第六章曲--线曲面建筑资料.pptx

1 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 章节目录第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节曲线的形成及投影曲面的形成和表示法曲面立体的投影曲面立体的切平面平面和曲面立体相交直线和曲面立体相交平面立体和曲面立体相交两曲面立体相交第九节有导线导面的直纹曲面第十节螺旋线和螺旋面 2 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 学习内容及学习重点q学习内容：曲线的形成曲线的投影四心扁圆法q学习重点：曲线的投影四心扁圆法61曲线的形成及投影第一节曲线的形成及投影 3 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 一、曲线的形成曲线可以看做是点运动的轨迹。平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等；空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。61曲线的形成及投影 4 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 二、曲线的投影1.平面曲线的投影与平面曲线对投影面的相对位置有关。图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平面与投影面的位置不同，其投影也不同。61曲线的形成及投影 5 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版（1）圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影反映实形（成为同样大小的圆）。（2）圆所在的平面倾斜于投影面，则圆的投影不反映实形（变为椭圆）。（3）圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影积聚成一直线（其长度等于直径）。61曲线的形成及投影二、曲线的投影 6 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 2.空间曲线的投影在任何情况下都不会有直线，而是曲线，不能反映实际形状。HABa12345b61曲线的形成及投影二、曲线的投影 7 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 无论平面曲线或空间曲线，若直线和曲线相切，则此直线的投影仍旧与该曲线的同面投影相切。61曲线的形成及投影二、曲线的投影 8 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影光滑连接起来。61曲线的形成及投影二、曲线的投影 9 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影，已知圆心O的投影及直径D的长度。分析：所给平面P垂直于V面，对H面倾斜成角，所以P面内的圆，在V面上的投影积聚成一直线并重合在Pv上，长度等于D；在H面上投影变形成为椭圆。此椭圆的长轴是圆内一条垂直于V面的直径的投影，长度等于直径D；短轴是圆内一条平行于V面的直径的投影，长度等于直径Dcos。61曲线的形成及投影 10 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 PVoabdcca(o、b)d作图步骤1.过o在Pv上截取oc=od=D/2，得cd，即为所作圆周的正面投影2.再过o作铅垂联系线，并截取oa=ob=D/2，得长轴ab；3.过o作水平线与过c和d向下引的铅垂联系线相交，得短轴cd；4.最后用“四心扁圆法”作椭圆，即为所求圆周的水平投影D/2D/261曲线的形成及投影 11 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 三、四心扁圆法若已知椭圆的长、短轴的端点，可运用“四心扁圆法”近似地作出椭圆。作图步骤如下：（1）（2）（3）61曲线的形成及投影 12 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 三、四心扁圆法（4）（5）（6）61曲线的形成及投影 13 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 小结圆的投影曲线的投影四心扁圆法61曲线的形成及投影 14 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 学习内容及学习重点q学习内容：回转曲面有导向导面的直纹曲面q学习重点：曲面的形成曲面的投影62曲面的形成和表示法第二节曲面的形成和表示法 15 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 曲线可以看做是线运动的轨迹。运动的线叫做母线。母线的形状以及母线的运动形式是形成曲面的条件。母线的运动形式包括两种：（1）母线（直线或曲线）绕一条固定的直线回转，所形成的曲面叫做回转曲面。