圆锥曲线最典型基本知识点和例题.pdf

实用文案标准文档高中数学选修高中数学选修 2-12-1 圆锥曲线圆锥曲线基本知识点与典型题举例基本知识点与典型题举例一、椭圆一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、F2的距离之和等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义:平面内到定点 F 与到定直线l的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线 叫做椭圆的准线,常数叫做椭圆的离心率.le2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形顶点,(,0)a(0,)b,(0,)a(,0)b对称轴轴，轴，长轴长为，短轴长为xy2a2b焦点、1(,0)Fc2(,0)F c、1(0,)Fc2(0,)Fc焦距焦距为 122(0),FFc c222cab离心率(0eb0)的两个焦点，P 是以 F1F2为直22xa22yb径的圆与椭圆的一个交点,若PF1F2=5PF2F1,则椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)32632223例 5.P 点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则 P 点的坐标1204522yx21PFPF 是 .例 6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6;.(2)焦点坐标为,并且经过点(2，1);.)0,3()0,3(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,且短轴是长轴的;_.)0,3()0,3(31实用文案标准文档(4)离心率为，经过点(2，0);.23例 7.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则12FF、2214xyP的最大值是 12|PFPF二、双曲线二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值 2a(02a1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线 叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率le例 8.命题甲：动点 P 到两定点A、B的距离之差的绝对值等于 2a(a0)；命题乙：点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的()(A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件 (D)不充分也不必要条件实用文案标准文档例 9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是（）(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线例 10.过点(2，-2)且与双曲线1222 yx有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)12422yx (B)12422xy (C)14222yx (D)14222xy例 11.双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足221(1)xynn12,F F P,则的面积为()1222PFPFn12FPFV ()1A1()2B()2C()4D例 12 设的顶点，且，则第三个顶点ABC)0,4(A)0,4(BCBAsin21sinsinC 的轨迹方程是_.例 13.根据下列条件，求双曲线方程:与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；221916xy32实用文案标准文档与双曲线有公共焦点，且过点(，2).221164xy3 2例 14.设双曲线上两点 A、B，AB 中点 M（1，2）求直线 AB 方程；2212yx 注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）三、三、.抛物线抛物线1.抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 上).定点 Fl叫做抛物线的焦点,定直线 叫做抛物线的准线.l2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示)实用文案标准文档标准方程22(0)ypx p22(0)ypx p 22(0)xpy p22(0)xpy p图形对称轴轴x轴x轴y轴y焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF顶点原点(0,0)准线2px 2px 2py 2py 离心率1e 注:通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.例 15.顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线方程是()(A)x2=8y (B)x2=8y (C)y2=8x (D)y2=8x例 16 抛物线上的一点到焦点的距离为 1，则点的纵坐标是()24yxMM(A)(B)(C)(D)01716151678例 17.过点P P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条例 18.过抛物线(a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q 两点，若线段PF2yax实用文案标准文档与 FQ 的长分别为p、q，则等于()11pq(A)2a (B)(C)(D)12a4a4a例 19 若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为()(A)(3，3)(B)(2，2)(C)(，1)(D)(0，0)21例 20 动圆M过点 F(0，2)且与直线y=-2 相切，则圆心M的轨迹方程是 .例 21 过抛物线y22px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2_.例 22 以抛物线xy23 的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_.实用文案标准文档例 23.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的斜率的范围是 .例 24 设0p 是一常数，过点的直线与抛物线22ypx交于相异两点(2,0)pQA、B，以线段AB 为直经作圆 H（H 为圆心）。()试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上；()求圆 H 的面积最小时直线AB 的方程.四、求点的轨迹问题四、求点的轨迹问题如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤:建、设、现（限）、代、化.例 25.已知两点 M（2，0），N（2，0），点 P 满足=12，则点 P 的轨迹方程PM PNuuu u r uuu r为（）22()116xAy22()16B xy22()8C yx22()8D xy实用文案标准文档例 26.O1与O2的半径分别为 1 和 2，|O1O2|=4，动圆与O1内切而与O2外切，则动圆圆心轨迹是()(A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线 (D)双曲线的一支例 27.动点 P 在抛物线y2=-6x上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是()（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x（C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x例 28.过点（2，0）与圆相内切的圆的圆心的轨迹是（）A1622 yxP（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆例 29.已知的周长是 16，B则动点的轨迹方程是()ABC)0,3(A)0,3(A)(B)(C)(D)1162522yx)0(1162522yyx1251622yx)0(1251622yyx例 30.椭圆中斜率为的平行弦中点的轨迹方程为 .13422yx34例 31.已知动圆 P 与定圆 C:（x2）y相外切，又与定直线l：x相切,那22么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_.实用文案标准文档_.