关于上海高中数学新版教材导数内容的讨论.pdf

22222222222222292023年第9 期39数学教学关于上海高中数学新版教材导数内容的讨论林磊（华东师范大学数学科学学院，上海200241)根据中华人民共和国教育部新修订的普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订)对课程内容的设置，上海市终于将导数内容列人了高中数学课程.这一新内容被安排在上海教育出版社出版的新版普通高中教科书数学选择性必修第二册2 的第五章,其章标题是“导数及其应用”.本文中，我们将对该版8ab所以要证MN2只需证明4DN2=-k8DR,即证DN?=2aDR=DFDR.由引理，M、R、N、F是调和点列,故(DN+DR)(DF-DN）=（D ND R)(D F+D N)，展开化简得DN?=DF.DR.4与2 0 2 1年北京高考解析题的区别与联系（2 0 2 1年北京高考2 0 题）已知椭圆E：2XB1（a b 0)过点A(0，-2),以四a个顶点围成的四边形面积为4/5.（I）求椭圆E的标准方程；（）过点P(0，-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B、C,直线AB、A C分别交y=-3于点M、N,若|PM|+|PN|15,求K的取值范围。相同点：如图5，两道题都是过椭圆E外一点P引一条斜率为k的直线1与椭圆E相交于B、C两点，然后过顶点A作两条直线AB、AC分别交水平直线于M、N两点，最后一个条件都是给出与M、N有关的线段数量关系，而且都是探究斜率取值问题.区别：详见表1.2021年的解析几何题也可以用前面的方法教材这一章的部分内容做一简单讨论1关于导数的定义我们先从导数概念的定义开始.在教材中,函数y=f(）在=x处的导数的定义为f(x+h)-f(xo)f(xo)=limh-0h其实，在普通的大学高等数学或数学分4yC0ABMNP图5表12022年解析2021年解析区别几何题几何题2椭圆方程E1454点PP(-2,1)P(0,-3)点AA(0,1)A(0,-2)水平直线y=0y=-3M、N相关长度IMN=2IPM|+|PN/15所求问题求的值求k的取值范围进行高观点的解释，感兴趣的读者可以继续探究这两道题目在高观点下的区别与联系.*基金项目：上海高中数学教材的实验与评价（1550 0-412 2 2 1-190 2 1/0 0 4）.小的悠于是函数=f(）在=o处的导数为值的增量，记作y或Af,即y=f(。+x）材中称为变化量），记作x，而由此得到的函数现的.称上述h为自变量x=x。处的增量（本教析教材中,导数是以增量比的极限的形式出9-402023年第9 期数学教学Ayf(xo+x)-f(x o)f(xo)=lim=lim4x-0AxAx-0之所以在目前的高中教材中没有提到增量，也没有出现x和y等记号，估计编者是想避免引入新术语和新符号，以降低课程的难度.虽然两者表达的意思是相同的，但是目前这样的处理，可能对于学生来说更容易接受，没有那种唬人的感觉，体现了新教材在细节上以学生为本的理念。2关于可导与连续的关系如果要比较严格地引人并讨论导数，是需要先引人连续这个概念的.但是本教材因为仅仅只有一章的容量来简单介绍导数内容，因此,并没有也无法给出函数连续性的定义与性质，而只是在讨论函数的最值时，对连续函数做了一个粗略的直观描述.实际上，利用定义导数的方式,我们也可以对函数=f(）在=%o处连续给出如下定义：如果函数=f(）在=处及其附近有定义，且limf(xo+h）=f(o），则称函数y=f(x）在=o处连续.如果函数=f(）在区间I的每点处都连续,则称函数=f（）是区间I上的连续函数.函数y=f(）在=x处存在导数f（），也称=f(）在x=x处可导,它实际上是以在=处连续为前提的.这是因为当h趋近于0f(o+h)-f(xo)时，分式的分母趋近于0,所h以,若欲使分式有一确定的极限，则其分子必须趋近于0,即f(x+h）趋近于f(x）.也可以这样f(xo+h)-f(xo)来证明：记-f(xo)=g(h).hf(xo+h)-f(xo)由于f(xo)=lim,因此，当hh-0h趋近于0 时,g（h）趋近于0.而f(o+h）-f(xo)=f(xo)h+g(h)h,于是lim(f(xo+h)-f(xo)=lim(f(xo)+g(h)h=0,即limf(xo+h-0h-0h)=f(xo）,因此,y=f(x）在=xo处连续.函数=f(）在=处存在导数,则它在x=x。