含对数项的分数阶T混沌系统滑模同步的3个控制方案.pdf

第 42 卷第 6 期2023年 11 月Vol.42 No.6Nov.2023中南民族大学学报（自然科学版）Journal of South-Central Minzu University（Natural Science Edition）含对数项的分数阶T混沌系统滑模同步的3个控制方案毛北行，王东晓（郑州航空工业管理学院 数学学院，郑州 450046）摘要 对含对数项的分数阶T混沌系统，给出了T混沌系统吸引子相图，在分数阶微积分基础上，构造了3个简洁的滑模面.仅需设计一个控制器，得到分数阶T混沌系统取得滑模同步的3个控制方案.在仿真部分描绘出误差曲线，证实了该方法的可行性与正确性.关键词 分数阶；滑模；对数项；T混沌系统中图分类号 O482.4 文献标志码 A 文章编号 1672-4321（2023）06-0853-04 doi：10.20056/ki.ZNMDZK.20230617Three control schemes of sliding mode synchronization of logarithmic fractional-order T chaotic systemsMAO Beixing，WANG Dongxiao（School of Mathematics，Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China）Abstract The attractor phase diagram of logarithmic fractional-order T chaotic system is presented，three concise sliding mode surfaces are constructed on the basis of fractional calculus.It only needs to design one controller，three control schemes for fractional T chaotic system can be derived.The error curves are depicted in the simulation section，which confirmed the feasibility and correctness of the method.Keywords fractional-order；sliding mode；logarithmic；T chaotic system20世纪60年代，美国著名气象学家洛伦兹提出了第一个混沌系统模型1，即Lorenz混沌系统，经过半个世纪的努力探索，学者们对混沌系统的特点和规律有了更清晰的认识，混沌系统的特性逐渐被发现，随后新的、经典混沌模型被相继提出2-5，并得出了更多有用结果6-10，例如：Chen系统、Liu系统，T系统Qi系和分数阶混沌系统.2004年TIGAN提出T混沌系统11王震等对其基本动力学分析与电路实现、同宿轨道、周期轨道的计算做了研究12-13雷腾飞对含有指数项混沌系统、四维混沌系统、复混沌系统做了系统研究14随着研究的不断深入，李彪等提出一种新的含有绝对值项的混沌系统，雷腾飞以混沌系统为研究对象，结合过渡临界T混沌系统模型，提出了一类含有绝对值项的混沌系统15，运用 Matlab仿真对系统的相图、分岔图、分岔空间等特性进行了分析.但与其他分数阶滑模同步的成果相比，分数阶T系统的成果较少，对于含有半导体器件的电路来说，研究带有对数项的T系统是非常有必要的.本文对含对数项的分数阶T混沌系统，给出了T混沌系统吸引子相图，在分数阶微积分的基础上，得到分数阶T混沌系统取得滑模同步的3个控制方案.收稿日期 2023-04-05作者简介 毛北行（1976-），男，教授，研究方向：复杂网络与混沌同步，E-mail：基金项目 国家自然科学基金资助项目（11801528，41906003）第 42 卷中南民族大学学报（自然科学版）1系统描述定义116Caputo分数阶导Dqtx(t)=1(n-q)t0t(t-)n-q-1x(n)()d，n-1 q 0，使得DtqV(t)-ky12(t)，则y12(t)2V(0)Eq，1(-2ktq)且limt y1(t)=0.2主要结果假设1|e3|z|0.定理1设计滑模面s(t)=Dtqe1+ae1，控制量u(t)=(1-a)(e1-e2)-ce1+a(x1z1-xz)-|s|sgn(s)，期中 0，则系统（1）与（2）滑模同步.证 明 滑 模 面 上 有s(t)=0 Dtqe1=-ae1，e1 0 Dtqe1 0.根据（3）式的第 1 个方程得到Dtqe1=a(e2-e1)e2 0，下证e3 0.由（3）式的第 3 个方程可得：x1y1-xy=x1e2-ye1.因系统轨迹有界可知x1，y有界，故e1，e2 0图1 系统（1）的相图Fig.1The phase diagram of system（1）854第 6 期毛北行，等：含对数项的分数阶T混沌系统滑模同步的3个控制方案时，x1y1-xy=x1e2-ye1 0，可得：Dtqe3-blnz1z=-bln(1+z1-zz)=-bln(1+e3z)-be3z，令V(t)=e322，在 引 理 1、假 设 1 下DtqV(t)e3Dtqe3-be3e3z-be32M 0 e3 0.不在滑模面上时，构造V(t)=12s2(t)，根据引理1可得：DtqV(t)sDtqs=s(Dt2qe1+aDtqe1)=s(a-a2)(e2-e1)+a ce1-ax1z1+axz+u(t)=-|s|2 0，则系统（1）与（2）滑模同步.证明滑模面上有 s(t)=0 e2=-e1，根据（3）式的第1个方程可得：Dtqe1=-2ae1 e1 0，e2 0，同 理 可 证e3 0，过程同定理1，略.不在滑模面上时，构造V(t)=12s2(t)，由引理1可得：DtqV(t)sDtqs=s(Dtqe2+Dtqe1)=s a(e2-e1)+ce1-ax1z1+axz+u(t)=-|s|2 0，则系统（1）与（2）滑模同步.