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离散数学群论代数系统软件学院第一讲第一讲 内容提要内容提要 I、群群论论得得出出现现及及其其创创始始者者Galois、Abel,环论、域论与布尔代数环论、域论与布尔代数II、近世代数得应用近世代数得应用III、代数运算及其性质代数运算及其性质IV、代数系统代数系统I、群论得出现群论得出现 群论就是现代数学非常重要得分支群论就是现代数学非常重要得分支,群论产生群论产生得开端非常平凡得开端非常平凡,但就是群论得创立者却充满但就是群论得创立者却充满了传奇了传奇、这要从代数方程得求解方法谈起。这要从代数方程得求解方法谈起。代数方程根式解法得研究有很悠久得历史。代数方程根式解法得研究有很悠久得历史。大家知道大家知道,一个实系数得代数多项式在实数域一个实系数得代数多项式在实数域中只要能分解成一些实系数得一次因式与二中只要能分解成一些实系数得一次因式与二次因式得乘积次因式得乘积,则利用我们熟知得二次方程则利用我们熟知得二次方程:与一次方程得解得到原方程得解。为此与一次方程得解得到原方程得解。为此,人们试图对次数更高得方程得到类似得求人们试图对次数更高得方程得到类似得求解公式解公式、不过不过,由于一般三次方程相对于由于一般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多二次方程求根公式要复杂得多,所以古代所以古代数学家在这方面得努力都未能获得成功。数学家在这方面得努力都未能获得成功。二次方程得求根公式二次方程得求根公式直至直至16世纪形如世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0得三次方程得三次方程得求根公式才被意大利数学家费罗得求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和和塔尔塔里亚塔尔塔里亚(Tartalia)彼此独立发现。彼此独立发现。后来后来,意大利数学和物理学家卡尔达塔意大利数学和物理学家卡尔达塔(Cardano)在得知塔氏得发明后在得知塔氏得发明后,央求塔氏将央求塔氏将求解方法告诉她求解方法告诉她,塔氏在其允诺绝对保密得塔氏在其允诺绝对保密得条件下同意了。但就是卡尔达塔却背弃诺言条件下同意了。但就是卡尔达塔却背弃诺言,1545年将塔氏关于三次方程得解法发表在年将塔氏关于三次方程得解法发表在自己得著作自己得著作大术大术(Ars Magna)一书中一书中、在三次方程求解问题解决后在三次方程求解问题解决后,一般四次方程一般四次方程很快被意大利数学家费拉里很快被意大利数学家费拉里(Ferrari)所解决所解决,也发表在这部书中。也发表在这部书中。当一般得二、三、四次方程得求根公式在不同时代被解当一般得二、三、四次方程得求根公式在不同时代被解当一般得二、三、四次方程得求根公式在不同时代被解当一般得二、三、四次方程得求根公式在不同时代被解决之后决之后决之后决之后,人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程得求根公式。得求根公式。得求根公式。得求根公式。但事情得发展似乎突然停了下来但事情得发展似乎突然停了下来但事情得发展似乎突然停了下来但事情得发展似乎突然停了下来、虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力,其中包括其中包括其中包括其中包括1818世纪中叶伟世纪中叶伟世纪中叶伟世纪中叶伟大得瑞士数学家欧拉大得瑞士数学家欧拉大得瑞士数学家欧拉大得瑞士数学家欧拉(Euler),(Euler),经过三个世纪之久仍然没经过三个世纪之久仍然没经过三个世纪之久仍然没经过三个世纪之久仍然没有一个人能找出五次方程得求根公式有一个人能找出五次方程得求根公式有一个人能找出五次方程得求根公式有一个人能找出五次方程得求根公式、由于在漫长得岁月里久久找不到一般五次方程得根式解由于在漫长得岁月里久久找不到一般五次方程得根式解法法,于就是数学家们开始进行反思。于就是数学家们开始进行反思。拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)在在在在17701770年猜测年猜测年猜测年猜测:“这样得求根公式不存在这样得求根公式不存在这样得求根公式不存在这样得求根公式不存在、她预见到一般方程得可她预见到一般方程得可她预见到一般方程得可她预见到一般方程得可解性问题最后将归结到关于诸根得某些排列置换问题解性问题最后将归结到关于诸根得某些排列置换问题解性问题最后将归结到关于诸根得某些排列置换问题解性问题最后将归结到关于诸根得某些排列置换问题”。