线性代数知识点归纳-(2).pdf

.线线性代数复性代数复习习要点要点第一部分第一部分 行列式行列式1.排列的逆序数排列的逆序数2.行列式按行（列）展开法行列式按行（列）展开法则则3.行列式的性行列式的性质质及行列式的及行列式的计计算算行列式的定行列式的定义义 1.行列式的行列式的计计算：算：(定定义义法法)1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaaLLLLLMMML1 （降（降阶阶法）法）行列式按行（列）展开定理：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应对应的代数余子式的乘的代数余子式的乘积积之和之和.推推论论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应对应元素的代数余子式乘元素的代数余子式乘积积之和等于零之和等于零.1122,0,.ijijinjnAija Aa Aa AijL .(化化为为三角型行列式三角型行列式)上三角、下三角、主上三角、下三角、主对对角行列式等于主角行列式等于主对对角角线线上元素的乘上元素的乘积积.112211 22*0*0*00nnnnbbAb bbbLMOL 若若都是方都是方阵阵（不必同（不必同阶阶）,则则AB与=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1 关于副关于副对对角角线线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO KNN1 范德蒙德行列式：范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx LLLMMML111 型公式：型公式：ab1(1)()nabbbbabbanb abbbabbbbaLLLM M M OML(升升阶阶法法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.(递递推公式法推公式法)对对阶阶行列式行列式找出找出与与或或,之之间间的一种关系的一种关系称称为递为递推公式，其中推公式，其中nnDnD1nD1nD2nD ,等等结结构相同，再由构相同，再由递递推公式求出推公式求出的方法称的方法称为递为递推公式法推公式法.nD1nD2nDnD (拆分法拆分法)把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质质将原行列式写成两行列式之和，将原行列式写成两行列式之和，使使问题简问题简化以例化以例计计算算.(数学数学归纳归纳法法)2.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；nA1(1)nnkn kkkEASkSk3.证明的方法：0A、；AA、反证法；.、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax、利用秩，证明；()r An、证明 0 是其特征值.4.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 第二部分第二部分 矩矩阵阵1.矩矩阵阵的运算性的运算性质质2.矩矩阵阵求逆求逆3.矩矩阵阵的秩的性的秩的性质质4.矩矩阵阵方程的求解方程的求解1.矩矩阵阵的定的定义义 由由个数排成的个数排成的行行列的表列的表称称为为矩矩阵阵.m nmn111212122212nnmmmnaaaaaaAaaaLLMMMLm n 记记作：作：或或 ijm nAam nA 同型矩同型矩阵阵：两个矩：两个矩阵阵的行数相等、列数也相等的行数相等、列数也相等.矩矩阵阵相等相等:两个矩两个矩阵阵同型，且同型，且对应对应元素相等元素相等.矩矩阵阵运算运算 a.矩矩阵阵加（减）法：两个同型矩加（减）法：两个同型矩阵阵，对应对应元素相加（减）元素相加（减）.b.数与矩数与矩阵阵相乘：数相乘：数与矩与矩阵阵的乘的乘积记积记作作 或或，规规定定为为.AAA()ijAa c.