运筹学排队论.pptx

1第五章第五章 排队论排队论(Queuing(Queuing Theory)Theory)排排队队论论（queuing),也也称称随随机机服服务务系系统统理理论论，是是运筹学的一个主要分支。运筹学的一个主要分支。1909年年，丹丹麦麦哥哥本本哈哈根根电电子子公公司司电电话话工工程程师师A.K.Erlang的的开开创创性性论论文文“概概率率论论和和电电话话通通讯讯理理论论”标标志志此此理理论论的的诞诞生生。排排队队论论的的发发展展最最早早是是与与电电话话，通通信信中中的的问问题题相相联联系系的的，并并到到现现在在是是排排队队论论的的传传统统的的应应用用领领域域。近近年年来来在在计计算算机机通通讯讯网网络络系系统统、交交通通运运输输、医医疗疗卫卫生生系系统统、库库存存管管理理、作作战战指指挥挥等等各各领领域中均得到应用。域中均得到应用。2 1.1 1.1 排队系统的组成与特征排队系统的组成与特征 排队系统一般有三个基本组成部分：排队系统一般有三个基本组成部分：1.1.输输入过程；入过程；2.2.排队规则；排队规则；3.3.服务机构。现分别说服务机构。现分别说明：明：1 1 排队系统的基本概念排队系统的基本概念3 输入即为顾客的到达，可有下列情况：输入即为顾客的到达，可有下列情况：1）顾客源可能是有限的，也可能是无限的。顾客源可能是有限的，也可能是无限的。2）顾客是成批到达或是单个到达。顾客是成批到达或是单个到达。3）顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。顾客到达的间隔时间可能是随机的或确定的。4）顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓顾客到达可能是相互独立的或关联的。所谓独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。独立就是以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。5）输入过程可以是平稳的（输入过程可以是平稳的（stationarystationary）或说）或说是对时间齐次的（是对时间齐次的（Homogeneous in timeHomogeneous in time），也可以），也可以是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达是非平稳的。输入过程是平稳的是指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；的间隔时间分布和参数（均值、方差）与时间无关；非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。非平稳的则是与时间相关，非平稳的处理比较困难。1.1.输入过程输入过程4 2.排队规则排队规则 1）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制）顾客到达后接受服务分为即时制（损失制）和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将和等待制。即时制不形成队列，而对于等待制将会形成队列，顾客可以按下规则接收服务：会形成队列，顾客可以按下规则接收服务：（1 1）先到先服务先到先服务 FCFS FCFS（2 2）后到先服务）后到先服务 LCFS LCFS（3 3）随机服务）随机服务RAND RAND （4 4）有优先权服务）有优先权服务 PRPR。2）从从队队列列的的空空间间可可分分为为有有容容量量限限制制和和无无容容量量限制。限制。3 3）从队列数可分为单列和多列。）从队列数可分为单列和多列。53 3.服务机构服务机构 1 1）服服务务机机构构可可以以是是单单服服务务员员和和多多服服务务员员服服务务，这这种种服服务务形形式式与与队队列列规规则则联联合合后后形形成成了了多多种种不不同同队队列，不同形式的排队服务机构，如：列，不同形式的排队服务机构，如：6 上述特征中最主要的、影响最大的是：上述特征中最主要的、影响最大的是：顾客相继到达的间隔时间分布顾客相继到达的间隔时间分布服务时间的分布服务时间的分布服务台数服务台数 D.G.KendallD.G.Kendall，19531953提出了分类法，称为提出了分类法，称为KendallKendall记号记号(适用于并列服务台适用于并列服务台)即：即：X/Y/Z:A/B/CX/Y/Z:A/B/C 2)2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。