群论得创始人伽罗华和阿贝尔群论得创始人伽罗华和阿贝尔Lagrange得洞察力启发了年轻得得洞察力启发了年轻得Abel与与Galois,她她们在继承了们在继承了Lagrange留下得宝贵遗产基础上留下得宝贵遗产基础上,各各自作出了重要得贡献。自作出了重要得贡献。Abel(N、H、Abel,1802-1829),挪威数学家挪威数学家,近代近代数学发展得先驱者。数学发展得先驱者。1802年年8月月5日出生于一个牧日出生于一个牧师家庭师家庭,幼年丧父幼年丧父,家境贫寒。从小酷爱数学家境贫寒。从小酷爱数学,13岁进入奥斯陆一所教会学校学习岁进入奥斯陆一所教会学校学习,成绩优异。她成绩优异。她16岁自学数学名著岁自学数学名著,中学时被誉为中学时被誉为“数学迷数学迷”。她得数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔得数学天赋她得数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔得数学天赋,不断给予指导与资助。不断给予指导与资助。阿贝尔1821年阿贝尔上大学年阿贝尔上大学,在学校里她几乎全就在学校里她几乎全就是自学是自学,并开始花大量时间考虑数学问题并开始花大量时间考虑数学问题,做研究工作。做研究工作。1825年大学毕业后年大学毕业后,获得奖学获得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。金前往柏林和巴黎留学并谋职。在柏林她结识了数学家克雷尔在柏林她结识了数学家克雷尔(A、L、Crelle),并成为好朋友并成为好朋友,她鼓励克雷尔创办了她鼓励克雷尔创办了著名得数学刊物著名得数学刊物纯粹与应用数学杂志纯粹与应用数学杂志,1826年出第一卷刊登了阿贝尔得年出第一卷刊登了阿贝尔得7篇文章篇文章,其中就有关于一般五次方程不能用根式求其中就有关于一般五次方程不能用根式求解得文章解得文章,以后各卷也有她得很多文章。以后各卷也有她得很多文章。阿贝尔当阿贝尔得著作发表时当阿贝尔得著作发表时,引起了所有数学家得引起了所有数学家得惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理定理:“如果方程得次数如果方程得次数n 5,并且系数被看成并且系数被看成字母字母,那么任何一个由这些系数所组成得根式那么任何一个由这些系数所组成得根式都不可能就是该方程得解。原来在三个世纪都不可能就是该方程得解。原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成功以来用根式去解这种方程之所以不能成功,只只因为这个问题就没有解。因为这个问题就没有解。1826年阿贝尔又到了巴黎年阿贝尔又到了巴黎,遇到了当时著名得遇到了当时著名得数学家勒让德和柯西。当时她写了一篇关于数学家勒让德和柯西。当时她写了一篇关于椭圆积分得论文椭圆积分得论文,提交给法国科学院提交给法国科学院,但不幸但不幸没有得到重视没有得到重视,只好又返回柏林。只好又返回柏林。阿贝尔克雷尔为她谋求教授职务克雷尔为她谋求教授职务,没有成功。没有成功。1827年年5月阿贝月阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年尔贫病交加地回到挪威。次年4月月6日患结核病不幸去日患结核病不幸去世世,年仅年仅27岁。就在她去世后两天后岁。就在她去世后两天后,克雷尔来信通知克雷尔来信通知她已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚她已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚,阿贝尔阿贝尔已无法前往接受这一职务了。已无法前往接受这一职务了。阿贝尔去世前不久阿贝尔去世前不久,人们才认识到她得价值。人们才认识到她得价值。1828年年,有有4位法国科学院院士上书挪威国王位法国科学院院士上书挪威国王,请她为阿贝尔提请她为阿贝尔提供合适得科学研究位置供合适得科学研究位置,勒让德也在科学院会议上对阿勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面得成就就是多方面贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面得成就就是多方面得得,除五次方程外除五次方程外,她还研究了更广泛一类得代数方程她还研究了更广泛一类得代数方程,后人发现这就就是具有交换得伽罗华群得方程。后人后人发现这就就是具有交换得伽罗华群得方程。