矩矩阵阵与矩与矩阵阵相乘：相乘：设设,则则，()ijm sAa()ijs nBb()ijm nCABc 其中其中 12121 122(,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaa ba ba bbLLM 注：注：矩矩阵阵乘法不乘法不满满足：交足：交换换律、消去律律、消去律,即公式即公式不成立不成立.00ABBAABA 或B=0 a.分分块对块对角角阵阵相乘：相乘：,11112222,ABABAB11112222A BABA B1122nnnAAA.b.用用对对角矩角矩阵阵乘一个矩乘一个矩阵阵,相当于用相当于用的的对对角角线线上的各元素依次乘此矩上的各元素依次乘此矩阵阵的的向量；向量；左左行行1111211 111 121 1221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbbababababbba ba ba bBabbba ba ba bLLLLLLMM OMMMOMMMOMLLL c.用用对对角矩角矩阵阵乘一个矩乘一个矩阵阵,相当于用相当于用的的对对角角线线上的各元素依次乘此矩上的各元素依次乘此矩阵阵的的向量向量.右右列列1112111 112 1212122221 212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaaba ba bbbbaaba ba bBbbbaaba ba b LLLLLLMMOMMM OMMMOMLLL d.两个同两个同阶对阶对角矩角矩阵阵相乘只用把相乘只用把对对角角线线上的上的对应对应元素相乘元素相乘.方方阵阵的的幂幂的性的性质质：，mnm nA AA()()mnmnAA 矩矩阵阵的的转转置：把矩置：把矩阵阵的行的行换换成同序数的列得到的新矩成同序数的列得到的新矩阵阵，叫做，叫做的的转转置矩置矩阵阵，记记作作.AATA a.对对称矩称矩阵阵和反和反对对称矩称矩阵阵:是是对对称矩称矩阵阵 .ATAA是反是反对对称矩称矩阵阵 .ATAA b.分分块块矩矩阵阵的的转转置矩置矩阵阵：TTTTTABACCDBD 伴随矩伴随矩阵阵：，为为中各个元素的代数余子式中各个元素的代数余子式.1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAALLMMMLijAA ,.*AAA AA E1*nAA11AA 分分块对块对角角阵阵的伴随矩的伴随矩阵阵：*ABABAB*(1)(1)mnmnAA BBB A.2.逆矩逆矩阵阵的求法的求法 方方阵阵可逆可逆 .A0A 伴随矩伴随矩阵阵法法 ：1AAA注注1abdbcdcaadbc1LL主换位副变号 初等初等变换变换法法 1()()A EE A MM初等行变换 分分块块矩矩阵阵的逆矩的逆矩阵阵：111AABB111ABBA 1111ACAA CBOBOB1111AOAOCBB CAB ,1231111213aaaaaa 3211111213aaaaaa 配方法或者待定系数法配方法或者待定系数法 （逆矩（逆矩阵阵的定的定义义）1ABBAEAB3.行行阶阶梯形矩梯形矩阵阵 可画出一条可画出一条阶阶梯梯线线，线线的下方全的下方全为为；每个台；每个台阶阶只有一行，台只有一行，台阶阶数即是非零行的行数，数即是非零行的行数，阶阶梯梯线线的的竖竖0 线线后面的第一个元素非零后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元当非零行的第一个非零元为为 1，且，且这这些非零元所在列的其他元素都是些非零元所在列的其他元素都是时时，0 称称为为行最行最简简形矩形矩阵阵4.初等初等变换变换与初等矩与初等矩阵阵 对换变换对换变换、倍乘、倍乘变换变换、倍加（或消法）、倍加（或消法）变换变换初等初等变换变换初等矩初等矩阵阵初等矩初等矩阵阵的逆的逆初等矩初等矩阵阵的行列式的行列式()ijrrijcc(,)E i j1(,)(,)E i jE i j(,)E i j 1()irkick()E i k11()()kE i kE i()E i kk()ijrrkijcck(,()E i j k1,(),()E i j kE i jk,()E i j k1矩矩阵转阵转置的性置的性质质：()TTAA()TTTABB ATAA11()()TTAA()()TTAA矩矩阵阵可逆的性可逆的性质质：11()AA111()ABB A11AA11()()kkkAAA伴随矩伴随矩阵阵的性的性质质：2()nAAA()ABB A1nAA11()()AAAA()()kkAA ()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若ABA BkkAA（无条件恒成立）（无条件恒成立）AAA AA E.