压轴题中路径最值问题.doc

路径最值问题1、如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。2、 如图，已知抛物线yax 2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长OyxABC3、 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.（1）求、两点坐标,并证明点在直线上;（2）求二次函数解析式;（3）过点作直线交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小值.图11备用图4、如图13，抛物线y=ax2bxc(a0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.路径最值问题1、如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标。解：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得，解得 抛物线的解折式为；（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为，即E点的坐标（） 又点E在直线上解得（舍去），E的坐标为（4，3）；（）当A为直角顶点时，过A作AP1DE交x轴于P1点，设P1（a，0）易知D点坐标为（-2，0）由RtAODRtPOA得即，a=，P1（，0）；（）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）；（）当P为直角顶点时，过E作EFx轴于F，设P3（b、3）由OPA+FPE=90，得OPA=FEP，RtAOPRtPFE由得，解得，此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；（）抛物线的对称轴为，B、C关于对称，MC=MB，要使最大，即是使最大，由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时的值最大，易知直线AB的解折式为y=-x+1，由得， M。2、 如图，已知抛物线yax 2bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长OyxABC解：（1）根据题意，c=3所以 解得 所以抛物线解析式为。（3）如图，由题意，可得M（0，）点M关于x轴的对称点为M（0，-）点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A（6，3），连结AM根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是所求点P运动的最短总路径的长所以AM与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点可求得直线AM的解析式为y=可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）由勾股定理可求出AM=所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为。3、 已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.（1）求、两点坐标,并证明点在直线上;（2）求二次函数解析式;（3）过点作直线交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、,求和的最小值.图11备用图解：（1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a0），解得x1=3，x2=1，B点在A点右侧，A点坐标为（3，0），B点坐标为（1，0），证明：直线l：，当x=3时， 点A在直线l上；（2）点H、B关于过A点的直线l：对称，AH=AB=4，过顶点H作HCAB交AB于C点，则，顶点，代入二次函数解析式，解得，二次函数解析式为，（3）直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，由，解得，即，则BK=4，点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK，AEQK，BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90，由勾股定理得QB=8，HN+NM+MK的最小值为8，4、如图13，抛物线y=ax2bxc(a0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）。（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）设所求抛物线的解析式为：，依题意，将点B（3，0）代入，得：解得：a1所求抛物线的解析式为：（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HFHI设过A、E两点的一次函数解析式为：ykxb（k0），点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x2代入抛物线，得点E坐标为（2，3）又抛物线图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D当y0时，x1或x3当x0时，y143,点A（1，0），点B（3，0），点D（0，3）又抛物线的对称轴为：直线x1，点D与点E关于PQ对称，GDGE分别将点A（1，0）、点E（2，3）代入ykxb，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：yx1 当x0时，y1点F坐标为（0，1）=2又点F与点I关于x轴对称，点I坐标为（0，1）又要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，只要使DGGHHI最小即可由图形的对称性和、，可知，DGGHHFEGGHHI只有当EI为一条直线时，EGGHHI最小设过E（2，3）、I（0，1）两点的函数解析式为：，分别将点E（2，3）、点I（0，1）代入，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y2x1当x1时，y1；当y0时，x；点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）四边形DFHG的周长最小为：DFDGGHHFDFEI由和，可知： DFEI 四边形DFHG的周长最小为。（3）如图7，由题意可知，NMDMDB，要使，DNMBMD，只要使即可，即：设点M的坐标为（a，0），由MNBD，可得AMNABD， 再由（1）、（2）可知，AM1a，BD，AB4， 式可写成：解得：或（不合题意，舍去） 点M的坐标为（，0）又点T在抛物线图像上， 当x时，y 点T的坐标为（，）.