后人为了纪念她为了纪念她,就把交换群称为就把交换群称为Abel群群大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点阿贝尔1824年年,挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格证明了拉格朗日得看法朗日得看法、阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高斯有关方程式论得著作。开始时斯有关方程式论得著作。开始时,她利用高斯她利用高斯处理二项式方程得具体方法去研究五次方程处理二项式方程得具体方法去研究五次方程,曾一度以为能用根式解出五次方程曾一度以为能用根式解出五次方程,但很快她但很快她发现其中存在得问题。发现其中存在得问题。阿贝尔这时这时,Abel敏感地猜想到一般五次方程不可敏感地猜想到一般五次方程不可能用根式求解得结论。能用根式求解得结论。接着接着,Abel成功地证明了一条定理成功地证明了一条定理,今天称之今天称之为为Abel定理。由此定理定理。由此定理,Abel就证明了就证明了:“高高于四次得一般方程不可能有一般形式得根式于四次得一般方程不可能有一般形式得根式解解”。这就是数学史上得一项重要成就。这就是数学史上得一项重要成就。阿贝尔但就是虽然没有通用公式但就是虽然没有通用公式,有些特殊得五有些特殊得五 次方程有求根公式次方程有求根公式,那么自然会问那么自然会问:如何判如何判定一个给定得五次方程就是否有这样得求定一个给定得五次方程就是否有这样得求根公式根公式?对具有根式解得代数方程得特征问题对具有根式解得代数方程得特征问题,阿贝阿贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题尔一直在竭尽全力地研究这个问题、不幸不幸得就是得就是,1829年死神夺去了年仅年死神夺去了年仅26岁得她岁得她,使她即将完成得光辉事业功亏一篑。使她即将完成得光辉事业功亏一篑。挪威天才数学家阿贝尔(Abel)伽罗华在这一时期在这一时期在这一时期在这一时期,碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题个问题个问题个问题,而且最终取得了成功而且最终取得了成功而且最终取得了成功而且最终取得了成功,她就就是伽罗华她就就是伽罗华她就就是伽罗华她就就是伽罗华(Galois)(Galois)、伽罗华伽罗华伽罗华伽罗华18111811年年年年1010月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊、只活了只活了只活了只活了2020岁岁岁岁,而而而而她所留下得著作总共只有她所留下得著作总共只有她所留下得著作总共只有她所留下得著作总共只有6060页页页页,但却以自己天才得创但却以自己天才得创但却以自己天才得创但却以自己天才得创造造造造,犹如划破黑夜长空得一颗彗星犹如划破黑夜长空得一颗彗星犹如划破黑夜长空得一颗彗星犹如划破黑夜长空得一颗彗星GaloisGalois得出现得出现得出现得出现,开创了置换群论得研究开创了置换群论得研究开创了置换群论得研究开创了置换群论得研究、可就是这位年轻人获得得非凡成果可就是这位年轻人获得得非凡成果可就是这位年轻人获得得非凡成果可就是这位年轻人获得得非凡成果,在她因决斗去世在她因决斗去世在她因决斗去世在她因决斗去世1111年后才开始得到数学界得承认年后才开始得到数学界得承认年后才开始得到数学界得承认年后才开始得到数学界得承认、伽罗华幼年受过良好教育伽罗华幼年受过良好教育伽罗华幼年受过良好教育伽罗华幼年受过良好教育,1212岁上中学岁上中学岁上中学岁上中学,18271827年年年年1616岁就岁就岁就岁就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西得著作。开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西得著作。开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西得著作。开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西得著作。伽罗华不久,她遇到了数学教师里查德,里查德很快就发现了伽罗华得数学才能,在她得指导下,伽罗华开始研究代数方程理论,1828年17岁时高中未毕业便有重大发现,写出了关于循环连分数特别就是五次代数解法得重要论文。1829年18岁得她中学毕业参加声望很高得巴黎高等工科大学得入学考试时,伽罗华失败了,不得不进入较普通得师范学校、伽罗华1828年年,她把自己所写得论文送交法国科她把自己所写得论文送交法国科学院审查学院审查,同年同年6月该科学院曾举行例会月该科学院曾举行例会,由泊松由泊松(S、D、Poisson)和柯西两位著名和柯西两位著名数学家审查数学家审查,但由于重视不够但由于重视不够,原稿被柯原稿被柯西弄丢了。