五、圆锥曲线综合问题五、圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、0、.0 0 直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长k1122(,),(,)A x yB x y2221212121211(1)()41ABxxxxx xyy2kkk注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.1212()yyxxk当直线斜率不存在是,则.12AByy注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例 32.AB为过椭圆=1 中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则AFB的面2222byax积最大值是()(A)b2 (B)ab(C)ac(D)bc实用文案标准文档例 33 若直线ykx2 与双曲线622 yx的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）()A315(,)315()B0(,)315 ()C315(,)0 ()D315(,)1例 34.若双曲线x2y2=1 右支上一点 P(a,b)到直线y=x的距离为，则ab的2值是().或 (D)2 或21()2A 1()2B1()2C 12例 35 抛物线y=x2上的点到直线 2x-y=4 的距离最近的点的坐标是()(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)1 1()(,)2 4A49,23例 36 抛物线y2=4x截直线所得弦长为 3，则k的值是()2yxk5(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4实用文案标准文档例 37 如果直线与双曲线没有交点，则的取值范围是 .)1(xky422 yxk例 38 已知抛物线上两点关于直线对称，且22xy),(),(2211yxByxAmxy，那么m的值为 .2121xx例 39 双曲线3x2-y2=1 上是否存在关于直线y=2x对称的两点 A、B?若存在，试求出A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.实用文案标准文档高中数学选修高中数学选修 2-12-1 圆锥曲线圆锥曲线基本知识点与典型题举例基本知识点与典型题举例答案答案一、椭圆一、椭圆例 1.D 例 2.B 例 3.C 先考虑M+m=2a，然后用验证法.例 4.B，.1212|22sin15sin751sin15sin75sin15cos15PFPFPFPFca216232sin60cea例 5(3,4)或(-3,4)例 6.(1)或;(2);1162522yx1251622yx13622yx(3)或;(4)或.1922 yx181922yx1422 yx116422yx例 7.12|PFPF2212|()42PFPFa二、双曲线：二、双曲线：例 8.B 例 9.C 例 10.D 实用文案标准文档例 11.A 假设,由双曲线定义且,12PFPF122PFPFn1222PFPFn解得而由勾股定理得122,2PFnn PFnn1221FFn1 212112PFFSPFPFV点评考查双曲线定义和方程思想.例 12 )2(112422xyx例 13.设双曲线方程为(0),22916xy22(3)(2 3)91614 双曲线方程为;设双曲线方程为 221944xy221164xykk16040kk,解之得k=4,双曲线方程为22(3 2)21164kk221128xy评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为(0)，当 022221xyab2222xyab时，焦点在x轴上；当 0，b2-k0)。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高22221xyakbk解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.例 14 解题思路分析：法一：显然 AB 斜率存在设 AB：y-2=k(x-1)由得：(2-k2)x2-2k(2-k)22212ykxkyxx-k2+4k-6=0当0 时，设 A（x1,y1），B（x2,y2）则 k=1，满足0 直线122(2)22xxkkklAB：y=x+1实用文案标准文档 法二：设 A（x1,y1），B（x2,y2）则两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)221122221212yxyx=(y1-y2)(y1+y2)21 x1x2 AB：y=x+1 代入得：121212122()yyxxxxyy2 112ABk2212yx 0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立。（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设 A、B、C、D 共圆于OM，因 AB 为弦，故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上；又 CD 为弦，故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A（-1，0），B（3，4）又 CD 方程：y=-x+322112yxyx由得：x2+6x-11=0 设 C（x3,y3），D（x4,y4），CD 中点 M（x0,y0）22312yxyx 则 M（-3，6）340003,362xxxyx|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=|MA|=|MB|=|MC|=|MD|21102102 A、B、C、D 在以 CD 中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上102评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.三、抛物线：三、抛物线：例 15.B(22,4282ppxpyy 即)例 16.B例 17 B(过P可作抛物线的切线两条，还有一条与x轴平行的直线也满足要求。)例 18.C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点，且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为实用文案标准文档p,q，则p=q=|FK|,1|2FKa而112241()2apqpa例 19.解析：运用抛物线的准线性质.答案：B 例 20.x2=8y 例 21 p2例 22 223()94xy例 23-例 24.解：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：pxky2.又设),(),(BBAAyxByxA，则其坐标满足.2,22pxypxky消去x得04222ppkyy由此得.4,22pyypkyyBABA22224)2()(,)24()(4ppyyxxpkyykpxxBABABABA因此,即.0ABABOA OBx xy yuu u r uuu rOAOB故 O 必在圆 H 的圆周上.又由题意圆心 H（HHyx,）是AB 的中点，故.2,)2(22kpyyypkxxxBABBAH由前已证OH 应是圆 H 的半径，且pkkyxOHHH45|2422.从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆 H的面积最小.此时，直线AB 的方程为：x=2p.注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系求解有时借助图形的几何性质更为简洁此题设直线方程为x=ky+2p；因为直线过x轴上是点 Q(2p，0)，通常可以这样设，可避免对直线的斜率是否存在讨论2凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简实用文案标准文档化运算3在引入点参数(本题中以AB 弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算量由 OAOB 得x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用4列出目标函数，|OH|=4524 kkP，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路，也可利用基本不等式a2+b22ab 当且仅当a=b 时“=”成立求解四、求点的轨迹问题四、求点的轨迹问题例 2525.B 例 2626.D 例 27.27.C 例 2828.A 例 29.29.B例 30.9x+16y=0(椭圆内部分)例 31.y8x 五、圆锥曲线综合问题五、圆锥曲线综合问题例 32 解析：SAFB=2SAOF，当点A位于短轴顶点处面积最大.答案：D 例 33.D例 34.B 例 35.B 数形结合估算出 D例 36 D例 37.k 332332k或例 38.23例 39 解：设AB：y=21x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx4(m2+1)=0,这里=(4m)24114(m2+1)=16(2m2+11)0恒成立，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=11m4，x0=112m,y0=21x0+m=1112m,若 A、B 关于直线y=2x对称，则 M 必在直线y=2x上，1112m=114m得m=1，由双曲线的对称性知，直线y=21x与双曲线的交点的 A、B必关于直线y=2x对称.存在 A、B 且求得A(112，111)，B(112，111)