用初等变换求逆矩阵.pptx
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1、返回上页下页结束2.6 用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵一.用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程返回上页下页结束一、等价定理一、等价定理定理定理1:设设A是是n阶方阵,则如下的命题等价:阶方阵,则如下的命题等价:(1)A是可逆的是可逆的;(2)AE,E是是n阶单位矩阵;阶单位矩阵;(3)存在)存在n阶初等矩阵阶初等矩阵(4)A可经过有限次初等变换化为可经过有限次初等变换化为E.证明证明1 (1)(2)易证明)易证明(见书上证明见书上证明)(2)(3)因为A E,再由矩阵那么,把E变为A的初等变换,即有:等价的对称性,有有 E A。所对应的初等矩阵为,所以,所以 返回上页下页结束(3)(4),
2、由,由 有有 由于由于 仍是初等矩阵,上式说明对A 实施有限次初等行变换可化为E,列的情形类似可得。(4)(1)设A可经有限次初等行变换可化为E,则存在初等矩阵,使由于初等矩阵可逆,所以A可逆。证毕。证毕。返回上页下页结束分析:A 可逆 上式表明:若,则 A 可逆,且 X 即为AX=B 的解 X=A1B.特别,若 即如何求 X=A1B?给定n 阶可逆方阵 A 及 ns 阶矩阵 B,如何解 AX=B?左侧的意义:对A、B 作相 同的行变换 即有 返回上页下页结束例1:设,试用初等变换法求解:返回上页下页结束所以返回上页下页结束例例2.设问B是否可逆?解法解法1.若可逆,求其逆阵 B 1。可见B不
3、可逆不可能化为 单位阵返回上页下页结束 B不可逆一、二两行相同一、二两行相同!解法解法2.利用“A可逆 A ”返回上页下页结束例例3.求解解解:原方程变形为 返回上页下页结束可见 A E 可逆,且注注:若要求若要求 思考:设 A,B 可逆,如何解矩阵方程 AXB=C?方法一:注意:注意:这个 r2 是新的结果方法二:返回上页下页结束内容小结内容小结1.矩阵的初等变换与初等矩阵 2.用初等变换法求矩阵的逆:作业 P64.25(1),(2)注意注意:初等矩阵可逆,其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵右右乘 A 对A 作列列变换 3.用初等变换法求 AX=B 的解 X=A1B:4.与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵解 YA=C 转化为解 用初等矩阵左左乘 A 对A 作行行变换
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