矩矩阵阵的初等的初等变换变换和初等矩和初等矩阵阵的关系：的关系：对对施行一次初等施行一次初等变换变换得到的矩得到的矩阵阵,等于用相等于用相应应的初等矩的初等矩阵阵乘乘；A行行左左A 对对施行一次初等施行一次初等变换变换得到的矩得到的矩阵阵,等于用相等于用相应应的初等矩的初等矩阵阵乘乘.A列列右右A 注意：注意：初等矩初等矩阵阵是行是行变换还变换还是列是列变换变换，由其位置决定：左乘，由其位置决定：左乘为为初等行矩初等行矩阵阵、右乘、右乘为为初等列矩初等列矩阵阵.5.矩矩阵阵的秩的秩 关于关于矩矩阵阵秩的描述：秩的描述：A、，中有中有阶阶子式不子式不为为 0，阶阶子式子式(存在的存在的话话)全部全部为为 0；()r ArAr1r、，的的阶阶子式全部子式全部为为 0；()r ArAr、，中存在中存在阶阶子式不子式不为为 0；()r ArAr 矩矩阵阵的秩的性的秩的性质质：;()AOr A1()0AOr A0()m nr Amin(,)m n()()()TTr Ar Ar A A ()()r kAr Ak 其中0 ()(),()0m nn sr Ar BnABr ABBAx 若若0的列向量全部是的解 ()r ABmin(),()r A r B 若、可逆，则；即：可逆矩即：可逆矩阵阵不影响矩不影响矩阵阵的秩的秩.PQ()()()()r Ar PAr AQr PAQ 若若；()()()m nAxr ABr Br AnABOBOAABACBC 只有零解 在矩阵乘法中有左消去律 若若()()()n sr ABr Br BnB 在矩阵乘法中有右消去律.等价等价标标准型准型.()rrEOEOr ArAAOOOO若与唯一的等价，称为矩阵的,()r AB()()r Ar Bmax(),()r A r B(,)r A B()()r Ar B,()()AOOArr Ar BOBBO()()ACrr Ar BOB 求矩求矩阵阵的秩：的秩：定定义义法和行法和行阶阶梯形梯形阵阵方法方法.6 矩矩阵阵方程的解法方程的解法()：设设法化成法化成 0A AXBXAB(I)或 (I I)A BE X MM初等行变换(I)的解法：构造()()AEBX LL初等列变换(I I)的解法：构造 TTTTA XBXX(I I)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得第三部分第三部分 线线性方程性方程组组1.向量向量组组的的线线性表示性表示2.向量向量组组的的线线性相关性性相关性3.向量向量组组的秩的秩4.向量空向量空间间5.线线性方程性方程组组的解的判定的解的判定6.线线性方程性方程组组的解的的解的结结构（通解）构（通解）（1）齐齐次次线线性方程性方程组组的解的的解的结结构（基构（基础础解系与通解的关系）解系与通解的关系）（2）非）非齐齐次次线线性方程性方程组组的解的的解的结结构（通解）构（通解）1.线线性表示：性表示：对对于于给给定向量定向量组组，若存在一，若存在一组组数数使得使得，12,n L12,nk kkL1122nnkkkL 则则称称是是的的线线性性组组合，或称称合，或称称可由可由的的线线性表示性表示.12,n L12,n L线线性表示的判性表示的判别别定理定理:可由可由的的线线性表示性表示12,n L 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：nmn 、有解11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxbLLL L L L L L L L L L LL 、1112111212222212LLMMOMMMLnnmmmnmmaaaxbaaaxbAxaaaxb 、（全部按列分块，其中）；1212nnxxaaax LM12nbbb M.、（线性表出）1122nna xa xa x L 、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）()(,)r Ar An n2.