3)3)服务时间分为确定型和随机型。服务时间分为确定型和随机型。4)4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。11.2 2 排队系统的模型分类排队系统的模型分类7 式中：式中：X顾客相继到达间隔时间分布。顾客相继到达间隔时间分布。M负指数分布负指数分布Markov，D确定型分布确定型分布Deterministic，EkK阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布Erlang，GI 一般相互独立随一般相互独立随机分布机分布(General Independent)，G 一般随机分布。一般随机分布。Y填写服务时间分布（与上同）填写服务时间分布（与上同）Z填写并列的服务台数填写并列的服务台数A排队系统的最大容量排队系统的最大容量B顾客源数量顾客源数量 C排队规则排队规则 如如 M/M/1M/M/1:/FCFS/FCFS/FCFS/FCFS即即为为顾顾客客到到达达为为泊泊松松过过程程，服服务务时时间间为为负负指指数数分分布布，单单台台，无无限限容容量量，无无限限源源，先到先服务的排队系统模型。先到先服务的排队系统模型。82 2 排队论基本理论总廓排队论基本理论总廓 22.1.1 排队论研究的基本问题排队论研究的基本问题 1.1.排排队队系系统统的的统统计计推推断断:即即通通过过对对排排队队系系统统主主要要参参数数的的统统计计推推断断和和对对排排队队系系统统的的结结构构分分析析，判判断断一一个个给给定定的的排排队队系系统统符符合合于于哪哪种种模模型型，以以便便根根据排队理论进行研究。据排队理论进行研究。2.2.系系统统性性态态问问题题:即即研研究究各各种种排排队队系系统统的的概概率率规规律律性性，主主要要研研究究队队长长分分布布、等等待待时时间间分分布布和和忙忙期分布等统计指标期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。包括了瞬态和稳态两种情形。3.3.最最优优化化问问题题：即即包包括括最最优优设设计计(静静态态优优化化)，最优运营（动态优化）。，最优运营（动态优化）。92.2 2.2 排队问题求解排队问题求解(主要指性态问题主要指性态问题)求求解解一一般般排排队队系系统统问问题题的的目目的的主主要要是是通通过过研研究究排排队队系系统统运运行行的的效效率率指指标标，估估计计服服务务质质量量，确确定定系系统统的的合合理理结结构构和和系系统统参参数数的的合合理理值值，以以便便实实现现对对现现有有系系统统合合理理改改进进和和对对新新建建系统的最优设计等。系统的最优设计等。排队问题的一般步骤：排队问题的一般步骤：1 1.确确定定或或拟拟合合排排队队系系统统顾顾客客到到达达的的时时间间间间隔分布和服务时间分布隔分布和服务时间分布(可实测可实测)。2 2.研研究究系系统统状状态态的的概概率率。系系统统状状态态是是指指系系统统中中顾顾客客数数。状状态态概概率率用用P Pn n(t)(t)表表示示,即即在在t t时时刻系统中有刻系统中有n n个顾客的概率，也称瞬态概率。个顾客的概率，也称瞬态概率。10 求解状态概率求解状态概率P Pn n(t)(t)方法是建立含方法是建立含P Pn n(t)(t)的微分差的微分差分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由分方程，通过求解微分差分方程得到系统瞬态解，由于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也于瞬态解一般求出确定值比较困难，即便求得一般也很难使用。因此我们常常使用它的极限很难使用。因此我们常常使用它的极限(如果存在的话如果存在的话)：稳态的物理意义见右图，稳态的物理意义见右图，系统的稳态一般很快都系统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不能达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。