构筑学习境脉 突破认知边界——一道几何试题的探究历程.pdf

中学数学教学参考芳（中旬）342023年第6 期解题教学构筑学习境脉突破认知边界一道几何试题的探究历程沃赛芬（浙江省宁波东海实验学校）摘要：结合一道几何试题的探究教学，从尝试特殊情形获取结果到条件贯通获得多种解法，最后多解归一形成一般数学观念，引领学生经历脉络化情境的课堂学习，充分发挥其学习天性，激发数学学习兴趣。关键词：学习境脉；解题价值；教学智慧；认知边界文章编号：10 0 2-2 17 1（2 0 2 3)6-0 0 3 4-0 3学习境脉，是指教与学的过程中设置一连串有主题、有逻辑、有层次的脉络化情境，实现学习者在动态交互中走向深度学习。基于境脉的数学学习，让包括教师在内的全体学习者在一个充满张力的学习氛围中积极对话，经历解决问题的全过程，感受学习的价值。下面笔者结合一道几何题的解题教学，从学情出发，谈在数学教学中如何一以贯之推进学习境脉，使学生不断靠近并突破认知边界，体验智慧的生成。1题目呈现（2 0 2 3 年3 月宁波市东海实验学校八年级阶段性检测卷第10 题）如图1，已知在RtA B C中，ZACB=90,点D是AC延长线上的一点，AD=12，点E是BC上一点,BE=6,联结DE,M,N分别是AB,DE的中点，则MN的长为（）。A.6B.8C.3/5A.6B.8C.3/5D.10/22解答分析本题是该测试卷选择题的压轴题，题中关于两个中点的信息推进很有挑战性。从测试结果看，笔者执教班级的绝大多数学生选择MN=3V5，比预期要好很多。本题中点M,N分别是RtA B C 和RtD C E斜边的中点，有关斜边的中点，通常会作出斜边上的中线或者三角形的中位线进行探究。笔者在思考这AM/EBVND图1思路1：如图2，点E和点C重合，此时点N为CD的中点。结合点M为AB的中点，取AC的中点M，自然构造中位线MM。在RtMMN中，MM=1BCBE=3,NM一AD=6,由222个问题时，意识到以两个中点为起点贯通图形结构会给很多学生造成困扰，那么他们在测试时是如何迅速做出决断呢？在讲解测试卷前一天，笔者设计了一项作业：选择测试卷中一道题或两道题，描述考试时遇到的困难或者突破时的欣喜。果然，很多学生重点提到该题，可见这道几何题确实给他们留下了深刻印象。课堂上的再次聚焦，更是一次醋畅淋漓的思维驰骋！2.1浅尝止，骤起波澜课堂中，教师先呈现测试过程中不少学生采用的“救急”策略。AMMC(E)BD图2此NM=VMM+MN2=V3?+62=35。思路2：类似地，让点D和点C重合。如图3，取BC的中点Mi，构造中位线MM=6,NM=CM一1CN(BC-EC)BE=3,则 NM=22MM+MN2=V32+62=3/5。思路3：让D,E，N,C四点重合。如图4，AC=1AD=12,BC=BE=6,NM=AC+BC221/122+62=3/5。2-中学数学教学参考芳（中旬）-352023年第6 期解题教学AM-MC(D)N EB图3另外，有一位学生的思路引起了大家的争议：联结CM,CN，当ACB和ECD均为以C为直角顶点的等腰直角三角形时，ZMCN=90，MN也能确定。这位学生所说的特殊情形是否存在呢？如图5，重新审视图形结构，如果把线段BC沿着线段AD上下平移，与题意始终吻合，显然图形是不确定的。另外，如果让线段EB沿着水平方向适当平移，可以使得CD=CE=3，C B=C A=9，此时ACB和ECD均为以C为直AC_9角顶点的等腰直角三角形，其中CM=CN=V22CD3LMCN=90,则MN=VCM?+CN2=V2292+32=3/5。C(A,E)M,B2据此又有了极端情形。如图6，当点A，C,E 重合时，易得NM=CM+CN=V3+62=3/5,与思路3 呼应。教学感悟：以上考场上的“救急”策略说明学生对题目中的数量关系和位置关系已有一定的感知。如果平时做数学题时学生只习惯于关注结果，自然就会偏离解题的价值。教师应引导学生试着在“救急”策略中捕捉一些重要的数学信息，整体感知题目中的数量关系和位置关系，进一步理解图形结构。那么，该如何给出一般情形下NM=3V5的解释呢？2.2渐入佳境，反客为主有几位学生给出如图7 的辅助线，从两个中点出发，分别作三角形的中位线MM和NN，得到直角梯形MMNN，其中MN=AD=6,MM2-NN(BC-EC)BE=3。再按图8 分割22AMC(D,N,E)B图4AMMCEBND图7AMC7EBND图5C(A,E)M.BND图6AM21CEBND图11AME一CBND图10数学就是这样奇妙！学生从对称的角度观察到图12 中，中位线MN所在三角形保留了线段DE作为一边，那么也一定能让AB替换DE被保留，于是就有了图13 的方案。不止于此！思维的“藤蔓”继续生长。