关注学生 助力成长--以“椭圆的方程”复习教学为例.pdf

数学教学通讯投稿邮箱：教学实践关注学生助力成长以“椭圆的方程”复习教学为例顾鹏程呈江苏省平潮高级中学2 2 6 0 0 0摘要】关注学生及发展是高三复习教学的主旋律。在复习教学中，教师应重点强化学生的数学基础，善于通过“小而精 的练习帮助学生建构完善的知识体系，避免机械重复造成枯燥乏味。同时在教学中，要重视展现学生的思维过程，从而通过亲身体验来发展学生的思维，提升学生的能力.【关键词关注学生；数学基础；思维能力笔者在一次校内公开课上，有幸聆听了校内优秀教师关于“椭圆的方程”的复习教学,现呈现教学过程,并谈几点自己对高三复习教学的一些粗浅认识，请同行给予批评和指正！教学实录1.课前展示，发现问题师：椭圆是高考的重要考点，之前重点学习过，也做过大量的练习，今天我们再重新回顾一下这部分内容.师：现在我们一起来探究一下课前小测中的几个问题.（教师用PPT展示题1)题1:点B,C的坐标为(3,0),(-3,0),过两次平方可以得到答案第一次平方后整理得V34-5+3再次平方后整理得+兰=1.（很多25*16人点头赞同）师：看来很多同学应用的都是代数法，可见大家有着超强的计算能力.不过，代数法虽然思路简单，但是运算过于复杂，你们是否还有其他的解决方案呢？生3：我是利用椭圆的定义直接求解的，根据椭圆的定义并结合题设信息可知=5,c=3,故椭圆的方程为=1.（生3 的解法给出后,其他2516+作用，大家不仅要熟背定义，而且还要学会灵活应用现在思考一下，若将“点P到B,C两点的距离之和为1 0”改为“点P到B,C两点的距离之和为6”,此时点P的轨迹方程是什么呢？生4:同上面一样,是椭圆,a=3,c=3.噢,不对.（问题给出后,学生不假思索地套用原来的解法）师：说一说刚刚错在哪里？生4：我刚刚忽略了定值要大于两点之间的距离.师：大家再想一下，如果不用定义来求解,以上方程是否还有其他的化简方法呢？（学生沉思）师：确实有一定难度,之前我们点P到B,C两点的距离之和为1 0,求点P的轨迹方程.师：说一说你是如何求解的，遇到了哪些问题。生1：我是用代数法求解的，设点P(x,y),依据题意得V(x-3)?+y+V(+3)+y=10,接下来移项、平方、化简，但是越算越复杂，最终没有求得答案.生2：我也是用代数法求解的，通常用的方法是“移项、平方”仔细观学生恍然大悟）师：太棒了，这样利用椭圆的定义直接得出了答案，既节省了时间又有效避免了复杂运算可能产生的错解.师：谁来说一说椭圆的定义？（问题给出后，很多学生积极举手，但教师选了一个未举手的学生回答，该生准确地说出了椭圆的定义）师：看来大家对椭圆的定义了如指掌.椭圆定义在解题时有着重要察V(x-3)+y和Vx+3)*+y这两个无理式，你是否能用整体的方法来解决呢？（教师引导学生尝试从整体出发去思考问题，便于找到化简的突破口）生5：可令V(x+3）+y=m，V(x-3)+y=n,根据题意得m+n=10.3又m-n=12x,得m=5+=x,n=5-355作者简介：顾鹏程（1 9 8 7 一），本科学历，中学二级教师，从事高中数学教学工作.2023年8 月（下旬）教学实践投稿邮箱：3师：很好，不过有必要两个都这即V(x+3)2+y2=5+=-x,这样两边平5方后化简即可求出点P的轨迹方程师：很好，这样只平方一次即可求解，减少了运算量.大家认真观察一下，“V(x+c)?+y表达的是什么含义呢？生6：椭圆上的点到左焦点的距离.师:m=a+x 呢?a生7：哦，我知道了，这个就是焦半径师：很好，大家还记得之前我们是如何得到焦半径的吗？生齐声答：利用椭圆的第二定义（接下来教师又指定学生叙述椭圆的第二定义）师：很好！对于题1 大家还有什么问题吗？（学生摇头表示没有问题后，教师开始引导学生探究下面的问题）师：接下来我们看题2.（教师用PPT给出题2)题2：已知椭圆C的中心为坐标原点,椭圆c的长轴长为6,短轴长为4，求椭圆的标准方程师：大家看一下,这样求解对吗？（教师展示解题过程）由已知得a=3,b=2,所以椭圆的标准方程为菁+芒=1.94生8：这样求解不全面，根据已知我们知道椭圆的中心在坐标原点，但是并未指定椭圆的焦点在哪个轴上.若焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为+二=;若焦点在)轴上,则精圆94的标准方程为告+兰=1.94师：很好，结合题2 说一说求椭圆方程有几步.生9：我认为有三步：判断椭圆焦点的位置；求出a,b的值；写出椭圆方程.师：说得很好，有些问题看似简单,但可能存在陷阱,解题前应仔细审题,明晰步骤,这样才能做到“会而对”师：接下来我们再看一下题3.（教师继续用PPT展示题3）402023年8 月（下旬）题3：若方程，m-26-m椭圆,求m的取值范围.师：我是这样解决题3 的：于是得mE(2,6).生1 0:不对，忽略了条件“m-26-m,即m4。如果m=4,它就不是椭圆了,而是圆x2+y=2.师：很好，如果把题3“变一变”，该方程是否可以转化为双曲线方程呢？生1 1:若满足(m-2)(6-m)0,生1 1:若则它是焦点在(6-m0,m-20,焦点在y轴上的双曲线。师：很好圆锥曲线有很多相似或相关的知识点，学习时可以尝试“变一变”,这样不仅可以变成一个新的问题,还可以使知识点之间的区别与联系变得更加清晰师：我们看一下最后一个问题（教师用PPT给出题4)题4:设P为椭圆25*9其横坐标为2,则点P到椭圆左焦点F的距离PF,=一，点P到椭圆右焦点F,的距离PF,=师：谁来简单地展示一下求解过程？（教师鼓励学生板演，以展示思维过程）生1 2:根据已知可得a=5,b=3,c=4,故左焦点F(-4,0),右焦点F,(4,0).设P(2,y。),将其代人椭圆方程得2_21片9 根据两点距离公式可得PF=V(2+4)y=V/36+189，同理25可得PF,=V44+18925师：这个就是最终答案了吗？17PF,=5+=1上一点，=1表示(m-20,(6-m0,样计算吗？生1 4：实际上只要算出一个就可以了,例如算出PF,=一17,则PF,=2a-5PF,=335生1 5：还可以根据椭圆的第二定_25义来计算,椭圆的右准线方程x=4，设P到右准线的距离为d，则d17这样易求得PF,=算出PF,后，根5据椭圆的第一定义即可求出PF.师：对于同一个问题，我们应积极思考有没有多种常规的方法来解决它.这样通过一题多解可以锻炼我们的数学思维，提升我们的解题能力.师：大家再思考一下，在什么情况下可以应用椭圆的定义来求解类似的问题？当求解完问题后，教师又引导学生进行总结归纳，借助练习帮助学生回顾基础知识和基本技能,将椭圆的定义、标准方程等知识点巧妙地融人练习，有效地避免了简单回顾所带来的枯燥感,使复习课堂生机勃勃.2.归纳总结，夯实基础通过以上四个题目，椭圆的定义、方程的形式以及求椭圆方程的基本方法已呈现,为了使知识更加系统化、完整化，教师给出表格让学生填写，内容有标准方程、定义，顶点坐标、焦点坐标、离心率等，帮助学生通过归纳总结夯实基础，为接下来的拓展提升奠定基础.3.例题教学，拓展提升前面的课前小测已经帮助学生夯实了“双基”，在例题教学阶段有必要通过一些巧妙的拓展来丰富学生的解题经验,提高学生的解题技能.题5：已知椭圆的中心在坐标原点,其长轴长为6,且经过点（V3，V2),求椭圆的标准方程.该题较为简单,与题2 相似,因此学生根据题2 的解答步骤求解，即确定焦点位置后，将已知条件代人椭圆方程，求得当焦点在x轴上时，椭圆数学教学通讯投稿邮箱：+号=1;当焦点在y轴上时，方程为为+音=1椭圆方程为27*9变式：已知椭圆C的左焦点为3F,(-1,0),且点P(在椭圆c上，2求椭圆C的标准方程。求解本题时,教师鼓励学生利用不同方法来完成，有的学生用待定系数法，有的学生用定义法不管用哪种方法，教师都让学生板演，这样既丰富了学生的解题经验，又规范了学生的解题过程,提升了学生的解题能力当学生完成变式的求解后，教师又提出了一个问题：“题5 能否用定义法求解？”以此借助题5 诱发学生深度思考定义法.在交流中，有的学生认为变式中有“焦点 这个条件，而题5中没有，因此题5 不能用这种方法(定义法)求解；也有学生认为,结合题1 的解答经验，可以用定义法求解，过程如下：若焦点在x轴上，设焦点为(-c,0)，（c,0),根据已知可得6=V(V3+c)+2+V(V3-c)2+2.