证明滑模面上有s(t)=0 e2 0，根据（3）式的第1个方程有Dtqe1=-ae1 e1 0，同理可证e3 0，过程同定理1，略.不在滑模面上时，构造V(t)=12s2(t)，由引理1得：DtqV(t)sDtqs=sDtqe2=s ce1-ax1z1+axz+u(t)=-|s|2 0，从而由引理 2 容易得到s(t)0，因此系统（1）与（2）滑模同步.3数值仿真选取系统参数a=2，b=1，c=9，q=0.942，定理1定理3中的误差见图2图4.定理 1定理 3 分别构造滑模面s(t)=Dtqe1+ae1，s(t)=e1+e2，s(t)=e2.设计控制量分别为：u(t)=(1-a)(e1-e2)-ce1+a(x1z1-xz)-|s|sgn(s)，u(t)=a(e1-e2)-ce1+a(x1z1-xz)-|s|sgn(s)，图2 定理1的误差Fig.2Errors in theorem 1图3 定理2的误差Fig.3Errors in theorem 2图4 定理3的误差Fig.4Errors in theorem 3855第 42 卷中南民族大学学报（自然科学版）u(t)=-ce1+a(x1z1-xz)-|s|sgn(s)，取 定 初 始 值(x(0)，y(0)，z(0)=(2，2，5)，(x1(0)，y1(0)，z1(0)=(3，3，3)，=1.由图可知，初始时误差相差较大，在时间的变化下系统误差最终趋于坐标原点，表明误差趋近于0，定理1、定理2取得同步所需时间比定理3长，定理1、定理2取得同步的时间没有太明显的差别，但是定理1比定理2的控制器要复杂，所以需要消耗较大的能量，而定理2则控制代价小容易实现，且定理1中误差振幅较定理2大，因而定理1的抖振现象可能较为明显，另外从图2、图3、图4可看出，3个定理的控制效果越来越优良.4结语根据滑动模态控制理论和分数阶微积分的相关理论，本文研究了含对数项的分数阶T混沌系统滑模同步的3个控制方案.利用分数阶稳定性理论给出了详细的证明过程，并对所得结果进行了验证.以上研究为该类混沌系统的同步控制提供了一些新思路.参 考 文 献1 LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow J.J Atmos Science，1963，20（2）：130-141.2 CHEN C，LI L，PENG H，et al.Finite-time synchronization of memristor-based neural networks with mixed delays J.Neurocomputing，2017，235（16）：83-89.3 SONG S，ZHANG B Y，SONG X N，et al.Fractional-order adaptive neuro-fuzzy sliding mode H control for fuzzy singularly perturbed systemsJ.Journal of Franklin Institute，2019，356（10）：5027-5048.4 毛北行，王东晓.不确定分数阶高维混沌系统的自适应滑模同步 J.电子学报，2021，49（4）：775-780.5 毛北行.分数阶多混沌系统滑模同步两种方法的比较 J.电子学报，2020，48（11）：2215-2219.6 毛北行，王东晓.不确定分数阶Rucklidge系统自适应滑模同步 J.南开大学学报（自然版），2020，53（6）：59-64.7 L J H，CHEN G R.A new chaotic attractor coined J.International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12（3）：659-661.8 刘崇新.一个超混沌系统及其分数阶电路仿真实验 J.物理学报，2007，56（12）：6865-6873.9 李春来，禹思敏，罗晓曙.一个新的混沌系统的构建与实现 J.物理学报，2012，61（11）：1102-110510 孙美美，胡云安，韦建明.一种新型不确定分数阶混沌系统滑模同步控制方式 J.电子科技大学学报，2017，46（3）：555-561.11 TIGAN G.Analysis of a 3D chaotic system J.Chaos，Solitons and Fractals，2008（36）：1315-1319.12 王震，惠小健，孙卫，等.周期参数扰动的T混沌系统周期轨道分析 J.数学杂志，2015，35（3）：672-682.13 WANG Z，WEI Z C，XI X J，et al.Dynamics of a 3D autonomous quadratic system with an invariantal-gebraic surface J.Nonlinear Dynamics，2014，77（4）：1503-1518.14 雷腾飞，王艳玲，康杰，等.一类含有对数项T系统的混沌特性分析 J.贵州师范大学学报（自然科学版），2018，36（1）：77-84.15 雷腾飞，付海燕，柏莉.一类含有绝对值项的混沌系统的动力学分析 J.吉首大学学报（自然科学版），2017，38（5）：16-23.16 PODLUBNY I.Fractional differential equationsM.New York：Academic Press，1999.17 吴强，黄建华.分数阶微积分 M.北京：清华大学出版社，2016.18 刘恒，李生刚，孙业国，等.带有未知非对称控制增益的不确定分数阶混沌系统自适应模糊同步控制J.物理学报，2015，64（7）：070503-1-070503-9.19 闫丽宏.广义分数阶Sprott-C混沌系统的有限时间滑模同步 J.吉林大学学报（理学版），2019，57（4）：940-945.（责编 曹东，校对 雷建云）856