西弄丢了。1829年她又写了一些关于方程方面得重年她又写了一些关于方程方面得重要论文。同年要论文。同年7月月,她在巴黎高等工科大她在巴黎高等工科大学得入学考试中再次失败。学得入学考试中再次失败。伽罗华怀着沮丧之情怀着沮丧之情,伽罗华于伽罗华于1830年初又向年初又向科学院提交了另一篇论文科学院提交了另一篇论文,这次就是为这次就是为竞争一项数学大奖竞争一项数学大奖、科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿将其手稿 拿回家去审读拿回家去审读,不料在写出评审报告前不料在写出评审报告前去世了去世了,此文再也没有找到此文再也没有找到、伽罗华三失手稿三失手稿,加之考巴黎高等工科大学两度失败加之考巴黎高等工科大学两度失败,伽罗华遂对科学界产生排斥情绪伽罗华遂对科学界产生排斥情绪,变成了学生激变成了学生激进分子进分子,被学校开除被学校开除、担任私人辅导教师谋生担任私人辅导教师谋生,但她得数学研但她得数学研 究工作依然相当活跃究工作依然相当活跃、在仔细研究了在仔细研究了Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著作得基础上写出写出了最著名得论文了最著名得论文“关于方程可根式求解得条件关于方程可根式求解得条件”,并于并于1831年年1月送交科学院月送交科学院、到到3月月,科学院方面仍杳无音讯科学院方面仍杳无音讯,于就是她写信给于就是她写信给院长打听她得文章得下落院长打听她得文章得下落,结果又如石沉大海结果又如石沉大海、伽罗华她放弃了一切希望她放弃了一切希望,参加了国民卫队参加了国民卫队、在在那里和她在数学界一样运气不佳那里和她在数学界一样运气不佳、她刚加她刚加入不久入不久,卫队即遭控告阴谋造反而被解散卫队即遭控告阴谋造反而被解散、在在1831年年5月月10日进行得一次抗议聚宴上日进行得一次抗议聚宴上,伽罗华手中举着出鞘得刀提议为国王干杯伽罗华手中举着出鞘得刀提议为国王干杯,这一手势被同伙们解释成就是要国王得命这一手势被同伙们解释成就是要国王得命;第第2天她就被捕了天她就被捕了、后来被判无罪后来被判无罪,并于并于6月月15日获释日获释、伽罗华7月月4日日,她终于打听到她给科学院得那篇论文她终于打听到她给科学院得那篇论文得命运得命运:因因“无法理解无法理解”而遭拒绝而遭拒绝、审稿人就是著名得数学家泊松审稿人就是著名得数学家泊松(Poisson),正如正如当年高斯没能理解年轻得阿贝尔得思想一样当年高斯没能理解年轻得阿贝尔得思想一样,由于伽罗华得理论太深刻以至于超出了她所由于伽罗华得理论太深刻以至于超出了她所在得那个时代在得那个时代,从而她得论文也未被当代大师从而她得论文也未被当代大师所领悟所领悟,结果泊松得审查意见竟就是结果泊松得审查意见竟就是“完全不完全不能理解能理解”,但就是伽罗华得短暂生命使她已经但就是伽罗华得短暂生命使她已经没有时间再解释其深刻思想了没有时间再解释其深刻思想了、7月月14日她又遭逮捕并被判了六个月监禁日她又遭逮捕并被判了六个月监禁,因因为她在公共场所身着已被解散得国民卫队得为她在公共场所身着已被解散得国民卫队得制服制服、伽罗华在获释不久在获释不久在获释不久在获释不久,她陷入了与斯特凡妮小姐得恋情她陷入了与斯特凡妮小姐得恋情她陷入了与斯特凡妮小姐得恋情她陷入了与斯特凡妮小姐得恋情、这导这导这导这导致了她得早亡致了她得早亡致了她得早亡致了她得早亡、这次恋爱事件不知何故引出了一场这次恋爱事件不知何故引出了一场这次恋爱事件不知何故引出了一场这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗决斗决斗决斗、18321832年年年年5 5月月月月2929日日日日,决斗得前夜决斗得前夜决斗得前夜决斗得前夜,伽罗华写了封很长得信伽罗华写了封很长得信伽罗华写了封很长得信伽罗华写了封很长得信给她得朋友舍瓦利耶给她得朋友舍瓦利耶给她得朋友舍瓦利耶给她得朋友舍瓦利耶(A(A、Chevalier),Chevalier),先大致描述了先大致描述了先大致描述了先大致描述了她得数学理论她得数学理论她得数学理论她得数学理论,从而给数学界留下了唯一一份重要手从而给数学界留下了唯一一份重要手从而给数学界留下了唯一一份重要手从而给数学界留下了唯一一份重要手稿稿稿稿,奠定了近世代数得理论基础奠定了近世代数得理论基础奠定了近世代数得理论基础奠定了近世代数得理论基础,否则将使数学界乃否则将使数学界乃否则将使数学界乃否则将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。她对自己得研究成果不无至科学界蒙受重大损失。