关于具有Pytkeev∗网空间的注记.pdf

度量空间理论一直都是一般拓扑学研究的中心课题.对度量化问题的研究使得诞生了这样的一些空间类，有益于刻画可度量性，继承了度量空间的许多优美性质且度量空间的某些理论或技巧能拓广到这些空间类.这些空间统称为广义度量空间.1959年，Arhangel ski1提出了网的概念，并证明了具有可数网的紧的Hausdorff 空间有可数基，从而可度量化.更进一步，Arhangel ski2、Meara3、Guthrie4、高智民5分别引入了弱基、k网、cs网、cs网，发展了广义度量空间理论6-7.1983年，Pytkeev8证明了序列空间具有如下性质，并说明此种性质蕴含可数tightness:对拓扑空间X的任意子集A及任意的x-A A，在A上存在一个由无限子集所构成的集列 Ann ，满足对x的任意邻域U，存在n ，使得An U.此种性质被Malykhin和Tironi 称为Pytkeev性质9.2009 年，Tsaban等10对此做了进一步的推广，引入了强Pytkeev性质：对拓扑空间X中的任意一点x，都存在X的可数子集族P，满足对x的任意邻域U及X中满足x-A A的子集A，存在P p使得P U且P A是无限集.显然，若拓扑空间X具有强Pytkeev性质，则X具有可数cs特征11.随后，Banakh12在2015 年引入了()strict Pytkeev网的概念.与此同时，Gabriyelyan10、Liu等13分别提出了cp网、ck网、cn网和sp网等概念.这些空间在广义度量空间、基数函数、函数空间、拓扑群及拓扑向量空间中都扮演着极其重要的角色14.2016年，为了进一步地研究广义度量空间，Banakh15引入了Pytkeev*网.定义1设P是空间X的覆盖.1）P称为X的网16,若X中的每一开子集是P的某子集族的并.2）P称为X的(拟)k网17，若对于X中的每一(可数紧)紧子集K及X中包含K的开子集V，存在P P，使得K P V.3）P称为X的cs网16，若X中的序列 xnn 收敛于x且V是x在X中的邻域，则存在P P，使得序列 xnn 的某子列终于P且P V.4）P称为X的wcs网18，若X中的序列 xnn 收敛于x且V是x在X中的邻域，则存在P P和 xnn 的某子列xnii 及m ，使得P V且xni:i m P.关于具有Pytkeev网空间的注记邵辉,刘鑫*(宁德师范学院数理学院,福建宁德352100)摘要：讨论具有特定Pytkeev网的空间的度量性质，证明点可数的Pytkeev网是拟k网，并给出例子说明反之并不成立,从而得到具有点可数Pytkeev网的M空间是可度量的.最后给出了具有点可数Pytkeev网的可数紧空间是紧可度量的直接证明.关键词：拓扑空间；Pytkeev网；度量空间；点可数中图分类号：O189.1文献标识码：A文章编号：2095-2481（2023）03-0225-04收稿日期：2023-04-17作者简介：邵辉(1988-),女,助教.*通信作者：刘鑫（1986-），男，讲师.E-mail:基金项目：福建省自然科学基金(2020J05230)；宁德师范学院重大项目培育计划(2018ZDK11).第 35 卷第 3 期2023 年 9 月宁德师范学院学报(自然科学版)Journal of Ningde Normal University（Natural Science)Vol.35 No.3Sept.2023宁德师范学院学报(自然科学版)2023年9月5）P称为X的()strict Pytkeev网12，若P是X的网且对x在X中的任一邻域U以及X中以x为聚点的子集A，存在P P，使得(x )P U且P A是无限集.6）P称为X的Pytkeev网15，若P是X的网且对x在X中的任一邻域U以及X中以x为聚点的点列A=xn，存在P P，使得P U且P A是无限集.注1文献12和15为同一作者.在文献15中，作者在定义Pytkeev网和Pytkeev时，均要求存在P P满足x P.但在文献12中，Pytkeev网的定义中并不满足条件x P，满足此条件的被定义为strict Pytkeev网.文献12是拓扑学方向极具权威的期刊之一，并且文献12的发表时间早于文献15，同时文献15中的研究结果显示Pytkeev网和Pytkeev网在满足不满足条件x P上需保持一致，因此，笔者选取了文献12中Pytkeev不满足条件x P的定义，并依此定义Pytkeev同样不满足条件x P，特此说明.这些网之间的基本关系如图1所示.基拟k网k网k空间12Pytkeev网stric Pytkeev网Pytkeev网wcs网cs网网图1定义1中网的关系图1主要结果及其证明拓扑空间X的子集族P称为X的点可数集族，若对于每一个x X，P P:x P是可数的.Banakh12证明了点可数Pytkeev网是k网.事实上，可以得到更强的结果.定理1点可数Pytkeev网是拟k网.证明设P是拓扑空间X的点可数Pytkeev网.对于X中的任意可数紧子集K及包含K的开子集U，记PU=P P:P U，对任意x U，记Px=P PU:x P.显然，Px是可数的.因此不妨假设Px=Pi()xi .下证P是拓扑空间X的拟k网.若P不是拟k网，则对P的任意有限子集族P有K P.选取x1 K，则存在x2 K满足x2 KP1()x1.以此类推，可以归纳选取K中的序列 xkk ，使得对任意的n ，都有xk Ki,n kPi()xn.显然，对任意 的i,n m,i时，xk Pm()xi.所以有|Pm()xi A maxm,i，这与P A是无限集矛盾.因此，P是X的拟k网.证毕.-226第3期邵辉，等：关于具有Pytkeev网空间的注记注2定理1的逆命题并不成立.事实上，令X=p ，其中是的Cech-Stone紧化，p .