33二阶系统解析.pptx

3.3 二阶系统的时域分析一、二阶系统数学模型及其标准形式RLC电路、电动机转速控制系统典典型型二二阶阶系系统统是是一一个个前前向向通通道道为为惯惯性性环环节节和和积积分分环环节串联的单位负反馈系统。节串联的单位负反馈系统。令令则则二阶系统传递函数的标准形式二阶系统传递函数的标准形式为为 其其中中称称为为阻阻尼尼比比，为为时时间间常常数数，n为为系系统统的的自自然然振荡角频率振荡角频率（无阻尼自振角频率无阻尼自振角频率）。）。注意：注意：控控制制工工程程中中，二二阶阶系系统统的的典典型型应应用用极极为为普普遍；遍；为为数数众众多多的的高高阶阶系系统统在在一一定定条条件件下下可可近近似似为二阶系统。为二阶系统。二、二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程，可得两个特征根（极点）(1).(1).欠阻尼欠阻尼 是一对共轭复数根。是一对共轭复数根。(2).(2).临界阻尼临界阻尼 是两个相同的负实根。是两个相同的负实根。(3).(3).过阻尼过阻尼 是两个不同的负实根。是两个不同的负实根。(4).(4).无阻尼无阻尼 是一对共轭纯虚数根。是一对共轭纯虚数根。三、二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入对于单位阶跃输入于是于是由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为 下面按阻尼比分别讨论。下面按阻尼比分别讨论。1.1.过阻尼(1)这种情况下，系统存在这种情况下，系统存在两个不等的负实根两个不等的负实根，则，则 拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。讨论：uu过阻尼系统是两个惯性环节的串联。过阻尼系统是两个惯性环节的串联。uu有有关关分分析析表表明明，当当 时时，两两极极点点s s1 1和和s s2 2与与虚虚轴轴的的 距距离离相相差差很很大大，此此时时靠靠近近虚虚轴轴的的极极点点所所对对应应的的惯惯性性环环节节的的时时间间响响应应与与原原二二阶阶系系统统非非常常接接近近，可可以以用用该该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有惯性环节来近似原来的二阶系统。即有近似原则：用其中一个惯性环节近似原二阶系统，需要保证近似前后初值和终值相等，并且要用到待定系数法！过阻尼系统稳态值和最终误差过阻尼系统稳态值和最终误差过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。过阻尼系统单位阶跃响应的变化率过阻尼系统单位阶跃响应的变化率所所以以，整整个个暂暂态态过过程程中中，阶阶跃跃响响应应都都是是单单调调增增长长的的.2.临界阻尼(1)此时，系统具有此时，系统具有二重负实极点二重负实极点，则，则 单位阶跃响应为单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位阶跃响应的变化率为：单位阶跃响应的变化率为：临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值解得解得 。整整个个暂暂态态过过程程中中，临临界界阻阻尼尼系系统统阶阶跃跃响响应应都都是是单单调调增增长长的的没没有有超超调调。如如以以达达到到稳稳态态值值的的95%95%所所经经历历的的时时间做为调整时间，则间做为调整时间，则 临界阻尼二阶系统多在临界阻尼二阶系统多在记录仪表记录仪表中使用。中使用。单位阶跃响应单位阶跃响应变化率最大变化率最大的时刻：的时刻：3.欠阻尼(01)此时，系统具有一对共轭复数极点，则欠阻尼系统单位阶跃响应为欠阻尼系统单位阶跃响应为或写为或写为讨论讨论:(1)(1)欠欠阻阻尼尼情情况况下下，二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应是是衰衰减减的的正正弦弦振振荡荡曲曲线线。衰衰减减速速度度取取决决于于特特征征根根实实部部的的绝绝对对值值 n n的的大大小小，振振荡荡角角频频率率是是特特征征根根虚虚部部的的绝绝对对值值，即即有阻尼自振角频率有阻尼自振角频率d d，(2)(2)振荡周期振荡周期为为 (3)(3)越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。