她对自己得研究成果不无至科学界蒙受重大损失。她对自己得研究成果不无至科学界蒙受重大损失。她对自己得研究成果不无自信地说自信地说自信地说自信地说“您可以公开地请求雅可比或高斯您可以公开地请求雅可比或高斯您可以公开地请求雅可比或高斯您可以公开地请求雅可比或高斯,请她们请她们请她们请她们不就是对这些东西得正确性不就是对这些东西得正确性不就是对这些东西得正确性不就是对这些东西得正确性,而就是对她们得重要性而就是对她们得重要性而就是对她们得重要性而就是对她们得重要性发表意见发表意见发表意见发表意见,我期待着一定会有人认识到我期待着一定会有人认识到我期待着一定会有人认识到我期待着一定会有人认识到,解开这个迷解开这个迷解开这个迷解开这个迷对她们就是有益得对她们就是有益得对她们就是有益得对她们就是有益得”。伽罗华在第二天得决斗中在第二天得决斗中(离离25步远用手枪射击步远用手枪射击),伽伽罗华得胃部中弹罗华得胃部中弹,24小时后去世小时后去世、享年不足享年不足21岁岁、她得信后来发表在她得信后来发表在1832年年9月得月得“百科评论百科评论”上上,但当时并未引起人们得重视。但当时并未引起人们得重视。14年后年后,法法国数学家刘维尔从伽罗华得弟弟手中搜集到国数学家刘维尔从伽罗华得弟弟手中搜集到一些尚未公开发表得手稿一些尚未公开发表得手稿,并把她发表在自己并把她发表在自己创办得数学杂志上创办得数学杂志上,人们才开始对伽罗华得思人们才开始对伽罗华得思想有所理解。想有所理解。伽罗华留给世界得最核心得概念就是伽罗华留给世界得最核心得概念就是(置换置换)群群,她成了群论得创始人她成了群论得创始人、Born:25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris),FranceDied:31 May 1832 in Paris,France环论环论起源于环论起源于19世纪关于实数域得扩张与分类世纪关于实数域得扩张与分类,以及戴以及戴德金、哈密顿等人对超复数系得建立和研究。德金、哈密顿等人对超复数系得建立和研究。环构造得研究可以说就是从环构造得研究可以说就是从1908年魏得邦得著名论年魏得邦得著名论文文有限维代数得构造有限维代数得构造开始得。开始得。20世纪二、三十世纪二、三十年代年代,诺特诺特(Noether)在环中引入了左、右理想得概念在环中引入了左、右理想得概念建立了环得理想理论。建立了环得理想理论。二十世纪二十世纪40年代年代,环得根理论迅速发展环得根理论迅速发展,特别就是雅特别就是雅各布森所创造得一般环得根得概念各布森所创造得一般环得根得概念,建立了本原环得建立了本原环得理论。理论。20世纪世纪50年代年代,阿密苏和库洛什又创立了根得一般理阿密苏和库洛什又创立了根得一般理论论,环论已趋完善。环论已趋完善。域 论域也就是代数学中最基本得概念之一域也就是代数学中最基本得概念之一,有着悠有着悠久得历史。早在久得历史。早在19世纪初世纪初,伽罗华在研究方程伽罗华在研究方程得根式解时就有了域得概念。后来在戴德金和得根式解时就有了域得概念。后来在戴德金和克罗内克关于代数数得著作里克罗内克关于代数数得著作里,虽然也出现过虽然也出现过域得概念域得概念,不过那时还没有域得抽象概念。不过那时还没有域得抽象概念。域得抽象概念始自韦伯域得抽象概念始自韦伯,并在其影响下并在其影响下,德国数德国数学家施泰尼茨学家施泰尼茨(E、Steinitz)对抽象域进行了系对抽象域进行了系统得研究。统得研究。1910年她发表了论文年她发表了论文域得代数理域得代数理论论,第一次对域得理论作了全面和系统地阐第一次对域得理论作了全面和系统地阐述述,奠定了域论得基础。奠定了域论得基础。布尔代数18351835年年,2020岁得乔治岁得乔治布尔开办了一所私人授课学校。布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要得数学课程为了给学生们开设必要得数学课程,她兴趣浓厚地读她兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识得教科书。不久起了当时一些介绍数学知识得教科书。不久,她就感她就感到惊讶到惊讶,这些东西就就是数学吗？实在令人难以置信。这些东西就就是数学吗？实在令人难以置信。于就是于就是,这位只学过初级数学得青年自学了艰深得这位只学过初级数学得青年自学了艰深得天体力学天体力学和很抽象得和很抽象得分析力学分析力学。由于她对。由于她对代数关系得对称和美有很强得感觉代数关系得对称和美有很强得感觉,在孤独得研究中在孤独得研究中,她首先发现了不变量她首先发现了不变量,并把这一成果写成论文发表。并把这一成果写成论文发表。