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复变函数积分 Department of Mathematics第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 1 1、复变函数积分的的定义、复变函数积分的的定义 2 2、积分的计算问题、积分的计算问题3 3、基本性质、基本性质一、复变函数积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为有向曲线称为有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C(周线周线)的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时,邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.2.定义定义3.1设有向曲线C把曲线C分成若干弧段,作和式关于定义的说明关于定义的说明:大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流83.定理定理3.1证明证明正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,所以当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即复函数积分可表为两个实积分即复函数积分可表为两个实积分.二二.复变函数积分的计算问题复变函数积分的计算问题设有向曲线C或证明证明注注用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.例例1 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.三、复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式(6)积分估值积分估值定理定理3.2证明证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕证明证明而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知例例2例例3证明证明xy.例例4 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.例例5 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重本课中重点掌握复积分的一般方法点掌握复积分的一般方法.作业wP141 习题(一)wP142 1,2,3(1),