设设的列向量的列向量为为,的列向量的列向量为为，,m nn sABA12,n B12,s 则则m sABC1112121222121212,ssnsnnnsbbbbbbc ccbbb LLLMMML ，iiAc(,)isL1,2 为为的解的解iiAxc 121212,sssAAAAc cc L 可由可由线线性表性表示示.12,sc ccL12,n 即：即：的列向量能由的列向量能由的列向量的列向量线线性表示，性表示，为为系数矩系数矩阵阵.CAB同理：同理：的行向量能由的行向量能由的行向量的行向量线线性表示，性表示，为为系数矩系数矩阵阵.CBA即：即：1112111212222212nnnnmnnmaaacaaacaaacLLMMMMML11112212121122222211222nnmmmnmaaacaaacaaacLLLLLL3.线线性相关性性相关性.判判别别方法：方法：法法 1 法法 2法法 3推推论论 线线性相关性判性相关性判别别法（法（归纳归纳）.线线性相关性的性性相关性的性质质零向量是任何向量的零向量是任何向量的线线性性组组合合,零向量与任何同零向量与任何同维实维实向量正交向量正交.单单个零向量个零向量线线性相关；性相关；单单个非零向量个非零向量线线性无关性无关.部分相关部分相关,整体必相关；整体无关整体必相关；整体无关,部分必无关部分必无关.（向量个数（向量个数变动变动）原向量原向量组组无关无关,接接长长向量向量组组无关；接无关；接长长向量向量组组相关相关,原向量原向量组组相关相关.（向量（向量维维数数变动变动）两个向量两个向量线线性相关性相关对应对应元素成比例；两两正交的非零向量元素成比例；两两正交的非零向量组线组线性无关性无关.向量向量组组中任一向量中任一向量 都是此向量都是此向量组组的的线线性性组组合合.12,n i(1i)n若若线线性无关，而性无关，而线线性相关性相关,则则可由可由线线性表示性表示,且表示法唯一且表示法唯一12,n 12,n 12,n 4.最大无关最大无关组组相关知相关知识识向量向量组组的秩的秩 向量向量组组的极大无关的极大无关组组所含向量所含向量12,n L的个数，称的个数，称为这为这个向量个向量组组的秩的秩.记记作作 12(,)nr L矩矩阵阵等价等价 经过经过有限次初等有限次初等变换变换化化为为.AB向量向量组组等价等价 和和可以相互可以相互线线性性12,n 12,n 表示表示.记记作：作：1212,nn%矩矩阵阵的行向量的行向量组组的秩的秩列向量列向量组组的秩的秩矩矩阵阵的秩的秩.行行阶阶梯形矩梯形矩阵阵的秩等于它的非零行的个数的秩等于它的非零行的个数.矩矩阵阵的初等的初等变换变换不改不改变变矩矩阵阵的秩的秩,且不改且不改变变行（列）向量行（列）向量间间的的线线性关系性关系向量向量组组可由向量可由向量组组线线性表示性表示,且且，则则线线性相关性相关.12,s 12,n sn12,s 向量向量组组线线性无关性无关,且可由且可由线线性表示性表示,则则.12,s 12,n sn向量向量组组可由向量可由向量组组线线性表示性表示,且且,则则两向量两向量组组等价；等价；12,s 12,n 12(,)sr 12(,)nr 任一向量任一向量组组和它的极大无关和它的极大无关组组等价等价.向量向量组组的任意两个极大无关的任意两个极大无关组组等价等价.向量向量组组的极大无关的极大无关组组不唯一，但极大无关不唯一，但极大无关组组所含向量个数唯一确定所含向量个数唯一确定.若两个若两个线线性无关的向量性无关的向量组组等价等价,则则它它们们包含的向量个数相等包含的向量个数相等.设设是是矩矩阵阵,若若，的行向量的行向量线线性无关；性无关；Am n()r AmA5.线线性方程性方程组组理理论论线线性方程性方程组组的矩的矩阵阵式式 向量式向量式 Ax1122nnxxxL 其中其中 1112111212222212,nnmmmnnmaaaxbaaaxbAxaaaxbLLMMMMML12,2,jjjmjjnLM1（1）解得判）解得判别别定理定理（2）线线性方程性方程组组解的性解的性质质：121212121 1221212(1),(2),(3),(4),(5),(6kkkkAxAxk kAxkAxAxAxAxAx LL 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解2112121 122121 12212),(7),100kkkkkkkAxAxAxAxAx LLLLL 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 (3)判断判断是是的基的基础础解系的条件：解系的条件：12,s LAx.