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第六章第六章 机器人动力学机器人动力学2024/4/18 周四1本章主要内容本章主要内容 （1）机器人动力学研究概述；）机器人动力学研究概述；（2）拉格朗日动力学方法；）拉格朗日动力学方法；（3）操作机的动力学分析；操作机的动力学分析；（4）二连杆机构的动力学分析；）二连杆机构的动力学分析；（5）倒立摆系统的动力学分析；）倒立摆系统的动力学分析；（6）机器人动力学方程一般形式；）机器人动力学方程一般形式；（7）考虑非刚体效应的动力学方程。）考虑非刚体效应的动力学方程。2024/4/18 周四2024/4/18 周四6.1 机器人动力学研究概述机器人动力学研究概述 6.1 机器人动力学研究概述机器人动力学研究概述 本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问题；题；机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描述机器人动态特性的数学方程；述机器人动态特性的数学方程；目前主要采用两种理论来建立数学模型：目前主要采用两种理论来建立数学模型：（1 1）动力学基本理论，包括牛顿欧拉方程）动力学基本理论，包括牛顿欧拉方程 （2 2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题如同运动学，动力学也有两个相反问题 （1 1）正问题）正问题 （2 2）逆问题）逆问题2024/4/18 周四4动力学的两个相反问题动力学的两个相反问题动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主要用于机器人仿真。要用于机器人仿真。动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩，用于机器人实时控制。力矩，用于机器人实时控制。求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统地运动结果。地运动结果。动力学方程的一般形式：动力学方程的一般形式：式中式中分别表示力矩、力、角位移和线位移分别表示力矩、力、角位移和线位移2024/4/18 周四5牛顿欧拉方程牛顿欧拉方程牛顿方程牛顿方程面向平动面向平动欧拉方程欧拉方程面向转动面向转动式中式中J Jc c物体转动惯量物体转动惯量物体角速度物体角速度 力矩力矩2024/4/18 周四66.2 拉格朗日动力学方法拉格朗日动力学方法 6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程用于保守系统的拉格朗日方程 在在分析力学分析力学一书中一书中Lagrange是用是用s个独立变量来描述力学体个独立变量来描述力学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange 方方程，其基本形式为程，其基本形式为 其中，其中，是所研究力学体系的广义坐标；是所研究力学体系的广义坐标；是作用在此力学体系上的广义力；是作用在此力学体系上的广义力；T T 是系统总动能。是系统总动能。分分析析力力学学注注重重的的不不是是力力和和加加速速度度，而而是是具具有有更更广广泛泛意意义义的的能量，扩大了坐标的概念。能量，扩大了坐标的概念。2024/4/18 周四76.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程用于非保守系统的拉格朗日方程 对于同时受到保守力和耗散力作用的、由对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n n个关节部件组成的机个关节部件组成的机械系统，其械系统，其LagrangeLagrange方程应为方程应为 其中，其中，为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量；为作用在系统上的广义力；为作用在系统上的广义力；是系统总的动能、势能和耗散能，分别为是系统总的动能、势能和耗散能，分别为2024/4/18 周四86.2.3 拉格朗日函数方法拉格朗日函数方法 对对于于具具有有外外力力作作用用的的非非保保守守机机械械系系统统，其其拉拉格格朗朗日日动动力力学学函函数数L可定义为可定义为式中式中 T系统总的动能；系统总的动能；V系统总的势能系统总的势能 若操作机的执行元件控制某个转动变量若操作机的执行元件控制某个转动变量时，则执行元件的总时，则执行元件的总力矩力矩 应为应为 若操作机的执行元件控制某个移动变量若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方时，则施加在运动方向向r上上的力应为的力应为 2024/4/18 周四96.2.4 拉格朗日方程的特点拉格朗日方程的特点 它它是是以以广广义义坐坐标标表表达达的的任任意意完完整整系系统统的的运运动动方方程程式式，方方程程式的数目和系统的自由度数是一致的；式的数目和系统的自由度数是一致的；理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力；只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力；Lagrange Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量是表征系统运动的动力学量系统的动能和势能，另一个系统的动能和势能，另一个是表征主动力作用的动力学量是表征主动力作用的动力学量广义力。因此用广义力。