固定的直线叫做回转轴。母线和轴是确定回转面的要素。（2）母线是直线，它在固定的直线或曲线上滑动，所形成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时，又始终平行于某一固定的平面或曲面，这样形成的曲面叫做有导线导面的直纹曲面。母线、导线和导面是确定这种曲面的要素。一、曲面的形成和表示法62曲面的形成和表示法 16 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 回转曲面有导线导面的直纹曲面62曲面的形成和表示法一、曲面的形成和表示法 17 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 为在投影图上确定一曲面，需给出确定此曲面的各要素的投影。但是，为了能够明显地表达出曲面的形状和范围，还必须画出曲面各外形轮廓线的投影。曲线的外形轮廓线：是该曲面在某一个投影方向上的最大范围线。不同投影方向，就有不同的外形轮廓线。它们在相应投影面上的投影，就是该曲面的各投影轮廓线；并且曲面的外形轮廓线还是曲面可见部分和不可见部分的分界线。62曲面的形成和表示法一、曲面的形成和表示法 18 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 图示的回转曲面，其母线是一段圆弧曲线，并且和轴线O位于同一个平面上。当母线绕轴旋转时，母线的每一个位置都叫素线；母线上每一个点都画出一个垂直于轴并且中心在此轴上圆，这种圆叫做纬圆。可见，回转曲面实际上是由一系列素线或一系列纬圆组成。因此，回转曲面有如下两条特性：（1）经过轴的平面必和曲面相交于以轴为对称的两条素线；（2）垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。1.回转曲面62曲面的形成和表示法 19 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 水平投影：在H面上的投影是三个圆，其中：最大的一个圆l1是曲面上最大纬圆L1(叫赤道圆)的投影；最小的一个圆l2是曲面上最小纬圆L2(叫喉圆)的投影；中间一个圆是曲面的上底圆的投影。(1)投影特点：正面投影：曲面的正面外形轮廓线N是位于过轴线的正平面上的两条素线，它们投影在V面上不变形，成为曲面正面投影的轮廓线n。正面投影上垂直于轴线的直线是曲面上底圆的投影。62曲面的形成和表示法1.回转曲面 20 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版(2)注意：必须指出：曲面某一投影方向的轮廓线，对另外的投影方向就不处于轮廓线的位置，所以它在另外投影面上的投影不应画出来。如图，正面轮廓线在水平投影中就不画出（图中n标记的水平点划线可看作是曲面正面轮廓线的水平投影）。规定：回转曲面的轴线的正面(或侧面)投影用点划线画出；轴线的水平投影是一个点，即回转曲面水平投影圆的中心，为确定这个中心，需作“十”字相交的两条点划线(叫做中心线)。轴线62曲面的形成和表示法1.回转曲面 21 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版(3)回转面上定点（纬圆法）：步骤：1.过m作水平纬圆的正面投影（一条水平直线），由此确定纬圆半径R；2.根据半径R，在曲面的水平投影上作出纬圆的水平投影；3.由m向下引铅垂联系线，与所作纬圆的水平投影的前半圆相交，得m。mmRR62曲面的形成和表示法1.回转曲面 22 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 2.有导线导面的直纹曲面图示的直纹曲面的导线有两条：一条是垂直于H面的直线AB，另一条是平行于V面的半圆CDE。母线为BC，它运动时除了两端必须沿两条导线滑动以外，还必须始终平行于水平面H。曲面上每一条素线都是水平线。ABCDE62曲面的形成和表示法 23 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 2.有导线导面的直纹曲面(1)投影特点：绘制有导线导面的直纹曲面的投影图，首先要作出确定曲面的各要素即母线BC、导线AB及半圆CDE的投影，然后作出能表示曲面范围的轮廓线BC和BE的投影。62曲面的形成和表示法 24 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 二、有导线导面的直纹曲面(2)直纹曲面上定点（素线法）：步骤：1.在水平投影上过m点作一条素线的投影12（通过ab）并与导线的投影cde相交于2；2.由2向上作铅垂联系线，在cde上得出2，由2引一条水平线，即得素线线的正面投影12（平行于OX轴）；3.再由m向上作铅垂联系线，在12上得出m。