线线性无关；性无关；12,s L 都是都是的解；的解；12,s LAx .()snr A 每个解向量中自由未知量的个数(4)求非求非齐齐次次线线性方程性方程组组 Ax=b 的通解的步的通解的步骤骤 12112(1()(2)()()(3)(4)10,.,(5)A br A br ArnnrAxbAxAxbxkk 0n-r0)将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的;写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212.,.,n rn rn rkk kk其中为任意常数.（5）其他性）其他性质质 一个一个齐齐次次线线性方程性方程组组的基的基础础解系不唯一解系不唯一.若若是是的一个解，的一个解，是是的一个解的一个解线线性无关性无关Ax1,s LAx1,s L 与与同解（同解（列向量个数相同）列向量个数相同）,且有且有结结果：果：AxBx,A B()()Arr Ar BB 它它们们的极大无关的极大无关组组相相对应对应,从而秩相等；从而秩相等；它它们对应们对应的部分的部分组组有一有一样样的的线线性相关性；性相关性；它它们们有相同的内在有相同的内在线线性关系性关系.矩矩阵阵与与的行向量的行向量组组等价等价齐齐次方程次方程组组与与同解同解（左乘可逆矩（左乘可逆矩阵阵）；）；m nAl nBAxBxPABP 矩矩阵阵与与的列向量的列向量组组等价等价（右乘可逆矩（右乘可逆矩阵阵）.m nAl nBAQBQ第四部分第四部分 方方阵阵的特征的特征值值及特征向量及特征向量1.施密特正交化施密特正交化过过程程2.特征特征值值、特征向量的性、特征向量的性质质及及计计算算3.矩矩阵阵的相似的相似对对角化，尤其是角化，尤其是对对称称阵阵的相似的相似对对角化角化1.标标准正交基准正交基 个个维线维线性无关的向量性无关的向量,两两正交两两正交,每个向量每个向量长长度度为为 1.nn 向量向量与与的内的内积积 12,Tna aaL12,Tnb bbL1 1221(,)niinniababa ba b L .记为记为：与正交(,)0 向量向量的的长长度度 12,Tna aaL2222121(,)niniaaaa L 是是单单位向量位向量.即即长长度度为为 的向量的向量.(,)1 12.内内积积的性的性质质：正定性正定性：(,)0,(,)0 且 对对称性称性：(,)(,).线线性性性性：1212(,)(,)(,)(,)(,)kk 3.设设 A 是一个是一个 n 阶阶方方阵阵,若存在数若存在数和和 n 维维非零列向量非零列向量,使得使得x ，Axx 则则称称是方是方阵阵 A 的一个特征的一个特征值值，为为方方阵阵 A 的的对应对应于特征于特征值值的一个特征向量的一个特征向量.x 的特征矩的特征矩阵阵 （或（或）.A0EA0AE 的特征多的特征多项项式式 （或（或）.A()EA()AE 是矩是矩阵阵的特征多的特征多项项式式()A()AO ，称称为为矩矩阵阵的的迹迹.12nA L1niAt rAt rA 上三角上三角阵阵、下三角、下三角阵阵、对对角角阵阵的特征的特征值值就是主就是主对对角角线线上的上的各元素各元素.n 若若,则则为为的特征的特征值值,且且的基的基础础解系即解系即为为属于属于的的线线性无关的特征向量性无关的特征向量.0A 0AAx 0 一定可分解一定可分解为为=、,从而从而的特征的特征值值()1r A AA1212,nnaabbbaLM21 122()nnAaba ba b ALA 为为：,.11 122nnAaba ba bLt r23nL0 为为各行的公比，各行的公比，为为各列的公比各列的公比.注注12,Tna aaLA12,nb bbLA 若若的全部特征的全部特征值值，是多是多项项式式,则则:A12,n L()f A 若若满满足足的任何一个特征的任何一个特征值值必必满满足足A()f AOA()if 0的全部特征的全部特征值为值为；.