到稳态的现象也存在。值得注意的是求稳态概值得注意的是求稳态概率率P Pn n并不一定求并不一定求t的的极限极限,而只需求而只需求P Pn n(t)=0(t)=0 即可。即可。过渡状态 稳定状态 pn t 图3 排队系统状态变化示意图 称为稳态称为稳态(steady state)steady state)解，解，或称统计平衡状态或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)Statistical Equilibrium State)的解的解。11 3 3.根据排队系统对应的理论模型根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统求出用以判断系统运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。数量指标主要包括数量指标主要包括:(1)(1)平均队长（平均队长（L Ls s）:系统中的顾客数。系统中的顾客数。平均队列长（平均队列长（L Lq q）:系统中排队等待服务的顾客数。系统中排队等待服务的顾客数。系统中顾客数系统中顾客数L Ls s=系统中排队等待服务的顾客数系统中排队等待服务的顾客数L Lq q+正被正被服务的顾客数服务的顾客数c c(2)(2)平均逗留时间平均逗留时间(Ws)(Ws):指一个顾客在系统中的停留时间。指一个顾客在系统中的停留时间。平均等待时间平均等待时间(Wq)(Wq):指一个顾客在系统中排队等待的时间。指一个顾客在系统中排队等待的时间。(3)(3)忙期忙期：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空：指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数闲这段时间长度。（忙期和一个忙期中平均完成服务顾客数都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）都是衡量服务机构效率的指标，忙期关系到工作强度）4.排队系统指标优化排队系统指标优化 含优化设计与优化运营。含优化设计与优化运营。问题问题1 1 系统中顾客数系统中顾客数=平均队列长（平均队列长（L Lq q）+1+1？1222.3.3 排队论主要知识点排队论主要知识点排队系统的组成与特征排队系统的组成与特征排队系统的模型分类排队系统的模型分类顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与理论分布理论分布稳态概率稳态概率P Pn n的计算的计算标准的标准的M/M/1M/M/1模型模型(M/M/1:/FCFS)/FCFS)系统容量有限制的系统容量有限制的模型模型M/M/1:N/FCFS/FCFS顾客源有限模型顾客源有限模型M/M/1/M/M/FCFSFCFS标准的标准的M/M/CM/M/C模型模型M/M/C:/FCFS/FCFS 13M/M/C型系统和型系统和C个个M/M/1型系统型系统系统容量有限制的多服务台模型系统容量有限制的多服务台模型(M/M/C/N/)顾客源为有限的顾客源为有限的多服务台模型多服务台模型(M/M/C/M)(M/M/C/M)一般服务时间的（一般服务时间的（M/G/1M/G/1）模型）模型Pollaczek-Khintchine(P-K)公式公式定长服务时间定长服务时间 M/D/1M/D/1模型模型爱尔朗服务时间爱尔朗服务时间M/Ek/1模型模型排队系统优化排队系统优化M/M/1 模型中的最优服务率模型中的最优服务率u标准的标准的M/M/1Model系统容量为系统容量为N的情形的情形M/M/C模型中最优服务台数模型中最优服务台数C143 3 到达间隔时间分布和服务时间到达间隔时间分布和服务时间的分布的分布 一一个个排排队队系系统统的的最最主主要要特特征征参参数数是是顾顾客客的的到到达达间间隔隔时时间间分分布布与与服服务务时时间间分分布布。要要研研究究到到达达间间隔隔时时间间分分布布与与服服务务时时间间分分布布需需要要首首先先根根据据现现存存系系统统原原始始资资料料统统计计出出它它们们的的经经验验分分布布（见见P315P315319319），然然后后与与理理论论分分布布拟拟合合，若若能能照照应应，我我们们就可以得出上述的分布情况。就可以得出上述的分布情况。