容斥原理-教师版.doc
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1、7-7 容斥原理教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容;2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识精讲知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:(其中符号“”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影面积图示如下:表示小圆部分,表
2、示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为:,即阴影面积1先包含重叠部分计算了次,多加了次;2再排除把多加了次的重叠部分减去 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合的元素个数,然后加起来,即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数用符号表示为:图示如下:图中小圆表示的元素的个数,中
3、圆表示的元素的个数,大圆表示的元素的个数1先包含:重叠部分、重叠了次,多加了次2再排除:重叠部分重叠了次,但是在进行 计算时都被减掉了3再包含:在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考例题精讲板块一、两量重叠问题【例 1】 两张长厘米,宽厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【解析】 两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分),重叠部分恰好是边长为厘米的正方形,如果利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了所以,被覆盖面积长方形面积之和-重
4、叠部分于是,被覆盖面积(平方厘米)【巩固】 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】 因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长(厘米)【巩固】 把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分,由包含排除法知,焊接后这根铁条长:(厘米)【例 2】 实验小学四年级二班,参加语文兴趣小组的有人,参加数学兴趣小组的有人,有人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组?【解析】 如图所示,圆表示参加语文兴趣小组的人,圆表示参加数学兴趣小组的人,
5、与重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人图中圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人,有(人);图中圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人)方法一:由此得到参加语文或数学兴趣小组的有:(人) 方法二:根据包含排除法,直接可得: 参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人,即:(人)【巩固】 芳草地小学四年级有人学钢琴,人学画画,人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画的分别有多少人?【解析】 解包含与排除题,画图是一种很直观、简捷的方法,可以帮助解决问题,画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清
6、楚建议教师帮助学生画图分析,清楚的分析每一部分的含义如图,圆表示学画画的人,圆表示学钢琴的人,表示既学钢琴又学画画的人,图中圆不含阴影的部分表示只学画画的人,有:(人),图中圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人,有:(人)【例 3】 一个班人,完成作业的情况有三种:一种是完成语文作业没完成数学作业;一种是完成数学作业没完成语文作业;一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有人;做完数学作业的有人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人?【解析】 不妨用下图来表示: 线段表示全班人数,线段表示做完语文作业的人数,线段表示做完数学作业的人数,重叠部分则表示语文、数学都做完的人数根据题意,做完语文作
7、业的有人,即做完数学作业的有人,即 (人) (人) 式减式,就有(人)所以,数学、语文作业都做完的有人【巩固】 四年级科技活动组共有人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中,老师到时清点发现:剪贴好一辆汽车模型的同学有人,装配好一架飞机模型的同学有人每个同学都至少完成了一项活动问:同时完成这两项活动的同学有多少人?【解析】 因,所以必有人同时完成了这两项活动由于每个同学都至少完成了一项活动,根据包含排除法知,(完成了两项活动的人数)全组人数,即(完成了两项活动的人数)由减法运算法则知,完成两项活动的人数为(人)也可画图分析【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里,能表演独唱的有10人,
8、能表演跳舞的有18人,两种都能表演的有7人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞?【解析】 根据包含排除法,这个表演队能登台表演歌舞的人数为:(人)【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛,参加象棋比赛的有人,参加军棋比赛的有人,有人两项比赛都参加了,这个班参加棋类比赛的共有多少人?【解析】 如图,圆表示参加象棋比赛的人,圆表示参加军棋比赛的人,与重合的部分表示同时参加两项比赛的人图中圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人,有(人);图中圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人,有(人)由此得到参加棋类比赛的人有(人)或者根据包含排除法直接得:(人)【例 4】 (第二届小学迎春杯
9、数学竞赛)有位旅客,其中有人既不懂英语又不懂俄语,有人懂英语,人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人? 【解析】 方法一:在人中懂英语或俄语的有:(人)又因为有人懂英语,所以只懂俄语的有:(人)从位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人,剩下的 (人)就是既懂英语又懂俄语的旅客方法二:学会把公式进行适当的变换,由包含与排除原理,得:(人)【巩固】 名学生参加数学和语文考试,其中语文得分分以上的人,数学得分分以上的人,两门都不在分以上的有人问:两门都在分以上的有多少人?【解析】 如图,用长方形表示这名学生,圆表示语文得分分以上的人数,圆表示数学得分以上的人数,与重合的部分表示两门都在分以上的人数,长方形内
10、两圆外的部分表示两门都不在分以上的人数由图中可以看出,全体人数是至少一门在分以上的人数与两门都不在分以上的人数之和,则至少一门在分以上的人数为:(人)根据包含排除法,两门都在分以上的人数为:(人)【巩固】 某班共有人,参加美术小组的有人,参加音乐小组的有人,有人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人?【解析】 已知全班总人数,从反面思考,找出参加美术或音乐小组的人数,只需用全班总人数减去这个人数,就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数根据包含排除法知,该班至少参加了一个小组的总人数为(人)所以,该班未参加美术或音乐小组的人数是(人)【巩固】 四年级一班有人,其中