因此用LagrangeLagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。2024/4/18 周四102024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四例例 6.3 操作机的动力学分析操作机的动力学分析 6.3.1 操作机的动力学模型操作机的动力学模型 操作机的物理学模型操作机的物理学模型 加上负载的加上负载的 操作机操作机 2024/4/18 周四186.3.2 建立拉格朗日函数建立拉格朗日函数（1 1）求动能）求动能T T 先对先对 求求 显然显然 而而于是于是由于由于根据动能的公式根据动能的公式 2024/4/18 周四19再对再对 求求 由由于于 且且有有则则得总动能得总动能 2024/4/18 周四20（2 2）求势能）求势能 V V 根据势能的公式根据势能的公式 式中式中 为垂直高度，则为垂直高度，则对于对于 有有 对于对于 有有 得总势能得总势能（3 3）求得拉格朗日函数）求得拉格朗日函数L L 2024/4/18 周四216.3.3 广义力的计算广义力的计算（1 1）求力矩）求力矩 绕转动执行元件施加的力矩绕转动执行元件施加的力矩 则则式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。2024/4/18 周四22（2 2）求移动力）求移动力 则则式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。式中第一项为惯性项，第二项为向心项，第三项为重力项。通过线运动执行元件施加的直线力通过线运动执行元件施加的直线力 2024/4/18 周四236.3.4 应用实例分析应用实例分析 例例6-1 已知：对于已知：对于 操作机操作机 对于下面的三种工作情况，试估算力矩对于下面的三种工作情况，试估算力矩 。（1）手臂水平，并伸至全长，静止，手臂水平，并伸至全长，静止，（2）手臂水平，并伸至全长，）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，以最大速率运动，（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，2024/4/18 周四24解：解：（1）手臂水平，并伸至全长，静止，手臂水平，并伸至全长，静止，由已知条件可得由已知条件可得则有则有2024/4/18 周四25则则解：解：（2）手臂水平，并伸至全长，）手臂水平，并伸至全长，以最大速率运动，以最大速率运动，由已知条件可得由已知条件可得则有则有2024/4/18 周四26则则解：解：（3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，由已知条件可得由已知条件可得则有则有2024/4/18 周四27则则结果分析结果分析：(1)为重力项，通常它远大于其它项；为重力项，通常它远大于其它项；(2)当当 时，即当手臂垂直时，时，即当手臂垂直时，可见重力，可见重力 负载的变化很大；负载的变化很大；(3)当当 很小时，包含很小时，包含 的项趋于零；的项趋于零；(4)(4)通常采用只包括重力项和惯性项的公式就可得到通常采用只包括重力项和惯性项的公式就可得到 比较满意的结果，即采用如下简化公式比较满意的结果，即采用如下简化公式 2024/4/18 周四282024/4/18 周四例例6-4：2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四把前面公式进行概况，有把前面公式进行概况，有：2024/4/18 周四6.5 倒立摆系统的动力学分析倒立摆系统的动力学分析 r 导轨导轨小车小车 摆体摆体驱动驱动放大放大器器计算机计算机位角位角检测检测倒立摆系统结构图倒立摆系统结构图 2024/4/18 周四47二级倒立摆系统平衡控制二级倒立摆系统平衡控制2024/4/18 周四48除皮带外，全部对象（摆体、小车、导轨等）除皮带外，全部对象（摆体、小车、导轨等）均视为刚体；均视为刚体；各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比；度）成正比；施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压的输入电压u 成正比，比例系数设为成正比，比例系数设为G0；皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象；现象；信号与力的传递无延时。信号与力的传递无延时。6.5.1 倒立摆系统与基本假设倒立摆系统与基本假设 2024/4/18 周四49 首先介绍一下均匀杆（长度为首先介绍一下均匀杆（长度为2L，质量为，质量为m）转动惯量的计算。转动惯量的计算。当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：由由得得通常给出杆相对质心的转动惯量：通常给出杆相对质心的转动惯量：所以所以2024/4/18 周四506.5.2 用牛顿力学的方法来建立动力学模型用牛顿力学的方法来建立动力学模型（1）小车部分 小车质量 小车滑动摩擦系数 摆体对小车作用力的水平分量 摆体对小车作用力的垂直分量 N 轨道反力m0rF&0or(X)uG02024/4/18 周四51考虑到小车只有水平方向（考虑到小车只有水平方向（X X）的运动，）的运动，故可列写小车运动方程故可列写小车运动方程m0rF&0or(X)uG02024/4/18 周四52（2 2）摆体部分）摆体部分 L2 m1 摆体质量摆体质量 L 摆体质心摆体质心c到支点距离到支点距离 F1 摆体转动摩擦系数摆体转动摩擦系数 J1c 摆体绕质心转动惯量摆体绕质心转动惯量 J1 摆体绕支点的转动惯量摆体绕支点的转动惯量小车对摆体作用力的水平分量小车对摆体作用力的水平分量 小车对摆体作用力的垂直小车对摆体作用力的垂直分量 考虑到摆体为一平面运动体，则其运动可以分考虑到摆体为一平面运动体，则其运动可以分解为平动和绕质心转动两部分。