153.1 3.1 经验分布经验分布 经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假经验数据进行统计分析，并依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的进行检验，当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。经验数据服从该假设分布。分布的拟合检验一般采用分布的拟合检验一般采用 2检验。由数理统检验。由数理统计的知识我们知：若样本量计的知识我们知：若样本量n充分大充分大(n50)，则则当假设当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自由度为真时，统计量总是近似地服从自由度为为k-r-1的的 2分布，其中分布，其中k为分组数，为分组数，r为检验分为检验分布中被估计的参数个数。布中被估计的参数个数。163.2 3.2 理论分布理论分布 式中式中为常数为常数(0)0)，称，称X X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，若在上式中引入时间参数若在上式中引入时间参数t t，即令，即令tt代替代替，则有：，则有：1.泊松分布泊松分布 在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变量为量为X，则有：，则有：n=0,1,2,（1）与与时时间间有有关关的的随随机机变变量量的的概概率率，是是一一个个随随机机过过程程，即即泊松过程泊松过程。t0，n=0,1,2,（2）17（t2t1，n0）若若设设N(t)N(t)表表示示在在时时间间区区间间0,t)0,t)内内到到达达的的顾顾客客数数(t0),P(t0),Pn n(t(t1 1,t,t2 2)表表示示在在时时间间区区间间tt1 1,t,t2 2)(t)(t2 2tt1 1)内内有有n(0)n(0)个顾客到达的概率。即：个顾客到达的概率。即：在在一一定定的的假假设设条条件件下下 顾顾客客的的到到达达过过程程就就是是一个泊松过程。一个泊松过程。当当P Pn n(t(t1 1,t,t2 2)符合下述三个条件时，顾客到达过程符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程就是泊松过程(顾客到达形成普阿松流顾客到达形成普阿松流)。18 无后效性：无后效性：各区间的到达相互独立各区间的到达相互独立,即即MarkovMarkov性。性。也就是说过程在也就是说过程在t+tt+t所处的状态与所处的状态与t t以前所处的状以前所处的状态无态无关。关。平稳性：平稳性：即对于足够小的即对于足够小的tt，有：，有：普阿松流具有如下特性：普阿松流具有如下特性：在在t,t+tt,t+t内有一个顾客到达的概率与内有一个顾客到达的概率与t t无关无关,而与而与tt成正比。成正比。19 普普通通性性：对对充充分分小小的的t,t,在在时时间间区区间间（t,t+tt）内有内有2 2个或个或2 2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小.由此知，在由此知，在(t，t+t)t)区间内没有顾客到达的概率为：区间内没有顾客到达的概率为：令令t1 1=0,t=0,t2 2=t,=t,则则P(tP(t1 1,t,t2 2)=P)=Pn n(0,t)=P(0,t)=Pn n(t)(t)0 0 是常数，它是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。为概率强度。即即 P P0 0+P+P1 1+P+P22=1=1 在上述假设下，在上述假设下，t t时刻系统中有时刻系统中有n n个顾客的概率个顾客的概率p pn(t)n(t)：20(1)(1)(2)(2)当当n=0时，则时，则 (3)(3)（没有顾客到达的概率）（没有顾客到达的概率）（n n个顾客到达的概率）个顾客到达的概率）（4 4）瞬态方瞬态方程程（1 1）、（）、（2 2）两式求导并令导数为）两式求导并令导数为0 0，得稳态概率：，得稳态概率：21 级数级数 令令k=n-1，则：，则：同理方差为：同理方差为：顾客到达过程是一个顾客到达过程是一个泊松过程泊松过程(泊松流泊松流)。期望期望22 表示单位时间内顾客平均到达数。