m21、21m62曲面的形成和表示法 25 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 小结有导线导面的直纹曲面回转曲面62曲面的形成和表示法 26 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 63曲面立体的投影第三节曲面立体的投影学习内容及学习重点q学习内容：曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面）曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面）q学习重点：曲面立体的投影曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）27 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体，叫做曲面立体。圆柱、圆锥、球和环是工程上最常用的最简单的曲面立体，由于包围这种立体的曲面都属于回转曲面，所以又统称回转体。第三节曲面立体的投影回转体的形体特点：63曲面立体的投影 28 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 第三节曲面立体的投影回转体63曲面立体的投影 29 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 曲面立体同平面立体的区别在于它有曲面。因此，画曲面立体的投影在于画出曲面的外形轮廓线的投影。第三节曲面立体的投影回转体的投影画法：63曲面立体的投影 30 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 水平投影为一个圆。圆的半径等于圆柱的半径，圆心即为轴线的水平投影；正面和侧面投影均为相等的长方形，长方形的高等于圆柱的高，宽等于圆柱的直径。（1）圆柱体的组成两条平行线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆柱面。一、圆柱由圆柱面和上、下底面围成的立体，就是圆柱体。（2）圆柱的三面投影图OO1A1A圆柱的水平投影圆周，除了反映上、下两底的实形以外，还是整个圆柱面的水平投影（有积聚性）；正面和侧面投影的轮廓素线并非同一对素线的投影。63曲面立体的投影 31 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 在V面上投影由转向轮廓线（最左、最右素线的正面投影）表达；是前、后半圆柱面的分界线的正面投影在W面的投影与轴线重合。在W面上投影由转向轮廓线（最前、最后素线的侧面投影）表达；是左、右半圆柱面的分界线的正面投影；在V面的投影与轴线重合。（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判断（4）圆柱面上取点mmm利用投影的积聚性一、圆柱因为M点位在右半圆柱面上，所以它的侧面投影m不可见，用小黑点表示。63曲面立体的投影 32 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 二、圆锥水平投影是一个圆（即圆锥底圆的水平投影），圆心即轴和锥顶的水平投影，半径等于底圆的半径；正面和侧面投影是相同的等腰三角形，此等腰三角形的高等于圆锥的高，底等于圆锥底圆的直径。（1）圆锥体的组成两条相交直线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆锥面。由圆锥面和底面组成的回转体就是圆锥体。（2）圆锥的三面投影图OO1A1A同圆柱面一样，圆锥面的正面和侧面投影的轮廓素线，并非同一对素线的投影。63曲面立体的投影 33 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 正面投影的轮廓素线是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影；侧面投影的轮廓素线是最前、最后的两条轮廓素线的投影。（3）轮廓线素线的投影（4）圆锥面上取点二、圆锥纬圆法m纬圆半径如何取？mm63曲面立体的投影 34 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版（4）圆锥面上取点二、圆锥素线法n过锥顶作一条素线。nn63曲面立体的投影 35 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 三、球球的三面投影的轮廓线均为同样大小的圆。（1）球的形成球的表面可以看作是一个围绕着圆本身的一条直径旋转而成的回转表面。（2）球的三面投影图注意：球的三面投影的圆不是球面上同一个圆的投影。63曲面立体的投影 36 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 水平投影是最大纬圆（即赤道圆的投影），赤道圆把球体分成上下两半（上一半可见，下一半不可见）；（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判断三、球正面投影是平行于V面的素线的投影，此素线把球体分成前、后两半(前一半可见，后一半不可见；侧面投影是平行于W面的素线的投影，此素线把球体分成左、右两半(左一半可见，右一半不可见)。这三个圆的其他投影均都积聚成直线，重合在相应的中心线上。63曲面立体的投影 37 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版（4）球面取点（纬圆法）三、球因为M点位在后半球面上，所以它的正面投影m不可见，用小黑点表示。