关于图的Aα-谱半径及α-邻接能量的研究.pdf
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1、第 卷第 期太原科技大学学报 年 月 文章编号:()收稿日期:基金项目:国家自然科学基金();太原科技大学博士启动金项目()作者简介:张卓琳(),女,硕士研究生,主要研究方向为代数图论;通信作者:张海霞副教授,:关于图的 谱半径及 邻接能量的研究张卓琳,张海霞,谢秀梅(太原科技大学 应用科学学院,太原 ;广灵一中,山西 大同 )摘要:设 是有 个顶点 条边的简单图,对于任意实数 ,定义了图 的 邻接矩阵()()()(),其中 ()和 ()分别是图 的度对角矩阵和邻接矩阵。()的最大特征值,称为 的 谱半径,记为,的 邻接能量记为 ()将给出 的两个下界和图 的 邻接能量的上界及相应的极值图。关
2、键词:邻接矩阵;谱半径;邻接能量;极值图中图分类号:文献标识码:本文只需考虑简单图。设(,)是简单连通图,其中,顶点集为 ,边集 ,设(),是图的度对角矩阵,其中 是 的顶点 的度,图 的邻接矩阵 ()()是 阶(,)方阵,其中,当且仅当顶点 与 相邻,否则 邻接矩阵的谱,也称为图 的邻接谱,按照从大到小的顺序记为图的能量 ()是由 在文献 中给出的,其为图 的邻接矩阵 ()特征值的绝对值之和,即()图的能量在化学中有十分广泛的应用,详情请参考文献 年,在文献 中提出了一种新的矩阵(),也称为图 的 邻接矩阵,其是度对角矩阵 ()和邻接矩阵 ()的线性组合,即()()()(),其中 容易得到,
3、()(),()(),()(),()()()(),其中 ()和 ()分别为图的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵。注意到()是实对称矩阵,故而它的特征值都是实数,记为,且称为 邻接特征值。最大特征值,称为 谱半径。年,在文献 中首次给出了关于 谱半径的一些性质及上下界。之后,许多的学者对不同图的 谱半径的上下界及相应的极值图进行了研究,关于更多图的 谱半径的结果参考文献 年,和 在文献 中将图 的 邻接能量定义为()特征值的平均偏差,即()随后,等人在文献 中对图的 邻接能量 ()的上下界及相应的极值图进行了研究。本文中,首先得到了图 的 谱半径 的下界;此外,给出了图 的 邻接能量 ()的上界及
4、相应的极值图。谱半径 的下界为了方便,在不引起混淆的情况下,简记()为 本节给出了 谱半径的下界。首先,先给出以下几个引理。引理 设 是一个图且 ,),是 的最大特征值,如果 是连通图,则存在一个正特征向量 使得 引理 设 为实对称 矩阵,为 的特征值,其特征向量 的所有项全部为非负的,用()表示 的第 行和,则:()()此外,如果 的行和不都相等且 的所有项都是正的,则上述不等式都是严格成立的。定理 设 是 阶连通图,是 的最大特征值且()是矩阵 的第 行和。如果 ()是任意多项式,则 ()()()()()此外,如果 ()的行和不都相等,则上述不等式是严格成立的。证明由于 是连通图,所以 是
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