令m=V(V3+c)+2,n=V(V3-c)+2,则m-n=4 V3 c.又m+n=6,得m-n=2V3c,解得c=V6,于是椭圆C的3标准方程为菁+号=-1.若焦点在轴93上，可以用同样的方法求解通过合作交流，学生再一次认识了典型解法.接下来教师又列举了其他实例，从而借助一题多解活跃了学生的数学思维，提升了学生的解题信心。教学反思从以上教学过程可以看出，通过“练”帮助学生巩固了基础知识，锻炼了基本技能，有效培养了学生的“双基;同时教师“以生为本”,充分展现了学生的思维过程，借助“错解”和“多解”丰富了学生的解题经验，提升了学生的思维能力,培养了学生的解题信心；另外，在教学中，教师将整体教学实践思想、分类讨论思想、方程思想等重着丰富的数学思想方法通过一道要的思想方法渗透其中，有助于学生习题不仅强化了学生对椭圆方程的更好地认识数学本质，提升数学素养.理解和把握，而且锻炼了学生的数学现结合以上教学过程，笔者谈几思维，提升了学生的数学应用能力.点关于高三复习教学的认识3.重体验,轻灌输1.重情境,轻记忆在高中数学教学中，尤其在公开在本课教学前，教师给学生安排课教学中，部分教师为了达到某种效了课前小测,四个问题各有不同的教果只关注对教学有利的生成性资源，学目的,从不同角度检测了学生对基而对那些不利于自己教学计划实施础知识的掌握情况从课前小测反的生成性资源常常视而不见，这样使馈来看，大多数学生只是单纯地从习得学生难以真正地融入课堂，显然不题的角度出发,思考如何解题,并未利于教学目标的实现而在本节课教学中，教师以学生为主导，充分展关注各习题之间的递进关系，可见学生完整的认知体系并未建构完成.同时,通过前期的基础检测,教师更好地了解了学生,如知道了哪些知识点是学生已经掌握了的，哪些知识点是学生似懂非懂的，哪些知识点是学生通过合作交流可以自我完善的，哪些知识点是需要教师重点讲解的.只有知学生之所需，才能使教学更有效另外，教学中教师重点呈现学生的解题过程，帮助学生进一步建构椭圆的知识脉络，同时引导学生及时进行总结归纳，从而将知识与技能串成线、织成网，有效避免了简单记忆和机械式训练所带来的瞬时效应.2.重整合,弃题海在高三复习教学中，部分教师常常贪多、求全，使得课堂容量过大,造成学生学习难以深入，不知道为什么学，要学到什么程度，只是单纯地为了解题而解题，但“题海无边”学生只有知道了学的内容、掌握了学的方法、了解了学的目的,才能学有所获、有所发展，教师前期制定的教学目标才能圆满实现因此，教学中教师不能贪多,要避免机械重复，通过试题精挑细选让学生更全面、更牢固地掌握“双基”在教学中，教师展示题5 让学生利用定义法和待定系数法这两种典型的解题方法来求解，从而让学生理解通法在解题中的重要价值.接下来，教师又通过变式和多解引导学生寻求最佳方案，以获得夯实基础、优化思维的教学效果另外，解题中蕴含示了学生的思维过程，通过板演、纠错、反思等教学活动调动了学生参与教学的积极性，让学生在交流展示中更好地内化了知识。例如，在教学中，教师不仅不怕学生犯错，而且还展示了学生的错解过程，从而通过纠错帮助学生理解概念，完善认知体系错误是学习过程中普遍存在的,因此在教学过程中教师要给学生一定的空间来展示错误，通过示错、找错、议错等过程发现学生的认知缺陷，借助有效的修补帮助学生释错、改错，以此达到完善学生认知体系、优化学生思维品质、磨炼学生意志的效果.又如,在解题教学中,学生用待定系数法完成题5 的求解后，教师将其变式，鼓励学生用不同的方法去求解。求解后，教师追问道：“题5 能否用定义法求解？”基于问题学生展开了激烈的探究，其探究重点主要是题设中椭圆的焦点位置.最终学生通过设焦点，用定义法求得了椭圆的标准方程这样通过变式不仅丰富了学生的解题方法,而且通过对题5 的再探究，挖掘出了问题的本质特征，从而让学生拥有了“会一题,通一类 的能力.总之,在高三复习课堂中，不仅要关注学生“双基”的落实，也要关注学生的发展在教学中，教师要把握好教学方向，制定好教学计划，从而有效避免教学中的盲目性和随机性，让学生知道“学什么”“为何学”“如何学”,以此培养学生优良的学习品质，发挥数学的教育功能2023年8 月（下旬）41