mmm63曲面立体的投影 38 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 四、环水平投影轮廓线由赤道圆和喉圆的水平投影组成；正面投影的左、右是两个小圆（反映母圆的实形，有半个是看不见的，画成虚线），两个小圆的两条公切线分别是环面最上和最下两个纬圆的正面投影。（1）环的形成环的表面可以是一个圆绕着与圆共面的，但位在此圆外的一条直线旋转而成。（2）球的三面投影图轴线母线63曲面立体的投影 39 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 四、环（3）环面取点（纬圆法）mm63曲面立体的投影 40 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 五、单叶回转双曲面（1）单叶回转双曲面的形成（a）以双曲线为母线，绕其虚轴旋转而成。（b）以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成。（a）（b）63曲面立体的投影 41 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 五、单叶回转双曲面（2）单叶回转双曲面的投影特点水平投影是两个同心圆，最小的圆即为喉圆的水平投影；正面投影是一条双曲线，它反映母线的实形。以双曲线为母线绕其虚轴旋转而成的回转面。63曲面立体的投影 42 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 五、单叶回转双曲面（2）单叶回转双曲面的投影特点以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成回转曲面。63曲面立体的投影 43 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 五、单叶回转双曲面（2）单叶回转双曲面的投影特点设两交错直线AB和CD，其中CD为铅垂线，AB绕CD旋转，此时AB上的每一个点都绕CD作圆周运动，这些圆投影在V面上为直线。AB上距离CD最近的那一点M绕出一个最小的圆周（即喉圆），因此投影在V面上为一条最短直线。把V面上所得的一系列直线的端点（如a0、m0、b0等）用曲线连接起来，就得到曲面的正面投影，它是一条双曲线。63曲面立体的投影 44 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 五、单叶回转双曲面（2）单叶回转双曲面的投影特点假如取一条直线AB与原母经AB对称于通过轴CD的一个铅垂面Q，那么直线A1B2经过旋转（以CD为轴）也得原先的回转曲面。这就是说，在单叶回转双曲面上会有两族直线，每族都覆盖着整个曲面；并且第一族的直线与第二族的直线相交，而同一族的任何两条直线必交错。a1b1a1b163曲面立体的投影 45 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 五、单叶回转双曲面（3）单叶回转双曲面的特性必须指出，上述两种不同方式所形成的单叶回转双曲面，并不是各不相关而是互相联系的。在同一个单叶回转双曲面上，既可以有直线素线，又可以有双曲线素线。为作出直线素线，只要作铅垂面与喉圆相切，此铅垂面必截曲面于直线素线（两条）；为作出双曲线素线，只要过轴线作铅垂面，此铅垂面必截曲面于双曲线素线。63曲面立体的投影 46 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 小结曲面立体的投影及表面取点曲面立体的形成63曲面立体的投影 47 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 64曲面立体的切平面第四节曲面立体的切平面学习内容及学习重点q学习内容：曲面立体切平面的定义即特点曲面立体切平面的作图方法q学习重点：曲面立体切平面的作图方法 48 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 设在回转曲面上取一个点A，过此点在曲面上作几条曲线L1、L2再过此点向所作的曲线引切线AB、AC则所有切线必位在一个平面P内。这个平面就是所给曲面在A点处的切平面。因此，曲面的切平面就是过曲面上一点，而且与此曲面相切的直线的轨迹。第四节曲面立体的切平面L1L2CBP64曲面立体的切平面 49 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 由于平面在空间的位置可以用两相交直线来确定，所以过曲面上的A点作切平面时只要：（1）在曲面上过A点作两条曲线L1和L2；（2）再过A点分别作这两条曲线的切线AB和AC，那么切线AB和AC所确定的平面P就是所求的切平面。第四节曲面立体的切平面64曲面立体的切平面 50 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 过A点作一个水平截平面R（上轴），截割已知曲面可得到纬圆，A点作纬圆切线AB。