(4)上升时间tr的计算：或即所以(5)峰值时间tp的计算：出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0 0，即，即 则则故故到达第一个到达第一个峰值时应有峰值时应有(6)最大超调量的计算：越小，越大（只与有关）(7)调整时间ts的计算：欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线 以内，这对曲线称为以内，这对曲线称为响应曲线响应曲线的包络线。的包络线。可可以以采采用用包包络络线线代代替替实实际际响响应应曲曲线线估估算算调调整整时时间间，所所得结果一般略偏大。得结果一般略偏大。解得解得当当 5 5时，时，当当2 2时，时，当当 时，时，设计二阶系统时，常取设计二阶系统时，常取 为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。若允许误差带是若允许误差带是（如（如22），可以认为调整时间），可以认为调整时间就是包络线衰减到就是包络线衰减到 区域所需的时间，则有区域所需的时间，则有(8)振荡次数振荡次数是指在调节时间内，振荡次数是指在调节时间内，振荡的次振荡的次数。根据这一定义，可得振荡次数为数。根据这一定义，可得振荡次数为 式中，式中，为阻尼振荡为阻尼振荡的周期时间。的周期时间。u设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式例3-2：设一个带速度反馈的伺服系统，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为p=20%,tp=1s.试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts和N.得得4.无阻尼（0）无阻尼情况下系统的阶跃响应是等等幅幅正（余）弦振荡曲线，振荡角频率是 不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0几点结论几点结论:1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：u 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼）u=0时，出现等幅振荡u01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快u1 时，无振荡、无超调，过渡过程长2）一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。如果n一定，发生变化，情况又如何？3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。4)最佳阻尼比为0.707（这时的调整时间小，而且超调量也不大）3.3.33.3.3 二阶系统暂态特性指标二阶系统暂态特性指标根据上面的分析，系统的暂态性能可归纳为平稳性和快速性两个要点，它们与系统特征参数 和 密切相关。（1）平稳性 主要由最大超调量 和振荡次数 表征。增大，减小，平稳性变好；若 不变，增大，增大，增大，平稳性变差。（2）快速性 主要由上升时间 和调节时间 表征。当 一定时，越大，则 越长，快速性越差；当 一定时，越大，则 越短，快速性越好。而对于 ，则与 和 的乘积成反比。3.3.33.3.3 二阶系统暂态特性指标二阶系统暂态特性指标（3）为了限制超调量并使调节时间 较短，阻尼比 一般取在0.40.8之间，这时，超调量为25%1.5%之间。3.3.4 3.3.4 二阶工程最佳参数二阶工程最佳参数 在控制系统的设计中，综合考虑系统平稳性和快速性，一般选择参数 称为二阶工程最佳参数，此时的二阶系统称为二阶工程最佳系统。令代入二阶系统传递函数标准式，得二阶工程最佳系统的开环传递函数为 此时系统的单位阶跃响应暂态性能指标为 超调量 上升时间 调节时间 二阶工程最佳系统不仅快速性好，且具有较小的超调量。例题例例3-23-2 由实验测得二阶系统的单位阶跃响应如图3-19所示，试根据已知的单位阶跃响应 ，计算系统参数 及 之值。例题解：解：由图3-19所示单位阶跃响应 ，根据超调量 及峰值时间 的定义，得到信息 根据 和 与特征参数 、的关系有 可计算得 例题例例3-3 3-3 有一位置随动系统，其结构如图3-20 所示，其中 。（1）计算该系统的暂态性能指标超调量 和调节时间 ；（2）如果要求阻尼比为二阶工程最佳参数 取值，应怎样改变系统参数值。例题解：解：由系统结构图得闭环传递函数为 典型二阶系统闭环传递函数标准形式为 对比可得 解得（1）超调量 例题 调节时间（2）当要求阻尼比为二阶工程最佳参数时，即 时，由 ，可得 ，所以开环增益 显然，为了得到二阶工程最佳参数，必须降低开环增益值 。但降低值 的同时，却增大了系统的稳态误差。