容易验证X中的任意可数紧子集是有限集.因此，x:x X是X的可数拟k网.但是，由文献12可知，X在点p处没有可数Pytkeev网.易知，X中的Pytkeev网是Pytkeev网，所以X不具有点可数的Pytkeev网.下面的例子说明定理1中的条件“点可数”不能去掉.例1存在一个紧空间X上stric Pytkeev网，使其不是k网.证明令X=0,1，并赋予X序拓扑，易知，X是紧空间.记L是X中全体极限序数所组成的集合.对任意的 1,n ，令P,n=()+n:L(,11.显然，(,1=n P,n.对任意的x X，选取X中的子集族Px满足如下性质：当x 1时，令Px是x处的局部基且满足Px0,x；当x=1时，令Px=P,n:1,n.置P=x XPx.显然，1包含于P中1多个元中.因为X是紧空间且不能被P中有限多个元覆盖，所以P不是X中的k网.下证，P是X的stric Pytkeev网.显然，P是X中的网.对于X中的任意一点x及x的任意邻域U和X中以x为聚点的子集A.不妨假设x=1，则存在 1满足(,1 U.因为x是A的聚点，则A(,1是不可数集.又因为A(,1=n A P,n，则存在n ，使得A P,n是无限集.显然x P,n U.因此P是X中的stric Pytkeev网.证毕.拓扑空间X称为M空间19，若存在度量空间M及M到X的连续的闭映射f使其满足对X中的任意一点x有f-1()x是X中的可数紧集.由定义易知，度量空间和可数紧空间是M空间.因为Hausdorff空间X是可度量化的当且仅当X是具有点可数拟k网的M空间19，所以有下述推论.推论1拓扑空间X是Hausdorff空间，则X可度量化的当且仅当X是具有点可数Pytkeev网的M空间.引理112设拓扑空间X是序列空间.若X具有cs网，则X有Pytkeev网.因为Pytkeev网是Pytkeev网，所以由上述引理可知，具有cs网的序列空间有Pytkeev网，但引理中的条件“序列空间”不能减弱为“k空间”.事实上，正整数集的Cech-Stone紧化空间是具有点可数cs网的紧空间，但没有点可数的Pytkeev网.因为不含非平凡的收敛序列16，所以 x:x 就是中的点可数cs网.再由注2可知，不含有点可数的Pytkeev网.最后，给出具有点可数Pytkeev网的正则可数紧空间是紧可度量的直接证明.定理2具有点可数Pytkeev网的正则可数紧空间是紧可度量的.证明设P是X中的点可数Pytkeev网.假设P是不可数集族，任取x0 X，因为P是点可数的，所以P0=P P:x0 P是可数.由于P是不可数的，所以存在P1 PP0.任取x1 P1，则有x1 x0.令P1=P P:x1 P，则P1也是可数的.因为P是不可数的，所以存在P2 P()P0 P1.任选x2 P2，则有x2 x1，x2 x0.令P2=P P:x2 P，则P2是可数的.依此类推，可选取无限点列 xnn 满足：当n k时，xn Pk.因为X是可数紧的，所以 xnn 有聚点,设聚点为x0.又因为P是X的Pytkeev网，所以-227宁德师范学院学报(自然科学版)2023年9月存 在P P，使 得P xnn 是 无 限 集.因 此 存 在k .有P Pk，但 根 据xn的 选 取 可 知，xnn (Pk)=xk.这与P xnn 是无限集矛盾.所以P是可数集.于是X是具有可数网的正则空间.具有可数网的正则可数紧空间是紧可度量空间20.所以X是紧可度量的.参考文献：1 ARHANGEL SKI A V.An addition theorem for the weight of sets lying in bicompacts J.Doklady Akademii Nauk SSSR,1959,126:239-241.(in Russian)2 ARHANGEL SKI A V.Mappings and spaces J.Russian Mathematics Surveys,1966,21:115-162.3 MEARA P.On paracompactness in function spaces with the compact open topology J.Proceeding of American Math Society,1971,29:183-189.4 GUTHRIE J A.A characterization of0-spaces J.General Topological Application,1971（1）:105-110.5 GAO Z M.-space is invariant under perfect mappings J.Questions Answers General Topology,1987（5）:271-279.6 林寿.广义度量空间与映射M.2版.北京：科学出版社，2007.7 LIN S,YUN Z Q.Generalized metric spaces and mappingsM.Paris：Atlantis Press,2016.8 PYTKEEV E G.Maximally decomposable spaces J.Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,1984（4）:225-230.9 MALYKHIN V I,TIRONI G.Weakly Frchet-Urysohn and Pytkeev spaces J.Topology and Its Applications,2000,104:181-190.10 TSABAN B,ZDOMSKY L.On the Pytkeev property in spaces of continuous functions II J.Houston Journal of Mathematics,2009,35(2):563-571.11 GABRIYELYAN S S,KAKOL J.On P-spaces and related concepts J.Topology and Its Applications,2015,191:178-198.12 BANAKH T.Po-spaces J.Topology and Its Applications,2015,195:151-173.13 LIU X,LIU C,LIN S.Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groupsJ.Topology and ItsApplications,2019,258:58-78.14 LIU X,LIN S.On spaces defined by Pytkeev networksJ.Filomat,2018,32(17):6115-6129.15 BANAKH T.The strong Pytkeev*property of topological spaces EB/OL.(2023-04-15).https:/doi.org/10.48550/arXiv,1607,03599.16 ENGELKING R.General Topology M.Berlin：Heldermann Verlag,1989.17 GRUENHAGE G.Generalized metric spaces J.Hand-book of Set-theoretic Topology,North-Holland,Amsterdam,1984：423-501.18 LIN S,TANAKA Y.Point-countable k-networks,closed maps,and related results J.Topology and Its Applications,1994,59(1):79-86.19 GRUENHAGE G,MICHAEL E A,TANAKA Y.Spaces determined by point-countable covers J.Pacific Journal of Mathematics,1984,113(2):303-332.20 林寿.点可数覆盖与序列覆盖映射M.2版.北京：科学出版社，2015.(下转第234页)-228宁德师范学院学报(自然科学版)2023年9月On entire solutions of a certain type of nonlineardifferential-difference equationsZHU Min1，XU Ai-zhu2*(1.School of Mathematics and Statistics,Fujian Normal University,Fuzhou,Fujian 350117,China;2.College of Mathematics and Physics,Ningde Normal University,Ningde,Fujian 352100,China)Abstract:We consider the transcendental entire solutions of differential-difference equationf(z)+q(z)eQ(z)f(k)(z+c)=p1e1z+p2e2z，wherek 0is an integer,q(z)is a non-zero polynomial,Q(z)is a non-constant polynomial andc,p1,p2,1,2are non-zero constants such that1 2.The result obtained improvesand extends previous results.Key words:Nevanlinna theory;exponential polynomials;entire solutions;nonlinear differential-differenceequations(上接第228页)Notes on spaces with certain Pytkeev*networksSHAO Hui，LIU Xin*(College of Mathematics and Physics,Ningde Normal University,Ningde,Fujian 352100,China)Abstract:We study some measurable properties of spaces with particular Pytkeev*networks,prove that everypoint-countable Pytkeev*network for a topological space is a quasi-k-network,and give an example to showthat the inverse proposition is not true,so that the M-space with a point-countable Pytkeev*network is metrizable.Finally,we give a proof that a countable compact space with a point-countable Pytkeev*network is compact and metrizable.Key words:topological spaces;Pytkeev*network;metric spaces;point-countable责任编辑郭涓责任编辑郭涓-234