如图14，同样保留线段DE作为或图9补形，得到NM=V3+62=3V5。比较图7一图9 与图2、图3 可以发现，线段MN都是作为直角三角形的斜边来确定长度的。AFMMC艾EB/ND图：AMMECBNVNGD图9针对图形中给定的两个中点，部分学生依据解题经验又作出一个中点。如图10 所示，联结BD，取中点F1，得两条三角形中位线NFI和MF1，于是NM=VMF+NF=/6+3=3V5。相应地，还有图11的辅助线，联结AE,取中点F2，得到两条三角形中位线NF和MF2。两种方法的共同点是分别从水平方向和铅垂方向构造两条中位线，且计算路径比图8 和图9更直接。还有其他为这两个中点“牵线搭桥”的方法吗？有一位学生给出图12，即在原图中辨析出两个中点的位置特征。作AFs/EB，交直线EM于点Fs，因为M为AB的中点，所以M也是EF3的中点，MN是DF：E 的中位线。于是由勾股定理得DF=VAD+AF=VAD+BE=6V5，所以MN=3V5。AF3M-C/EBND图12该构想能否“成群结队”地生长呢？AM！1EB11N1！-D！1！1！1F.图13(BC2CM投影N,MiAD6，在水平方向的影MN图17，即线段MN在铅垂方向的投图9，均可化归为再反观图7中学数学教学参考（中旬）362023年第6 期解题教学中位线MN所在三角形的一边。与图12 中的中位线MN所截两边以E为公共端点不同，这里以D为公共端点。随之则是图15，保留线段AB作为中位线MN所在三角形的一边，中位线MN所截两边以B为公共端点，与图13 以A为公共端点相呼应。F1A-/M-/！1！1CEBD图14教学感悟：本节课学生全情投入，有效推进了以全景式的范例探究为背景的课堂生成，为从散点式思维到结构式思维的实现提供了可能。课堂伊始呈现的特殊化等应急策略看似零散，实则从不同视角明确图形结构，为顺利进人一般性探究提供了思维基础。随着对图形整体感知的逐步深刻，思维的触角有了丰厚的土壤，思维路径“成群结队”地生长！2.3豁然开朗，余韵悠长以上这些路径彰显共通的属性斜线段MN的长总可以化归为水平量和铅垂量来确定。除此之外，有几位学生在测试中以D为原点，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系求解。如图16，记点B(s,t),则E(s一6,t)，因为点A（0,12),所以ABSt中点M+6),DE中点22S2一3,2，则依据两点间距离公式即可确定MN的长。或者从“形”的角度解读点M,N，观察到两点的水平距离为3，铅垂距离为6，因此MN=35。1EC)BE=3。2MECBND图15AMCEBNDIX图16AMMMCBND图17至于图10 和图11，以两条中位线表示线段MN在水平方向和铅垂方向的投影便可以确定。而图12一图15，则是先把线段MN转化为中位线，由第三边在水平方向和铅垂方向的距离分别为6 和12，可得2MN=6V5,则MN=3V5。教学感悟：此时重新审视图2 一图6 中的一些思路，也不会觉得只是简单地呈现一些割裂图像。学生“看到”的应是各个数学元素的有序互动，动与静和谐相生。所有这些生动的数学现象发生在学习境脉的层层推进中，发生在对解题的宏观调控及对细节的觉察与推敲中。这样的经历使得偶然的思维进发逐渐生长为数学的智慧，凝练成数学的素养。3教学思考3.1构筑学习境脉，促进数学交往学习的境脉是知识炼制的一个核心因素 1。文中图2 一图6 的特殊情形有助于学生初步理解图形结构，而图5则促使学生重新审视并进一步分析图形结构。思维的多次转换就像打开一个个的盲盒，既在师生的意料之外，又在情理之中。在这样的课堂中，学生都积极表达感悟，分享见解，课堂中充满着真诚的交流，孕育着数学的智慧。3.2突破认知边界，生长数学智慧能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略 2 ，只能发生在真正意义的学习上。学生在经历了分享与观点的交流后，观察到极端情形与一般情形有着一致的最本质的数量关系，进而迁移到一般情形。基于对称观念下的思考，促使路径从图12 一图15“成群结队”地生长，最终“彰显共通的属性斜线段MN的长总是可化归为水平量和铅垂量来确定”这个意义层面的认知是学习者不断分享切的深度整合，意味着“以高度的参与和高度的能量为特征的有意义学习经验的创造”3 O参考文献：1安德烈焦尔当.学习的本质M.杭零，译.上海：华东师范大学出版社，2 0 15.2中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2 0 2 2 年版)M.北京：北京师范大学出版社，2 0 2 2.3钟启泉.深度学习 M.上海：华东师范大学出版社，2 0 2 1.