1． 。
2．设，且，，当时，。
3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线。
4．方程的不同的根为。
5．。
6．级数的收敛半径为。
7．在（n为正整数）内零点的个数为。
8．函数的零点的阶数为。
9．设为函数的一阶极点，且，则
。
10．设为函数的m阶极点，则。
三、计算题。（50分）
1． 设。求，使得为解析函数，且满足。其中（D为复平面内的区域）。（15分）
2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分）
（1） ； （5分） （2）。（5分）
3．计算下列积分。（15分）
（1） （8分）， （2）（7分）。
4．叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。（10分）
四．证明题。（20分）
1．设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的解析函数。（10分）
2． 设函数在内解析，令。证明：在区间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则常数。（10分）

《复变函数》试卷(十)

一、填空题。(每题2分)
1、 设，则。
2、 设函数，，，则 的充要条件是。
3、 设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分。
4、 设为的极点，则。
5、 设，则是的阶零点。
6、 设，则在的邻域内的泰勒展式为。
7、 设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是。
8、 设，则的三角表示式为。
9、 。
10、 设，则在处的留数为。
二、计算题。
1、 计算下列各题。(9分)
(1) ; (2) ; (3)
2、 求解方程。(7分)
3、 设，验证是调和函数，并求解析函数，使之。(8分)
4、计算积分。(10分)
(1) ，其中是沿由原点到点的曲线。
(2) 。积分路径为自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到。
5、 试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数。(8分)
6、 计算下列积分。(8分)
(1) ; (2) .
7、 计算积分。(8分)
8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)
（1） （2）
9、讨论的可导性和解析性。(6分)
三、 证明题。
1、 设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数。(5分)
2、 试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数。(5分)

《复变函数》考试试卷(十一)
一、填空题。(每题2分)
1、设，则。
2、设函数，，，则 的充要条件是。
3、设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积分。
4、设为的可去奇点，则为。
5、设，则是的阶零点。
6、设，则在的邻域内的泰勒展式为。
7、设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是。
8、设，则的三角表示式为。
9、。
10、设，则在处的留数为。
二、计算题。
1、计算下列各题。(9分)
(1) ; (2) ; (3)
2 求解方程。(7分)
3设，验证是调和函数，并求解析函数，使之。(8分)
4、 计算积分。积分路径为(1)自原点到的直线段；(2) 自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到。(10分)
5、 试求在的邻域内的泰勒展开式。(8分)
6、 计算下列积分。(8分)
(1) ; (2) .

7、 计算积分。(6分)
8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)
（1） （2）
9、设为复平面上的解析函数，试确定的值。(8分)
三、 证明题。
1设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数。(5分)
2试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数。(5分)

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