专训2-切线的判定和性质的四种应用类型-(2).doc
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专训2 切线的判定和性质的四种应用类型 名师点金:圆的切线的判定和性质的应用较广泛,一般先利用圆的切线的判定方法判定切线,再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证,在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题. 应用于求线段的长 1.如图,点D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD. (1)判断直线CD和⊙O的位置关系,并说明理由; (2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E,若AC=2,⊙O的半径是3,求BE的长. (第1题) 应用于求角的度数 2.【中考·珠海】如图,⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A,C,D,且与AB相切于点A. (1)求证:BC为⊙O的切线; (2)求∠B的度数. (第2题) 应用于求圆的半径 3.如图所示,四边形ABCD为菱形,△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D,交AC于点E. (1)判断⊙O与BC的位置关系,并说明理由; (2)若CE=2,求⊙O的半径r. (第3题) 应用于探究数量和位置关系 4.如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,OD⊥AC于点D,过点A作⊙O的切线AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC,BC. (1)猜想:线段OD与BC有何数量关系和位置关系,并证明你的结论; (2)求证:PC是⊙O的切线. (第4题) 答案 1.解:(1)直线CD与⊙O相切.理由如下: 连接OD,如图, ∵AB为直径,∴∠ADB=90°. 即∠ADO+∠1=90°. ∵OB=OD,∴∠CBD=∠1. 又∵∠CDA=∠CBD,∴∠1=∠CDA. ∴∠CDA+∠ADO=90°. 即∠CDO=90°. ∴OD⊥CD, 又∵OD是⊙O的半径, ∴CD是⊙O的切线,即直线CD与⊙O相切. (2)∵AC=2,⊙O的半径是3, ∴OC=2+3=5,OD=3. 在Rt△CDO中,由勾股定理得CD=4, ∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B, ∴DE=EB,∠CBE=90°. 设DE=EB=x, 在Rt△CBE中,由勾股定理得:CE2=BE2+BC2, 则(4+x)2=x2+(5+3)2,解得:x=6.即BE=6. (第1题) (第2题) 2.(1)证明:连接OA,OB,OC,如图, ∵AB与⊙O相切于A点,∴OA⊥AB.即∠OAB=90°. ∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC. 又∵OA=OC,OB=OB, ∴△ABO≌△CBO(SSS). ∴∠BCO=∠BAO=90°. ∴OC⊥BC,∴BC为⊙O的切线. (2)解:如图,连接BD, ∵△ABO≌△CBO,∴∠ABO=∠CBO. ∵四边形ABCD为菱形, ∴BD平分∠ABC.∴点O在BD上. ∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD. ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD, ∴∠BOC=2∠ODC. ∵CB=CD,∴∠OBC=∠ODC. ∴∠BOC=2∠OBC. ∵∠BOC+∠OBC=90°, ∴∠OBC=30°. ∴∠ABC=2∠OBC=60°. 3.解:(1)⊙O与BC相切,理由如下: 如图所示,连接OD,OB, ∵⊙O与CD相切于点D, ∴OD⊥CD.∴∠ODC=90°. ∵四边形ABCD为菱形, ∴AC垂直平分BD,AB=AD=CD=CB. ∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上, ∵OD=OB,OC=OC,CB=CD, ∴△OBC≌△ODC. ∴∠OBC=∠ODC=90°. 又∵OB为⊙O的半径, ∴⊙O与BC相切. (2)∵AD=CD,∴∠ACD=∠CAD. ∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA. ∵∠COD=∠OAD+∠ADO,∴∠COD=2∠CAD, ∴∠COD=2∠ACD. 又∵∠COD+∠ACD=90°, ∴∠ACD=30°. ∴OD=OC,即r=(OE+CE)=(r+2),∴r=2. (第3题) 4.(1)解:猜想:OD∥BC,OD=BC. 证明:∵OD⊥AC,∴AD=DC. ∵AB是⊙O的直径,∴OA=OB. ∴OD是△ABC的中位线, ∴OD∥BC,OD=BC. (第4题) (2)证明:如图,连接OC,设OP与⊙O交于点E. ∵OP⊥AC, ∴=,即∠AOE=∠COE. 在△OAP和△OCP中, ∵OA=OC,∠AOP=∠COP,OP=OP, ∴△OAP≌△OCP. ∴∠OCP=∠OAP. ∵PA是⊙O的切线,∴∠OAP=90°. ∴∠OCP=90°.即OC⊥PC. 又∵OC是⊙O的半径, ∴PC是⊙O的切线. 6- 配套讲稿:
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- 关 键 词:
- 专训 切线 判定 性质 应用 类型
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