()f A12(),(),()nfffL12()()()()nf AfffL 与与有相同的特征有相同的特征值值，但特征向量不一定相同，但特征向量不一定相同.ATA4.特征特征值值与特征向量的求法与特征向量的求法 (1)写出矩写出矩阵阵 A 的特征方程的特征方程，求出特征，求出特征值值.0AEi (2)根据根据得到得到 A 对应对应于特征于特征值值的特征向量的特征向量.()0iAE xi 设设的基的基础础解系解系为为 其中其中.()0iAE x12,in r L()iirr AE.则则 A 对应对应于特征于特征值值的全部特征向量的全部特征向量为为 i1 122,iin rn rkkkL 其中其中为为任意不全任意不全为为零的数零的数.12,in rk kkL5.与与相似相似 （为为可逆矩可逆矩阵阵）AB1P APBP 与与正交相似正交相似 （为为正交矩正交矩阵阵）AB1P APBP 可以相似可以相似对对角化角化 与与对对角角阵阵相似相似.（称（称是是的的相似相似标标准形准形）AAA6.相似矩相似矩阵阵的性的性质质：,从而从而有相同的特征有相同的特征值值,但特征向量不一定相同但特征向量不一定相同.EAEB,A B是是关于关于的特征向量的特征向量,是是关于关于的特征向量的特征向量.注注A01PB0 ABt rt r 从而从而同同时时可逆或不可逆可逆或不可逆AB,A B ()()r Ar B 若若与与相似相似,则则的多的多项项式式与与的多的多项项式式相似相似.ABA()f AB()f A7.矩矩阵对阵对角化的判定方法角化的判定方法 n 阶阶矩矩阵阵 A 可可对对角化角化(即相似于即相似于对对角角阵阵)的充分必要条件是的充分必要条件是 A 有有 n 个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量.这时这时,为为的特征向量拼成的矩的特征向量拼成的矩阵阵，为对为对角角阵阵,主主对对角角线线上的元素上的元素为为的特征的特征值值.PA1P APA 设设为对应为对应于于的的线线性无关的特征向量性无关的特征向量,则则有：有：ii.121nP APO 可相似可相似对对角化角化，其中，其中为为的重数的重数恰有恰有个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量.A()iinrEAkikiAn ：当：当为为的重的特征的重的特征值时值时，可相似可相似对对角化角化的重数的重数基基础础解系的个数解系的个数.注注i 0AAi()nr AAx 若若阶阶矩矩阵阵有有个互异的特征个互异的特征值值可相似可相似对对角化角化.nAnA8.实对实对称矩称矩阵阵的性的性质质：.特征特征值值全是全是实实数数,特征向量是特征向量是实实向量；向量；不同特征不同特征值对应值对应的特征向量必定正交；的特征向量必定正交；：对对于普通方于普通方阵阵，不同特征，不同特征值对应值对应的特征向量的特征向量线线性无关；性无关；注注 一定有一定有个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量.若若有重的特征有重的特征值值,该该特征特征值值的重数的重数=；nAi()inrEA 必可用正交矩必可用正交矩阵阵相似相似对对角化，即：任一角化，即：任一实实二次型可二次型可经经正交正交变换变换化化为标为标准形；准形；与与对对角矩角矩阵阵合同，即：任一合同，即：任一实实二次型可二次型可经经可逆可逆线线性性变换变换化化为标为标准形；准形；两个两个实对实对称矩称矩阵阵相似相似有相同的特征有相同的特征值值.9.正交矩正交矩阵阵 TAAE 正交矩正交矩阵阵的性的性质质：；1TAA；TTAAA AE 正交正交阵阵的行列式等于的行列式等于 1 或或-1；是正交是正交阵阵,则则，也是正交也是正交阵阵；ATA1A 两个正交两个正交阵阵之之积积仍是正交仍是正交阵阵；的行（列）向量都是的行（列）向量都是单单位正交向量位正交向量组组.A10.11.施密特正交施密特正交规规范化范化 .线线性无关性无关,123,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)正交化 单单位化：位化：111222333 技巧：取正交的基技巧：取正交的基础础解系，跳解系，跳过过施密特正交化。