这篇高质量得论文发表后这篇高质量得论文发表后,布尔仍然留在小学教书布尔仍然留在小学教书,她开始和许多第一流得英国数学家交往或通信她开始和许多第一流得英国数学家交往或通信,其中其中有数学家、逻辑学家德有数学家、逻辑学家德摩根。摩根。布尔代数摩根在摩根在1919世纪前半叶卷入了一场著名得争论世纪前半叶卷入了一场著名得争论,布尔知布尔知道摩根就是对得道摩根就是对得,于就是在于就是在18481848年出版了一本薄薄得年出版了一本薄薄得小册子来为朋友辩护。这本书就是她小册子来为朋友辩护。这本书就是她6 6年后更伟大得年后更伟大得东西得预告东西得预告,她一问世她一问世,立即激起了摩根得赞扬立即激起了摩根得赞扬,肯定肯定她开辟了新得、棘手得研究科目。布尔此时已经在研她开辟了新得、棘手得研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数究逻辑代数,即布尔代数。她把逻辑简化成极为容易即布尔代数。她把逻辑简化成极为容易和简单得一种代数。在这种代数中和简单得一种代数。在这种代数中,适当得材料上得适当得材料上得 推理推理,成了公式得初等运算得事情成了公式得初等运算得事情,这些公式比过去这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用得大多数公式要简在中学代数第二年级课程中所运用得大多数公式要简单得多。这样单得多。这样,就使逻辑本身受数学得支配。为了使就使逻辑本身受数学得支配。为了使自己得研究工作趋于完善自己得研究工作趋于完善,布尔在此后布尔在此后6 6年得漫长时间年得漫长时间里里,又付出了不同寻常得努力。又付出了不同寻常得努力。布尔代数18541854年年,她发表了她发表了思维规律思维规律这部杰作这部杰作,当时她已当时她已3939岁岁,布尔代数问世了布尔代数问世了,数学史上树起了一座新得里数学史上树起了一座新得里程碑。几乎像所有得新生事物一样程碑。几乎像所有得新生事物一样,布尔代数发明布尔代数发明后没有受到人们得重视。欧洲大陆著名得数学家蔑后没有受到人们得重视。欧洲大陆著名得数学家蔑视地称她为没有数学意义得哲学上稀奇古怪得东西视地称她为没有数学意义得哲学上稀奇古怪得东西,她们怀疑英伦岛国得数学家能在数学上做出独特她们怀疑英伦岛国得数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在她得杰作出版后不久就去世了。贡献。布尔在她得杰作出版后不久就去世了。2020世世纪初纪初,罗素在罗素在数学原理数学原理中认为中认为,纯数学就是布纯数学就是布尔在一部她称之为尔在一部她称之为思维规律思维规律得著作中发现得。得著作中发现得。此说一出此说一出,立刻引起世人对布尔代数得注意。今天立刻引起世人对布尔代数得注意。今天,布尔发明得逻辑代数已经发展成为纯数学得一个布尔发明得逻辑代数已经发展成为纯数学得一个主要分支。主要分支。近世代数得应用近世代数得应用1项链问题项链问题:用用n个颜色得珠子做成有个颜色得珠子做成有m颗珠子得颗珠子得项链项链,问可做成多少种不同类型得项链问可做成多少种不同类型得项链?2分子结构得计算问题分子结构得计算问题:在化学上由某几种元素在化学上由某几种元素可合成多少种不同得物质问题可合成多少种不同得物质问题,由此指导人们在由此指导人们在自然界寻找或人工合成这些物质。自然界寻找或人工合成这些物质。3正多面体着色问题正多面体着色问题:一个正多面体得顶点和面一个正多面体得顶点和面用用n种颜色着色种颜色着色,问有多少种不同得方法？问有多少种不同得方法？4图得构造与计算问题。图得构造与计算问题。近世代数得应用5开关电路得构造与计算问题。开关电路得构造与计算问题。6数字通讯得可靠性问题。数字通讯得可靠性问题。7几何做图问题。几何做图问题。8代数方程根求解问题。代数方程根求解问题。随着代数学得发展随着代数学得发展,象上面例子中得情况一样象上面例子中得情况一样,引入引入了许多运算系统了许多运算系统,开始就是单个地、独立地研究各个开始就是单个地、独立地研究各个具体得运算系统。逐渐地发现具体得运算系统。逐渐地发现,很多运算系统有相同很多运算系统有相同得运算性质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地得运算性质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地讨论而得得结果适用于各个具体得运算系统。这种讨论而得得结果适用于各个具体得运算系统。这种抽象出共同本质后进行统一处理得方法就是事半功抽象出共同本质后进行统一处理得方法就是事半功倍得倍得,因而就是代数学研究以及数学研究中最常用得因而就是代数学研究以及数学研究中最常用得手段手段,代数学中抽象得代数运算很多代数学中抽象得代数运算很多,但最基本得、但最基本得、最重要得就就是群、环和域。