11、人参加了数学竞赛,人参加了作文比赛,人两项比赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加?【解析】 由包含排除法可知,至少参加一项比赛的人数是:(人),所以,两项比赛都没有参加的人数为:(人)【巩固】 某次英语考试由两部分组成,结果全班有人得满分,第一部分有人做对,第二部分有人有错,问两部分都有错的有多少人?【解析】 如图,用长方形表示参加考试的人数,圆表示第一部分对的人数圆表示第二部分对的人数,长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数已知第一部分对的有人,全对的有人,可知只对第一部分的有:(人)又因为第二部分有人有错,其中第一部分对第二部分有错的有人,那么余下的(人)必是第一部分和第二部分均有错的
12、,两部分都有错的有人【巩固】 对全班同学调查发现,会游泳的有人,会打篮球的有人两项都会的有人,两项都不会的有人这个班一共有多少人?【解析】 如图,用长方形表示全班人数,圆表示会游泳的人数,圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数由图中可以看出,全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数,至少会一项的人数为:(人),全班人数为: (人)【例 5】 在人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有人,既采了樱桃又采了杏的有人,既没采樱桃又没采杏的有人,问:只采了杏的有多少人?【解析】 如图,用长方形表示全体采摘人员人,圆表示采了樱桃的人数,圆表示采了杏的人数长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采
13、杏的人数由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和,则至少采了一种的人数为:(人),而至少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数,所以,只采了杏的人数为:(人)【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋,为学校擦玻璃,其中块玻璃不是甲组擦的,块玻璃不是乙组擦的,且甲组与乙组一共擦了块玻璃那么,甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃?【解析】 68块玻璃不是甲组擦的,说明这块玻璃是乙、丙两组擦的;块玻璃不是乙组擦的,说明这块玻璃是甲、丙两组擦的如图,用圆表示乙、丙两组擦的块玻璃,圆表示甲、丙两组擦的块玻璃因甲乙两组共擦了块玻璃,那么(块),这是两个丙组擦的玻璃
14、数(块)丙组擦了块玻璃乙组擦了:(块)玻璃,甲组擦了:(块)玻璃【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?【解析】 通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅,我们还知道五、六年级共展出25幅画,进而可以求出五年级画作有13幅,六年级画作有12幅,那么久可以求出其他年级的画作共有3幅【例 7】 一次数学测验,甲答错题目总数的,乙答错3道题,两人都答错的题目是题目总
15、数的。求甲、乙都答对的题目数.【解析】 (法一)设共有n道题。由右图知d即为所求,并有关系式由知,n是4和6的公倍数,即12的倍数。将代入,有, 由于b是非负整数,所以n=12,由此求出c=2,b=1,a=1.又由a+b+c+d=n,得到d=n-(a+b+c)=8(法二)显然两人都答错的题目不多于3道,所以题目总数只可能是6、12、18,其中只有12,能使甲答错题目总数是整数.【例 8】 在的全部自然数中,不是的倍数也不是的倍数的数有多少个?【解析】 如图,用长方形表示的全部自然数,圆表示中的倍数,圆表示中的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是的倍数也不是的倍数的数由可知,中的倍数有个;由可知
16、,中的倍数有个;由可知,既是的倍数又是的倍数的数有个由包含排除法,或的倍数有:(个)从而不是的倍数也不是的倍数的数有(个)【巩固】 在从1至1000的自然数中,既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有多少个?【解析】 11000之间,5的倍数有=200个,7的倍数有=142个,因为既是5的倍数,又是7的倍数的数一定是35的倍数,所以这样的数有=28个所以既不能被5除尽,又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数。【解析】 记 A:1100中3的倍数,有33个;B:1100中7的倍数,有14个;:1100中3和7的公倍数,
17、即21的倍数,有4个。依据公式,1100中3的倍数或7的倍数共有个,则能被3或7整除的数的个数为43个.【巩固】 50名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1,2,3,49,50依次报数;再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转问:现在面向老师的同学还有多少名?【解析】 在转过两次后,面向老师的同学分成两类:第一类是标号既不是4的倍数,又不是6的倍数;第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数150之间,4的倍数有=12,6的倍数有=8,即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数,所以有=4于是,第一类同学有50-12-8+4=34人,第二类同学有4人,所以现在共有
18、34+4=38名同学面向老师【巩固】 在游艺会上,有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下:(1)标签号为2的倍数,奖2支铅笔;(2)标签号为3的倍数,奖3支铅笔;(3)标签号既是2的倍数,又是3的倍数可重复领奖;(4)其他标签号均奖1支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【解析】 1100,2的倍数有=50,3的倍数有=33个,因为既是2的倍数,又是3的倍数的数一定是6的倍数,所以标签为这样的数有=16个于是,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数在1100中有100-50-33+16=33所以,游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有:502+333
19、+331=232支.板块二、三量重叠问题【例 9】 某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗,已知手中有红旗的共有人,手中有黄旗的共有人,手中有蓝旗的共有人其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有人而手中只有红、黄两种小旗的有人,手中只有黄、蓝两种小旗的有人,手中只有红、蓝两种小旗的有人,那么这个班共有多少人?【解析】 如图,用圆表示手中有红旗的,圆表示手中有黄旗的,圆表示手中有蓝旗的如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加,发现手中只有红、黄两种小旗的各重复计算了一次,应减去,手中有三种颜色小旗的重复计算了二次,也应减去,那么,全班人数为: (人)【巩固】 某班有人,其中人爱打篮球,人爱打排球,
20、人爱踢足球,人既爱打篮球又爱踢足球,人既爱打排球又爱踢足球,没有一个人三种球都爱好,也没有一个人三种球都不爱好问:既爱打篮球又爱打排球的有几人?【解析】 由于全班人没有一个人三种球都不爱好,所以全班至少爱好一种球的有人根据包含排除法,既爱打篮球又爱打排球的人数,得到既爱打篮球又爱打排球的人数为:(人)【例 10】 四年级一班有46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人求
21、参加文艺小组的人数【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集合G三者都参加的学生有z人有=46,=24,=20,=3.5,=7,=2,=10因为,所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x,解得x=3,即三者的都参加的有3人那么参加文艺小组的有37=21人【巩固】 五年级三班学生参加课外兴趣小组,每人至少参加一项其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小
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