于是有解为平动和绕质心转动两部分。于是有质心加速度质心平动加速度绕质心转动加速度质心加速度质心平动加速度绕质心转动加速度2024/4/18 周四53计算质心加速度计算质心加速度水平分量为水平分量为：垂直分量为垂直分量为：列写摆体动力学方程式（平动部分）列写摆体动力学方程式（平动部分）L22024/4/18 周四54列写摆体动力学方程式列写摆体动力学方程式（转动部分）（转动部分）代入代入，整理可得，整理可得L22024/4/18 周四55考虑到考虑到 将将代入小车方程（代入小车方程（1），可得），可得列写摆体动力学方程式列写摆体动力学方程式（转动部分）（转动部分）2024/4/18 周四56二方程联立，可得矩阵形式二方程联立，可得矩阵形式对应于机器人动力学一般形式对应于机器人动力学一般形式惯性项惯性项向心项向心项哥氏项哥氏项重力项重力项广义力广义力2024/4/18 周四576.5.3 用拉格朗日方程法建立动力学模型用拉格朗日方程法建立动力学模型 应用非保守系统的拉格朗日方程，则小车和摆体的动应用非保守系统的拉格朗日方程，则小车和摆体的动能、势能和耗散能分别为：能、势能和耗散能分别为：2024/4/18 周四58L2当当 时，时，当当 时，时，于是有于是有应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式 2024/4/18 周四59当当 时，即对小车而言时，即对小车而言2024/4/18 周四60当当 时，即对摆体而言时，即对摆体而言2024/4/18 周四61于是可以得到与于是可以得到与6.4.2相同的结果相同的结果。得到单级倒立摆的动力学方程为得到单级倒立摆的动力学方程为当考虑在不稳定平衡点附近的线性化时，可令当考虑在不稳定平衡点附近的线性化时，可令于是可得简化动力学方程于是可得简化动力学方程2024/4/18 周四626.5.4 用拉格朗日函数法建立动力学模型用拉格朗日函数法建立动力学模型 本节应用拉格朗日函数，也可以求解这一问题本节应用拉格朗日函数，也可以求解这一问题。建立建立Lagrange函数函数 L=T V 小车部分小车部分摆体部分摆体部分则则2024/4/18 周四63对于小车（对于小车（r）而言（见）而言（见6.2.3节）节）右式：右式：左式左式：得第一个方程得第一个方程2024/4/18 周四64对于摆（）而言 得第二个方程写成矩阵形式，便得到与前两种方法基本一样的结果。右式：左式2024/4/18 周四65平衡点附近简化形式三种算法结果对比三种算法结果对比6.4.2 应用牛顿方程推导，写成矢量形式得 6.4.3 应用非保守机械系统的拉格朗日方程公式 6.4.4 应用拉格朗日函数法求解2024/4/18 周四66差异来自以下两点差异来自以下两点1 转动惯量参考点的差异转动惯量参考点的差异当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：通常给出杆相对质心的转动惯量：通常给出杆相对质心的转动惯量：所以所以2 近似线性化过程（当近似线性化过程（当 很小时）很小时）2024/4/18 周四672024/4/18 周四6.6 机器人动力学方程的一般形式机器人动力学方程的一般形式2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四2024/4/18 周四6.7 考虑非刚体效应的动力学方程考虑非刚体效应的动力学方程需要指出的是，前面推导的动力学方程不能包含全部作用于操作臂上的力，只是包含了刚体力学中的那些力，而没有包含摩擦力。然而，摩擦力也是一种非常重要的力，所有机构都必然受到摩擦力的影响。在目前机器人的传动机构中，例如被普遍采用的齿轮传动机构中，由于摩擦力产生的力是相当大的，即在典型工况下大约为操作臂驱动力矩的25左右。2024/4/18 周四76 为了使动力学方程能够反映实际的工况，建立机器人的摩擦力模型是非常必要的。其中，最简单的摩擦力模型就是粘性摩擦，摩擦力矩与关节运动速度成正比，因此有：式中，v是粘性摩擦系数。另一个摩擦力模型是库仑摩擦，它是一个常数，符号取决于关节速度，即：式中，c是库仑摩擦系数。当 =0时，c值一般取为1，通常称为静摩擦系数；当 不等于0时，c值小于1，称为动摩擦系数。2024/4/18 周四77 对某个操作臂来说，采用粘性摩擦模型还是库仑摩擦模型是一个比较复杂的问题，这与润滑情况及其它影响因素有关。比较合理的模型是二者兼顾，即：在许多操作臂关节中，摩擦力也与关节位置有关。主要原因是齿轮失圆，齿轮的偏心将会导致摩擦力随关节位置而变化，因此一个比较复杂的摩擦力模型为：2024/4/18 周四78 这样，考虑摩擦力的刚体动力学模型为：上述建立的是考虑刚体效应的刚体动力学模型。对于柔性臂，容易产生共振和其他动态现象。这些影响因素的建模十分复杂。2024/4/18 周四79主要参考文献主要参考文献1.陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，陈哲，吉熙章编著，机器人技术基础，机械工业出版社，北京，机械工业出版社，北京，1997.102.蔡自兴，机器人学，清华大学出版社，蔡自兴，机器人学，清华大学出版社，北京，北京，2000.92024/4/18 周四80The End of Chapter 62024/4/18 周四81