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4.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质四、基本积分公式五、不定积分的求法1 前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。的导数或微分，求此函数。例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻时刻 的速度的速度 ，要求物体的运动方程：，要求物体的运动方程：。这类问题在数学中归结为求导运算的。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。逆运算，我们称之为求函数的不定积分。2一、原函数与不定积分的概念 1.1.原函数：原函数：设设 是定义在某区间上的已知函数，如果是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数存在一个函数 ，使对于该区间任意，使对于该区间任意 ，都有关系式：都有关系式：或或成立，则称函数成立，则称函数 为函数为函数 在该区间上在该区间上的一个的一个原函数原函数。3例又因为：所以显然所以显然 ，都是都是 的一个原函数。的一个原函数。4 由此不难得出：（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。（3）若）若 为为 的一个原函数，则的一个原函数，则 表示表示 的所有原函数。的所有原函数。2.不定积分的定义：设设 是是 在区间在区间I上的一个原函数，则函上的一个原函数，则函数数 的全体原函数的全体原函数 （c为任意常数）为任意常数）5任任意意常常数数积积分分符符号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量 3.如何求不定积分称为 在该区间I上的不定积分。即：6例1解：例2解：求求求求因为因为所以所以是是的一个原函数，从而有的一个原函数，从而有因为因为所以所以是是的一个原函数，从而有的一个原函数，从而有7例3 求求因为因为8 结论 （3）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。（1）求函数）求函数 的的 不定积分就是求不定积分就是求 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数数，再加上一个常数 C 即可。即可。（2）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。9 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而的全部积分曲线的全部积分曲线所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而二、不定积分的几何意义如下图所示：10 11 例4 设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解 设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为122024/5/4 周六13三、不定积分的性质 定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即 定理2定理314 积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。四、基本积分公式 将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。15基本积分表是常数是常数);16基本积分表171.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）解根据幂函数的积分公式例5 求下列函数的不定积分（恒等变形法）五、不定积分的求法：(1)18解:解:原式19例6 求下列函数的不定积分解：原式20解：原式解：原式21解：原式解：原 式22解：原 式解：原 式23解所求曲线方程为243.基本积分表；5.不定积分的（线性）性质；1.原函数的概念：；2.不定积分的概念：；4.求微分与求积分的互逆关系；六、小结6.求不定积分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。252024/5/4 周六26