第四节曲面立体的切平面a1cbRVQHcbaa因为过A点的素线的正面投影不便画出，所以应该用旋转法，把此素线绕回转曲面的轴旋转重合于轮廓素线。QN1过A点作一个铅垂面Q（过轴），截割已知曲面可得到素线。而后再过A点向素线引切线AC。64曲面立体的切平面 51 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 分析：过A点作素线，并标出此素线与圆柱底面的交点M（即水平迹点）。再过M点作圆柱底圆的切线PH（即切平面的水平迹线）。直线AM和PH所确定的平面即为所求。例题1：过圆柱面上的A点作切平面ama(m)PH64曲面立体的切平面 52 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 分析：与圆锥相切的平面必切于一条素线。换言之，必经过锥顶S。另外，圆锥面的切平面与锥底平面（题设条件即为H面）的交线必切于此圆锥面的底圆。例题2：过圆锥面外的A点作切平面amc步骤：1.连A点和锥顶S，作一直线AS；2.求出直线AS与锥底平面H的交点M（即AS的水平迹点）；3.由M点向底圆引两条切线，得到两个切点B和C；4.从切点B和C分别作素线SB和SC，则平面MBS和MCS即为所求（此题有两解）。amsscbb64曲面立体的切平面 53 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 小结曲面的切平面就是过曲面上一点，而且与此曲面相切的直线的轨迹。64曲面立体的切平面 54 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 第五节平面和曲面立体相交65平面和曲面立体相交学习内容及学习重点q学习内容：平面和圆锥的相交形式及截交线画法平面和圆柱的相交形式及截交线画法平面和球的相交形式及截交线画法q学习重点：平面和曲面立体相交截交线的画法辅助平面法 55 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 平面和曲面立体相交，所得截交线在一般情况下是平面曲线。圆锥面截交线上的任意一个点(如图中的A点)，既可以看做是曲面的某一条素线（如直线SM）与截平面P的交点，又可以看做是曲面的其一个纬圆（如圆周L）与截平面P的交点。第五节平面和曲面立体相交65平面和曲面立体相交 56 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 平面和平面立体相交，实质是求截交线。求作曲面立体截交线的问题本质如同曲面上定点，可采用纬圆法和素线法。第五节平面和曲面立体相交当截平面为投影面的垂直面时，可以利用截平面的积聚性来求交点；当截平面为一段位置平面时，则需要过所选择的素线或纬圆作辅助平面来求交点。用素线法或纬圆法求出这些交点以后，再把它们依次光滑地连接起来，就得到所求的截交线。实际作图时，为了能够根据少量的点，达到比较精确的作图，首先需要求出控制截交线形状的那些特殊点。65平面和曲面立体相交 57 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 平面和圆锥面相交，由于截平面的位置不同，所得截交线有五种形状。一、平面和圆锥面相交（1）当截平面通过圆锥的轴线或锥顶时，截交线必为两条素线；（2）当截平面垂直于圆锥的轴线时，截交线必为一个纬圆；（3）当截平面倾斜于圆锥的轴线，并与所有素线相交时，截交线为椭圆；（4）当截平面倾斜于圆锥的轴线，但与一条素线平行时，截交线为抛物线；（5）当截平面平行于圆锥的轴线，或者倾斜于圆锥的轴线但与两条素线平行时，截交线必为双曲线。65平面和曲面立体相交 58 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 一、平面和圆锥面相交过锥顶两相交直线PV圆PV=90PV椭圆抛物线PV=65平面和曲面立体相交 59 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 一、平面和圆锥面相交双曲线PV=065平面和曲面立体相交 60 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 分析：因截平面P与圆锥轴线倾斜并与所有素线相交，故截交线是一个椭圆。它的长轴与V面平行，短轴与V面垂直。椭圆的正面投影，因P面与V面垂直而积聚在PV上；椭圆的水平投影和侧面投影因P面与H面和W面都倾斜，故投影不反映实形（仍然是椭圆）。例题1：求作正垂面P与圆锥的截交线，并求其实形PV椭圆65平面和曲面立体相交 61 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题1：求作正垂面P与圆锥的截交线，并求其实形分析：因截平面P与圆锥轴线倾斜并与所有素线相交，故截交线是一个椭圆。它的长轴与V面平行，短轴与V面垂直，椭圆的正面投影，因P面与V面垂直而积聚在PV上；椭圆的水平投影和侧面投影因P面与V面和W面都倾斜，故投影不反映实形（仍然是椭圆）。