表示单位时间内顾客平均到达数。1/表示顾客到达的平均间隔时间。表示顾客到达的平均间隔时间。对对顾顾客客的的服服务务时时间间：系系统统处处于于忙忙期期时时两两顾顾客客相相继继离离开系统的时间间隔开系统的时间间隔，一般地也服从负指数分布，一般地也服从负指数分布，接受服务，然后离开接受服务，然后离开服务时间的分布：服务时间的分布：2.2.负指数分布负指数分布 可以证明可以证明当输入过程是泊松流时，两顾客相继到当输入过程是泊松流时，两顾客相继到达的时间间隔达的时间间隔T T独立且服从负指数分布。（等价）独立且服从负指数分布。（等价），则，则23其中：其中：表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。服务率。1/1/表示一个顾客的平均服务时间。表示一个顾客的平均服务时间。3.3.爱尔朗爱尔朗(Erlang)(Erlang)分布分布 设设v v1 1,v v2 2，,v vk k是是k k个个独独立立的的随随机机变变量量，服服从从相相同同参数参数 k k 的负指数分布，那么：的负指数分布，那么：，则，则令令 ，则，则称为服务强度称为服务强度。24 串联的串联的k k个服务台个服务台，每台服务时间相互独立，服，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布（参数从相同的负指数分布（参数k k），那么一顾客走完），那么一顾客走完k k个服务台总共所需要服务时间就服从上述的个服务台总共所需要服务时间就服从上述的k k阶阶ErlangErlang分布。分布。则称则称T服从服从k阶阶爱尔朗分布。其特征值为：爱尔朗分布。其特征值为：,其概率密度是其概率密度是1/k1/k表示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。表示一个顾客的一个服务台的平均服务时间。25 例例:有有易易碎碎物物品品500500件件,由由甲甲地地运运往往乙乙地地,根根据据以以往往统统计计资资料料,在在运运输输过过程程中中易易碎碎物物品品按按普普阿阿松松流流发发生生破破碎碎,其其破破损损率率为为0.002,0.002,现现求求:1.:1.破破碎碎3 3件件物物品品的的概概率率;2.;2.破破碎碎少少于于3 3件件的的概概率率和和多多于于3 3件件的的概概率率;3.;3.至少有一件破损的概率至少有一件破损的概率.解解:=0.002500=1 1 1破碎破碎3 3件物品的概率为件物品的概率为:P(k=3)=(P(k=3)=(3 3/3/3！)e)e-=(1=(13 3/3/3！)e)e-1-1=0.0613=0.0613 即物品破碎即物品破碎3 3件的概率为件的概率为6.136.13 2.2.破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率件的概率:26 破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率为件的概率为91.9791.97 破碎物品多于破碎物品多于3 3件的概率为件的概率为:3.3.至少有一件破碎的概率为至少有一件破碎的概率为 PkPk 1=1-(11=1-(1k k/k!)e/k!)e-=1-(1=1-(10 0/0!)e/0!)e-1-1=0.632=0.63227 对对排排队队模模型型，在在给给定定输输入入和和服服务务条条件件下下，主主要要研究系统的下述运行指标：研究系统的下述运行指标：(1)(1)系系统统的的平平均均队队长长LsLs(期期望望值值)和和平平均均队队列列长长LqLq(期望值期望值)；(2)(2)系系统统中中顾顾客客平平均均逗逗留留时时间间WsWs与与队队列列中中平平均均等等待时间待时间WqWq；本节只研究本节只研究M/M/1M/M/1模型，下面分三种情况讨论：模型，下面分三种情况讨论：4.M/M/14.M/M/1模型模型284.1 4.1 标准的标准的M/M/1M/M/1模型模型 系统中有系统中有n n个顾客个顾客M/M/1:/FCFS/FCFS模型模型 1.1.稳态概率稳态概率P Pn n的计算的计算 在任意时刻在任意时刻t t，状态为，状态为n n的概率的概率P Pn n(t)(t)（瞬态概率），（瞬态概率），它决定了系统的运行特征。它决定了系统的运行特征。已知顾客到达服从参数为已知顾客到达服从参数为的泊松过程，服务时的泊松过程，服务时间服从参数为间服从参数为的负指数分布。