最重要得就就是群、环和域。关于代数得观念 从人们得观念上来看从人们得观念上来看,人们关于代人们关于代数得观念大致有三种数得观念大致有三种:1 用字母得代数用字母得代数2 解方程解方程 3 各种代数结构得理论各种代数结构得理论 现代代数学得研究对象不再就是以解方程为中心,而重点就是研究各样得代数结构得代数性质以及她们之间得联系、当然,所谓代数结构实际上就就是带有运算得集合、一般说来,这些运算还适合某些所希望得若干条件、初等代数、高等代数、线性代数都称为经典代数、她得研究对象主要就是代数方程和线性方程组、而现代代数学也即近世代数(又称为抽象代数),其主要内容就是研究 各种代数系统(代数结构),而对于代数结构,其基本成分则就是集合和集合上得映射、而近世代数就像古典代数那样,就是关于运算得学说,就是计算规则得学说,但她不把自己局限在研究数得运算得性质上,而就是企图研究更具一般性得元素上运算得性质,这种趋向就是现实中得要求所提示得、近世代数已广泛应用于近代物理学、近代科学、计算机科学、数字通讯、系统工程等领域、III、代数运算及性质代数运算及性质定义定义6、1、1设设S就是一个非空集合就是一个非空集合,称称SS到到S得一个映射得一个映射f为为S得一个二元代数运算得一个二元代数运算,即即,对于对于S中任意两个元素中任意两个元素a,b,通过通过f,唯一确定唯一确定S中一个元素中一个元素c:f(a,b)=c,常记为常记为a*b=c。S fa ab bc cd d代数运算就是闭运算。代数运算就是闭运算。该运算具有很强得抽象性该运算具有很强得抽象性,不限于不限于+,-,*,/,意义很广泛。意义很广泛。类似地类似地,可定义可定义S得得n元代数运算元代数运算:Sn到到S得得映射。映射。S S中元素任意性使中元素任意性使a a,b b可以就是同一个元素。可以就是同一个元素。例 子例例6、1、1 自然数集自然数集N上得加法和乘法就上得加法和乘法就是是N上得二元代数运算上得二元代数运算;减法和除法不就是减法和除法不就是N上得二元代数运算上得二元代数运算,因为两个自然数相减因为两个自然数相减或相除可能得到得不就是自然数。或相除可能得到得不就是自然数。此外。此外。0虽然就是自然数虽然就是自然数,但但0不可以作除数。不可以作除数。例例6、1、2 普通得加法、减法与乘法就是普通得加法、减法与乘法就是整数集整数集Z,有理数集有理数集Q,实数集实数集R与复数集与复数集C上上得二元代数运算得二元代数运算,而除法不就是这些集合上而除法不就是这些集合上得二元代数运算得二元代数运算,为什么？为什么？例 子例例6、1、3 非零实数集非零实数集R*上得乘法、除法上得乘法、除法就是就是R*上得二元代数运算上得二元代数运算;加法和减法不加法和减法不就是就是R*上得二元代数运算上得二元代数运算,因为两个非零因为两个非零实数相加或相减可能得出实数相加或相减可能得出0 例例6、1、4 设设S就是一个非空集合就是一个非空集合,(S)就是就是S得幂集得幂集,则集合得交运算则集合得交运算、并运算、并运算就是就是(S)上得二元代数运算。上得二元代数运算。集合中与两种代数运算发生关系得运算律分配律1交换律2结合律3消去律集合中与一种代数运算发生关系得运算律 给一个集合赋予了代数运算后给一个集合赋予了代数运算后,犹如使一潭犹如使一潭死水泛起了波澜死水泛起了波澜,好比对这集合赋予了生命好比对这集合赋予了生命、一个代数运算就是可以任意规定得一个代数运算就是可以任意规定得,但未必但未必都都会有用会有用,即任意取几个集合即任意取几个集合,任意规定几个代数运任意规定几个代数运算算,很难希望得到好得结果很难希望得到好得结果,因而在以后所遇到得因而在以后所遇到得代数运算都适合一些从实际中得来得规律代数运算都适合一些从实际中得来得规律(结合结合律、交换律、分配律律、交换律、分配律),),分与一种运算分与一种运算(结合律、结合律、交换律交换律)、两种运算、两种运算(分配律分配律)发生关系得运算律发生关系得运算律、III代数运算及性质代数运算及性质定定义义6、1、2 设设*就就是是集集合合S上上得得二二元元代代数数运运算算,如果对于如果对于S中任意两个元素中任意两个元素a,b,等式等式a*b=b*a都成立都成立,则称运算则称运算“*”满足交换律。满足交换律。定定义义6、1、3 设设*就就是是集集合合S上上得得二二元元代代数数运运算算,如果对于如果对于S中任意三个元素中任意三个元素a,b,c,等式等式(a*b)*c=a*(b*c)都成立都成立,则称运算则称运算*满足结合律。满足结合律。代数运算及性质代数运算及性质定定义义6、1、4 设设*就就是是集集合合S上上得得二二元元代代数数运运算算,a就是就是S中得元素中得元素,如果如果a*a=a则则称称a就就是是关关于于运运算算*得得幂幂等等元元。