abnldcfeal(n)c(d)be(f)ablncdefD0C0B0A0作法：（1）在PV与圆锥正面投影轮廓素线的交点处，得椭圆长轴AB两端点的投影a和b，由此向下引铅垂联系线,在水平中心线上得a和b；向右引水平联系线，在轴线的侧面投影上得a和b；（2）线段ab的中点c（d），应是椭圆短轴CD两端点的正面投影，由此用纬圆法求得水平投影c和d及侧面投影c和d；（3）在PV与圆锥正面投影的轴线交点处得e(f)，由此向右引水平联系线，侧面轮廓素线投影上，得椭圆侧面投影的虚实分界点e和f，再求得e和f；（4）再用纬圆法求出位于左半椭圆上的一个一般点L和N的投影；（5）分别用曲线光滑地连接所求点的水平投影和侧面投影(f、b、e三点用虚线连，其他全用实线连)；（6）最后用换面法求出椭圆断面的实形(先确定长、短轴，再用“四心扁圆法”作椭圆)。PV65平面和曲面立体相交 62 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题2：求作侧平面Q与圆锥的截交线。分析：因截平面Q与圆锥轴线平行，可知截交线是双曲线(一叶)。它的正面投影和水平投影均由于Q面的积聚性而落在QV上和QH上；它的侧面投影，因Q面与W面平行而具有显实性。QV作法：（1）在QV与圆锥正面投影左边轮廓素线的交点处，得截交线最高点A的投影a，由此得a和a；QH（2）在QV与圆锥底面正面投影的交点处，得截交线的最低点B和C的投影b(c)，由此求得b、c和b、c；（3）用素线法求得一船点D和E的各投影；（4）在侧面投影上，把b、e、a、d和c用曲线光滑地连接起来，它反映了双曲线的实形。abcdeae(d)b(c)adecb65平面和曲面立体相交 63 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 平面与圆柱面相交，由于截平面的位置不同，所得截交线有三种形状。二、平面和圆柱面相交（1）当截平面经过圆柱的轴线或平行于轴线时，截交线为两条素线；（2）当截平面垂直于圆柱的轴线时，截交线为一个纬圆；（3）当截平面倾斜于圆柱的轴线时，截交线为椭圆，此椭圆短轴的长度等于圆柱的直径，长轴的长度随着截平面对轴线的倾角不同而变化。65平面和曲面立体相交 64 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 二、平面和圆柱面相交椭圆倾斜PV垂直圆PV平行两平行直线PV65平面和曲面立体相交 65 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题3：给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补出它的侧面投影。给出的圆柱切割体可看作圆柱被两个平面所截的结果：一是正垂面截圆柱的交线为部分椭圆(位于圆柱的左面)；一是侧平面截圆柱的交线为两段素线(位于圆柱的上部)。根据截平面和圆柱面投影的积聚性，截交线的正面投影和水平投影均为已知，只需求出截交线的侧面投影。图中标定了七个点，其中A是椭圆长轴的一个端点，C、D是椭圆短轴的两个端点，E、F是素线和椭圆的连接点，G、H是一般点。补出这七个点的侧面投，完成圆柱切割体的侧面投影。aghdcef65平面和曲面立体相交 66 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 平面截球面所得的截交线，不论截平面处在何种位置，都是一个圆。并且截平面愈近球心，截得的圆就愈大，当截平面经过球心时，截出的圆为最大的圆。然而这种圆的投影，却只有当截平面平行于某一投影面时，在该投影面上才能够反映实形，否则就变形为椭圆。三、平面和球面相交65平面和曲面立体相交 67 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 三、平面和球面相交水平面P和正平面Q与球面相交所得截交线投影的作法。可以看出：在截平面所平行的投影面上的投影反映实形，半径等于空间圆的半径r，另外两个投影积聚成线段，长度等于2r。65平面和曲面立体相交 68 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题4：作出铅垂面R与球面的截交线。所截圆的水平投影是积聚在RH上的一段直线，长度就等于该圆的直径(2r)；正面投影和侧面投影变形为椭圆。画这两个椭圆时，要找出八个特殊点；其中A、B两点是赤道圆上的点，C、D两点是截交线上的最高点和最低点(它们上、下重影)，其水平投影c和d在ab线段的中点处。E、F两点是球面的正面外形轮廓线上的点(它们的正面投影e、f是截交线正面投影的虚实分界点)，G、H两点是侧面外形轮廓线上的点(它们的侧面投影g”h”是截交线侧面投影的虚实分界点)。2r2raRHg(h)c(d)e(f)b65平面和曲面立体相交 69 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 不论截平面处在何种位置，都是一个圆。小结平面和平面立体相交，实质是求截交线，可采用纬圆法和素线法。平面和锥面相交平面和圆柱面相交平面和球面相交65平面和曲面立体相交 70 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 第六节直线和曲面立体相交66直线和曲面立体相交学习内容及学习重点q学习内容：求直线和曲面立体相交的贯穿点q学习重点：求直线和曲面立体相交的贯穿点辅助截平面法 71 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 求作直线与曲面立体的贯穿点，如同求直线与平面立体的贯穿点一样，一般也用辅助截平面法，具体作图分三步进行：第六节直线和曲面立体相交第一步，经过已知直线作一个辅助截平面；第三步，确定所求截交线与已知直线的交点。