处必然连续，但是反之不必然.例如，考虑绝对值函数y=f(）=l,它在轴的每点处都连续，但在=0处，当h0时，f(x+h)-f(xo)=f(h)-f(0)=h,因此,f(xo+h)-f(xo)h1;当h0时,hhf(x+h)-f(xo)=f(h)-f(0)=-h,因此,f(xo+h)-f(xo)-h-1，于是hhf(xo+h)-f(xo)lim不存在,即函数y=f(x)h0h在x=x。处的导数不存在.不过，在教材第五章中并没有给出导数不存在的例子，这是一个小电成3关于导数的运算法则有关导数的运算法则，教材中主要介绍了导数的四则运算与简单复合函数的导数，其中教材中的公式（7）是导数的乘法法则，又称莱布尼茨法则.由该公式，并利用数学归纳法，可得到多个函数乘积的导数公式：(fi(x)f(x).f,(x)=fi(x)f(x).f,(x)+fi(x)f2(x)f,(x)+.+fi()f(x).f(x).在上式中,令f()=f(x)=.=f()=f(x),则有(f(x)=nf(x)-1.f(x).关于导数的除法法则，即教材中的公式（9），书中呈现了证明思路，但是，这一证明实际上是在默认极限的四则运算法则与函数g（x）连续的前提下得到的.我们也可以利用导数的乘法法则来给出除法法则的证明，但是要f(x)先假设的导函数存在.设h(a)=,则g(x)g(x)f()=g(x)h(x).于是,f(x)=(g(x)h(x)=g(x)h(x)+g(x)h(x),从而h(a)=1(c)-h(x)g()g(x)F(x)(x)g()g(x)g(x)_f(x)g(x)-f(x)g(x)(g()20.1bhba-1t-2bo61bn-231f(x)=bn-1xn-2+61n-2nan一max则bn-1bn-2bn-1n-1设f(x）：+bn-2x+.+b,x+bo9-412023年第9 期数学教学因此，教材中的公式（9)成立。由导数的除法法则，我们可推导出正切函数的导数公式：sinx(sinx)cosx-(cos x)sinx(tanx)=二COSx2cosx22cosx+sinx2secx.2cosx由导数的性质与四则运算法则，还可得到n(1）次多项式函数f(x）=a n x +a（a n 0）的导数公式：a11f(x)=na,x-1+(n-1)an-1-*n-2+.ha-.a.2这说明，n次多项式函数的导数是一个n1次多项式函数.对于复合函数的求导法则，教材中只介绍了简单复合函数的导数，并鼓励学生自已来发现复合函数导数的一般规律.实际上，公式就可以看成是幂函数y=u与另一函数u=f()的复合函数的导数公式.其实，余弦函数的导数公式也可利用正弦函数的导数公式与简单复合函数的求导法则来得到：y=cos可看成是函数y=sinu与u=T一的复合，于是，(cosx)=(T=(-1)cos=-sinx.24关于导数的应用教材中介绍了如何利用导数来讨论函数的单调性.我们也可利用导数与函数单调性的这种关系,来考虑一般n（1）次多项式函数y=f(x）的图像特征.由公式可知,该函数的导函数是一个n1次多项式函数.由代数学基本定理,方程f（x）=0 在复数域上恰有n1个复根，当然也至多有n1个实根，因此，函数y=f(x）最多有n-1个驻点，即极大值点与极小值点的总个数最多为n-1,设这些点为x2.0.这时我们来证明：当x充分大时，f（x）0.16,/1b。l时，6,类似地,还可证明limf（x）=+8 0.接下来证明，当时,恒有f（）0.假设存在*，使得f（*）*,使f(b）0,则由零点定理,存在+1E（*，b),使得f(k+1)=0,与假设矛盾,即=f(）在区间（，+）上单调增.如果n是偶数,同样可证，当x时，恒有f（）0,即y=f()在区间（-，）上单调减；类似地,如果n是奇数,则可证当 0,即y=f(）在区间（-，xt)上单调增.所以,n次多项式函数y=f(x）的图像特点是：当n为偶数时，左侧单调减，右侧单调增（即，两头往上延伸），在中间的一个有限长度的区间中至多有n一1次上下波动；当n为奇数时,两侧均单调增（即，左侧往下延伸，右侧往上延伸），在中间的一个有限长度的区间中至多有n-1次上下波动.当n0时，多项式函数的图像特点可类似讨论.参考文献1中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订）S.北京：人民教育出版社，2 0 2 0.2李大潜,王建磐.普通高中教科书数学（选择性必修第二册）M.上海：上海教育出版社,2 0 2 0.