现仍然通过研究区间的负指数分布。现仍然通过研究区间 t，t+tt）的变化来求解。在时刻）的变化来求解。在时刻t+tt，系统中有，系统中有n n个个顾客不外乎有下列四种情况（顾客不外乎有下列四种情况（t，t+tt）内到达或）内到达或离开离开2 2个以上个以上没列入）。没列入）。？29 由于这四种情况是互不相容的，所以由于这四种情况是互不相容的，所以Pn(t+t)t)应是应是这四项之和，则有：这四项之和，则有：所有的高阶无所有的高阶无穷小合并穷小合并30 令令t0t0，得关于，得关于P Pn n(t)(t)的微分差分方程：的微分差分方程：(1)当当n=0时，只有表中的（时，只有表中的（A）、（）、（B）两种情况，）两种情况，因为在较小的因为在较小的tt内不可能发生（内不可能发生（D D）（到达后即离）（到达后即离去），若发生可将去），若发生可将tt取小即可。取小即可。(2)(2)生生灭灭过过程程瞬瞬态态解解31 由此可得该排队系统的由此可得该排队系统的状态转移图状态转移图：由（由（4）得：）得：其中其中服务强度服务强度 将其代入（将其代入（3）式并令）式并令n=1,2,(也可从状态转移也可从状态转移图中看出状态平衡方程图中看出状态平衡方程)得：得：关于关于Pn的差的差分方程分方程 n-1n-1 n n n+1n+1 2 2 0 0 1 1 稳态时，稳态时，它它对对时时间的导数为间的导数为0，所以由，所以由(1)、(2)两式得：两式得：Pn(t)与时间无关与时间无关,可以写成可以写成Pn,(3)(3)(4)(4)32 n=1n=1 n=2n=2 33 以此类推以此类推，当，当n=n时，时，(5)(5)以及概率性质知：以及概率性质知：(数列的极限为数列的极限为 )(6)(6)否则排队无限远否则排队无限远 系统系统稳态稳态概率概率系统的运行指标系统的运行指标342.系统的运行指标计算系统的运行指标计算 (1)系统中的队长系统中的队长Ls（平均队长）（平均队长）(01)即即:(7)(7)期望期望35(2)队列中等待的平均顾客数队列中等待的平均顾客数Lq(8)(8)(3)顾客在系统中的平均逗留时间顾客在系统中的平均逗留时间Ws 顾顾客客在在系系统统中中的的逗逗留留时时间间是是随随机机变变量量，可可以以证证明，它服从参数为明，它服从参数为-的负指数分布，分布函数的负指数分布，分布函数36 和密度函数为：和密度函数为：（w00）(4)(4)顾客在队列中的平均逗留时间顾客在队列中的平均逗留时间W Wq q 等待时等待时间间 顾客在队列中的平均逗留时间应为顾客在队列中的平均逗留时间应为W Ws s减去平均服减去平均服务时间。务时间。考虑考虑L LS S与与W WS S的关的关系系37 四个指标的关系为四个指标的关系为(Little Little 公式公式)：3.系统的忙期与闲期系统的忙期与闲期 系统处于空闲状态的概率：系统处于空闲状态的概率：系统处于繁忙状态的概率：系统处于繁忙状态的概率：服服务务强强度度38 在繁忙状态下，队列中的平均顾客数在繁忙状态下，队列中的平均顾客数L Lb b：顾客平均等待时间顾客平均等待时间:忙期的平均长度忙期的平均长度:(由由 来来)一个忙期平均服务的顾客数为：一个忙期平均服务的顾客数为：L Lb bPP(N0)(N0)=L=Lq q39 例例 考虑一个铁路编组站，设待编列车到达时间考虑一个铁路编组站，设待编列车到达时间间隔服从负指数分布，平均到达间隔服从负指数分布，平均到达2 2列列/小时，服务台小时，服务台是编组站，服务时间服从负指数分布，平均每是编组站，服务时间服从负指数分布，平均每2020分分钟可服务一组。已知编组站到达场共有钟可服务一组。已知编组站到达场共有2 2股道，当股道，当均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外均被占用时，不能接车，再来的列车只能停在站外或前方站。求在平稳状态下系统中列车的平均数；或前方站。求在平稳状态下系统中列车的平均数；每一列车的平均停留时间；等待编组的列车的平均每一列车的平均停留时间；等待编组的列车的平均数；如果列车因站中地股道均被占用而停在站外或数；如果列车因站中地股道均被占用而停在站外或前方站时，每列列车的费用为前方站时，每列列车的费用为 元元/小时，求每天由小时，求每天由于列车在站外等待而造成的损失。于列车在站外等待而造成的损失。