第二步，求出此辅助截平面与已知曲面立体的截交线；但在特殊情况下，如曲面的投影有积聚性，或直线的投影有积聚性，便可直接求出贯穿点。66直线和曲面立体相交 72 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题1：求作直线AB与圆柱面的贯穿点。由于圆柱面的水平投影圆周有积聚性，直线的水平投影ab与圆周的交点k和l，即为所求贯穿点的投影，进而用线上定点的方法，在ab上定出贯穿点的正面投影k和l。直线的正面投影。ak一段，位在圆柱的前面，是看得见的，画成实线lb一段位在圆柱的后面，被圆柱遮住的那一小部分是看不见的，应画成虚线。66直线和曲面立体相交 73 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题2：求作正垂线CD与圆锥面的贯穿点。由于直线CD的正面投影有积聚性，所以c(d)也是直线与圆锥面的贯穿点K和L的正面投影k(l)。为此，可应用圆锥面上作纬圆的方法，求出贯穿点K和L的水平投影k和l。66直线和曲面立体相交 74 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题3：求作直线EF与半球面的贯穿点。过直线EF作铅垂面Q，显然QH与ef重影。因为Q平面与半球面相交所得半圆的正面投影是半个椭圆，作图比较麻烦。用换面法在V1面上画出了所截半圆的实形和直线的新投影e1f1，定出交点k1f1；用“反回作图”求出贯穿点K和L的投影k、l和k、l。直线EK段和LF段，不论正视还是俯视均为看得见，应该画成实线。QHeooff1e1efkllkk1l166直线和曲面立体相交 75 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 小结求作直线与曲面立体的贯穿点，如同求直线与平面立体的贯穿点一样，一般也用辅助截平面法。66直线和曲面立体相交 76 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 第七节平面立体和曲面立体相交67平面立体和曲面立体相交学习内容及学习重点q学习内容：平面和曲面立体相交的相贯线的组成平面和曲面立体相交的相贯线的画法q学习重点：平面和曲面立体相交的相贯线的画法 77 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 平面立体与曲面立体相交所得的相贯线，在一般情况下，是由几段平面曲线组成的空间曲线。第七节平面立体和曲面立体相交每一段平面曲线，都是平面立体的棱面(包括底面)与曲面立体的截交线。相邻两段平面曲线的连接点(也叫结合点)就是平面立体的棱线与曲面立体的贯穿点。求作平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面与曲面立体的截交线和直线与曲面立体的贯穿点。67平面立体和曲面立体相交 78 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 例题1：求作四棱锥与圆柱的相贯线所求相贯线由四段椭圆弧组成四条棱线与圆柱面的四个交点就是这些椭圆弧的结合点。圆柱面的水平投影有积聚性，相贯线的水平投影已知(为圆)。相贯线的正面投影前后重影，由左、右两段直线(为左、右两段椭圆弧积聚而成)和中间一段椭圆弧组成。67平面立体和曲面立体相交 79 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 PV例题2：求作三棱柱与圆锥的相贯线所求相贯线由棱柱的三个棱面截割圆锥面所得的圆弧和部分抛物线组成。棱柱的三条棱线与圆锥面有六个贯穿点。相贯线分前、后两部分，各由三段曲线组成。相贯线的正面投影有积聚性，并且前后重影。相贯线的水平投影，圆弧部分可见，应画成实线，抛物线部分不可见，应画成虚线。为求相贯线的水平投影，用了三个水平面为辅助截平面。abdceRVQV67平面立体和曲面立体相交 80 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 小结平面立体与曲面立体相交所得的相贯线，在一般情况下，是由几段平面曲线组成的空间曲线。67平面立体和曲面立体相交 81 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 第八节两曲面立体相交68两曲面立体相交学习内容及学习重点q学习内容：两曲面立体相交的相贯线的组成两曲面立体相交的相贯线的画法q学习重点：两曲面立体相交的相贯线的画法辅助平面法 82 高校建筑学与城市规划专业教材画法几何与阴影透视课件编制：北京建筑工程学院 中国建筑工业出版社出版 两曲面立体的相贯线，在一般情况下，是封闭的空间曲线，在特殊情况下，是平面曲线。求作两曲面立体的相贯线，应先求出两曲面的一系列的公共点，然后把所求的公共点用曲线依次光滑地连接起来。求两曲面的公共点，有辅助平面法和辅助球面法两种。