如如果果S中中每每个个元元素素都都就就是是关关于于*得得幂幂等等元元,则则称称运运算算“*”满满足等幂律。足等幂律。定定义义6、1、5 设设*和和+就就是是集集合合S上上得得两两个个二二元元代代数数运运算算,如如果果对对于于S中中任任意意三三个个元元素素a,b,c,等式等式a*(b+c)=(a*b)+(a*c),),(b+c)*a=(b*a)+(c*a)都成立都成立,则称运算则称运算*对对+满足分配律。满足分配律。代数运算及性质代数运算及性质定定义义6、1、6 设设*和和+就就是是集集合合S上上得得两两个个二二元元代代数数运运算算,如如果果对对于于S中中任任意意两两个个元元素素a,b,等等式式 a*(a+b)=a,a+(a*b)=a,都成立都成立,则称运算则称运算*和和+满足吸收律满足吸收律。例例6、1、5 整整数数集集Z上上得得加加法法、乘乘法法都都满满足足结结合合律律和和交交换换律律,乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律,但但加加法法对对乘乘法法不不满满足足分分配配律律;减减法法不不满满足足结结合合律律,也也不不满满足足交交换换律律;她她们们都都不不满满足足等等幂幂律律,也也不不满足吸收律满足吸收律。例 子例例6、1、6 n阶阶实实矩矩阵阵集集合合上上得得加加法法满满足足结结合合律律,也也满满足足交交换换律律;乘乘法法满满足足结结合合律律,但但不不满满足足交交换换律律;她她们们都都不不满满足足等等幂幂律律,也也不不满满足吸收律。足吸收律。例例6、1、7 设设S就就是是一一个个非非空空集集合合,(S)就就是是S得得幂幂集集,则则(S)上上得得交交运运算算、并并运运算算都都满满足足结结合合律律,交交换换律律,对对、对对都都满满足足分分配配律律,她她们们都都满满足足等等幂幂律律,也也满满足足吸收律。吸收律。补充定义补充定义定义定义6、1、7 设设*就是集合就是集合S上得二元代数运上得二元代数运算算,若存在若存在el S(或或er S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有el*a=a(或或a*er=a),则称则称el(或或er)就是就是S中中关于关于*运算得左运算得左(或右或右)单位元。若单位元。若e S关于关于*运算既为左单位元又为右单位元运算既为左单位元又为右单位元,则称则称e为为S中关于中关于*运算得单位元。运算得单位元。例例6、1、8 整数集合整数集合Z中关于加法得单位元中关于加法得单位元就是就是0,关于乘法得单位元就是关于乘法得单位元就是1。补充定义定义定义6、1、7设设*就是集合就是集合S上得二元代数运上得二元代数运算算,若存在若存在 l S(或或 r S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有 l*a=l(或或a*r=r),则称则称 l(或或 r)就就是是S中关于中关于*运算得左运算得左(或右或右)零元。若零元。若 S关关于于*运算既为左零元又为右零元运算既为左零元又为右零元,则称则称 为为S中中关于关于*运算得零元。运算得零元。例例6、1、9 n阶阶(n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn(R)中中关于矩阵加法得单位元就是关于矩阵加法得单位元就是n阶全阶全0矩阵矩阵,没没有零元有零元,而关于矩阵乘法得单位元就是而关于矩阵乘法得单位元就是n阶单阶单位矩阵位矩阵,零元就是零元就是n阶全阶全0矩阵。矩阵。补充定义定义定义6、1、7 设设*就是集合就是集合S上得二元代数运上得二元代数运算算,e S就是就是S中关于中关于*运算得单位元。运算得单位元。对于对于a S若存在若存在al S(或或ar S)使得使得al*a=e(或或a*ar=e),则称则称al(或或ar)就是就是a关于关于*运算得左运算得左(或右或右)逆元。若逆元。若a-1 S既就是既就是a关于关于*运算得左逆元又运算得左逆元又为右逆元为右逆元,则称则称a-1就是就是a关于关于*运算得逆元。运算得逆元。例例6、1、10 n阶阶(n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn(R)中中任何矩阵任何矩阵M关于矩阵加法得逆元就是关于矩阵加法得逆元就是-M;而对而对于乘法只有可逆矩阵于乘法只有可逆矩阵M有逆元有逆元M-1。代数运算及性质代数运算及性质可以证明集合可以证明集合S上关于二元运算上关于二元运算*得单位元得单位元,零元以零元以及若及若*满足结合律则满足结合律则S中任意元素中任意元素a得逆元得逆元a-1就是唯就是唯一得。一得。定定义义6、1、7 设设*就就是是集集合