施密特正交化。让让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由入方程，确定其自由变变量量.第四部分第四部分 二次型二次型1.二次型及其矩二次型及其矩阵阵形式形式2.二次型向二次型向标标准形准形转转化的三种方式化的三种方式3.正定矩正定矩阵阵的判定的判定1.二次型二次型 11121121222212121112(,)(,)nnnnTnijijnijnnnnnaaaxaaaxf x xxa x xx xxx AxaaaxLLLLLLLLLL 其中其中为对为对称矩称矩阵阵，A12(,)Tnxx xxL 与与合同合同 .（）ABTC ACB,A BC为实对称矩阵为可逆矩阵 正正惯惯性指数性指数 二次型的二次型的规规范形中正范形中正项项项项数数 负惯负惯性指数性指数二次型的二次型的规规范形中范形中负项项负项项数数prp符号差符号差 (为为二次型的秩二次型的秩)2prr 两个矩两个矩阵阵合同合同它它们们有相同的正有相同的正负惯负惯性指数性指数他他们们的秩与正的秩与正惯惯性指数分性指数分别别相等相等.两个矩两个矩阵阵合同的充分条件是：合同的充分条件是：与与B等价A 两个矩两个矩阵阵合同的必要条件是：合同的必要条件是：()()r Ar B2.经过经过 化化为为标标准形准形.12(,)Tnf x xxx AxL正交变换 合同变换可逆线性变换xCy21niifd y.正交正交变换变换法法 配方法配方法（1）若二次型含有）若二次型含有的平方的平方项项，则则先把含有先把含有的乘的乘积项积项集中，然后配方，再集中，然后配方，再对对其余的其余的变变量同量同样进样进行，行，ixix 直到都配成平方直到都配成平方项为项为止，止，经过经过非退化非退化线线性性变换变换，就得到，就得到标标准形准形;2 若二次型中不含有平方若二次型中不含有平方项项，但是，但是(),则则先作可逆先作可逆线线性性变换变换0ija ij ,1,2,iijjijkkxyyxyyknki jxyL且 化二次型化二次型为为含有平方含有平方项项的二次型，然后再按的二次型，然后再按(1)中方法配方中方法配方.初等初等变换变换法法3.正定二次型正定二次型 不全不全为为零，零，.12,nx xxL12(,)nf x xxL0正定矩正定矩阵阵 正定二次型正定二次型对应对应的矩的矩阵阵.4.为为正定二次型正定二次型（之一成立）：（之一成立）：()Tf xx Ax （1），；x Tx Ax 0 （2）的特征的特征值值全大于全大于；A0 （3）的正的正惯惯性指数性指数为为；fn （4）的所有的所有顺顺序主子式全大于序主子式全大于；A0 （5）与与合同，即存在可逆矩合同，即存在可逆矩阵阵使得使得；AECTC ACE （6）存在可逆矩）存在可逆矩阵阵，使得，使得；PTAP P.5.（1）合同）合同变换变换不改不改变变二次型的正定性二次型的正定性.（2）为为正定矩正定矩阵阵 ；.Aiia 00A （3）为为正定矩正定矩阵阵也是正定矩也是正定矩阵阵.A1,TAAA （4）与与合同，若合同，若为为正定矩正定矩阵阵为为正定矩正定矩阵阵ABAB （5）为为正定矩正定矩阵阵为为正定矩正定矩阵阵，但，但不一定不一定为为正定矩正定矩阵阵.,A BAB,AB BA6.半正定矩半正定矩阵阵的判定的判定 一些重要的一些重要的结论结论 (),nTAr AnAAAxxAxAAxA AAE 可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R R12,siAp pppnBABEABE 是初等阵存在阶矩阵使得 或：全体：全体维实维实向量构成的集合向量构成的集合叫做叫做维维向量空向量空间间.注注nnR Rn()Ar AnAAAAxA不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的特征向量.:;具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()关于关于：12,ne ee称称为为的的标标准基，准基，中的自然基，中的自然基，单单位坐位坐标标向量；向量；nn线线性无关；性无关；12,ne ee；12,1ne ee；tr=E n任意一个任意一个维维向量都可以用向量都可以用线线性表示性表示.n12,ne ee