数学教学的基本原则与方法.doc

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数学教学的基本原则与方法
学习目标
学习本章后，你将会：
（1）知道数学教学必须遵循的一些基本原则；
（3）了解数学教学中常用的几种教学方法；
（3）初步认识理解如何有效地应用这些基本原则与方法进行数学教学
第一节 数学教学的基本原则
数学教学原则是根据数学教学目标，为反映数学教学规律而制定的指导数学教学工作的基本要求．作为一种教学活动，毫无疑问，数学教学是在基本的教学论原则的指导下进行的．但数学教学作为一种特殊的学科教学，必然有其自身的特点及规律性，也需遵循自身的一些基本要求．
本节从中小学数学的特点和学生学习数学的心理特征及数学教学目的出发，结合我国当前数学新课程理念和数学新课程改革的教学实践，讨论中小学数学教学的一些基本原则．
一、抽象与具体相结合的原则
1．对数学抽象性含义的理解
高度的抽象性是数学学科理论的基本特点之一．数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，所以数学是将客观对象的所有其他特性抛开，而只取其空间形式和数量关系进行系统的、理论的研究．因此，数学具有比其他学科更显著的抽象性．这种抽象性还表现为高度的概括性．一般说来，数学的抽象程度越高，其概括性越强．
数学的抽象性还表现为广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、字义、符号三位一体的特性，这是其他学科所无法比拟的．例如，“平行”的词义是表示空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特定位置关系，有专门符号“∥”表示，并可用具体图形表示．
当然，数学的抽象性必须以具体素材为基础．任何抽象的数学概念和数学命题，甚至于抽象的数学思想和教学方法，都有具体、生动的现实原型．
数学的抽象性还有逐级抽象的特点．一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，不仅以具体对象作为基础，也以一些相对具体的抽象概念作为基础．例如，数、式、函数、映射、关系等就是逐级抽象的．前一级抽象是后一级抽象的直观背景材料，尽管前一级本身就是抽象的．这样，所谓的直观背景材料，不仅是指实物、模型、教具等，而且还指所学过的概念、实例等．数学的这种逐级抽象性反映着数学的系统性．数学教学中充分注意这个特点，就能有效地培养学生的抽象概括能力．
由于受年龄、理解问题的能力、认识问题的规律等特点的影响，学生抽象思维的局限性主要表现在：过分地依赖具体素材；抽象与具体相割裂，不能将抽象理论应用于具体问题之中；对抽象的数学对象之间的关系不易掌握等方面．例如，在引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发；若不举出一定数量的实例，初一学生就连“相反方向的量”也不好接受；若不以多位数乘除法作为实例，直接引入多项式乘除法的分离系数法，学生会难以理解而步履维艰．又如，把无理数仅理解为，，，……之类的数．再如，学过函数概念后，常常把分段函数的表达式认作两个函数或者认为不是函数．出现这些原因是多方面的，就数学教学本身而言，要求正确处理抽象与具体的关系．
2．如何有效地运用抽象与具体相结合的原则进行教学
在数学教学中，贯彻抽象与具体相结合的原则，可以从以下三个方面人手：
(1)注意从实例引入，阐明数学概念
通过实物直观(包括直观教具)、图像直观或语言直观形成直观形象，提供感性材料例如，通过温度的升降、货物的进出等实例，来引进相反意义的量．在数学教学中，引用直观事物说明某个概念是非常有利的，这是因为对具体、生动的事物的感知有利于理解和记忆抽象概念．但是个别事物总有它的特殊性和与概念的不一致性．因此，在使用直观说明概念时，一定要有语言加以指导、概括和说明．
(2)注意数学逐级抽象的特点，做好有关知识的复习工作
数学的逐级抽象性反映着数学的系统性．如果前面一些概念没有学好，就难以学好依赖于这些概念抽象出来的更高一个层次的概念．从这个意义上来说，要打好基础，一步一个脚印地前进．因此，教师在讲授较高层次的数学知识时，必须做好有关知识的复习工作，这样就为新知识的抽象创造了必要的条件．这种方法既符合数学的发展规律，又符合学生认识的发展规律，容易取得好的教学效果．
(3)要注意培养学生抓住数学实质的能力
学生产生抽象与具体脱节的现象，解决实际问题的能力差，这与他们抓不住数学实质有关．有些学生尽管可以背诵某些概念或定理的条文，但并没有真正理解问题的实质，只是机械地记忆某些结论，从而不能使所学知识灵活运用．
抽象与具体相结合，就是为了使学生对抽象的理论理解得正确、认识得深刻．发展学生的抽象思维，使抽象理论的教学具体化，具体、直观仅仅是手段，而培养抽象思维能力才是根本的目的．因此，如果在教学中不注意培养抽象思维能力，学生就不可能学好数学．反之，如果不依赖于具体、直观，抽象思维也难以培养．只有在教学中不断地实施具体与抽象相结合，具体—抽象一具体，循环往复，才能不断将学习引向纵深，使认识逐步提高和深化．
二、严谨性与量力性相结合的原则
1.对数学严谨性和量力性含义的理解
(1)数学理论和逻辑的严谨性
严谨性是数学学科的基本特征之一．其涵义主要是指数学逻辑的严格性及结论的精确性．在中学数学的理论体系中，它主要表现在以下两个方面：其一，概念(除原始概念外)必须定义，命题(除公理外)必须证明；其二，在数学内容的安排上，要符合学科内在的逻辑结构．
每个数学分科所包含的数学概念都分为两类：原始概念和被定义过的概念．原始概念是这个学科中定义其他概念的基础，在该学科中，它们的本质属性无法用定义方式来表述，只能用公理来揭示．被定义的概念都必须有确切的、符合逻辑要求的定义．同样，每个数学分科所包含的真命题也分为两类：公理和定理．公理是证明其他真命题的正确性的原始依据，它们本身的正确性不加逻辑证明而被承认．公理体系必须满足相容性、独立性和完备性．而定理都必须经过逻辑证明．
在数学内容的安排上，要符合学科内在的逻辑结构，既严格又周密．每个数学分科的概念和真命题要按一定的逻辑顺序构成一个体系．在该体系中，每个被定义的概念必须用前面已知的概念来定义，每个定理必须由前面已知其正确性的命题推导出来．
随着概念和命题的陈述以及命题的论证过程日益符号化、形式化，数学学科的严谨性，还有日益加强的趋势．但是，数学的严谨性是相对的，是随着历史的发展而不断充实提高的．例如，函数概念达到当前的严谨程度，经历了七个发展阶段．又如，欧氏几何直到19世纪希尔伯特公理体系建立后，才得以严谨．数学的严谨性还有另一方面的相对性，侧重于理论的基础数学和侧重于应用的应用数学，二者对于严谨性的要求是不尽相同的．前者要求高，后者要求相对要低一些．相应地，数学专业工作者与一般工程技术人员所需要掌握的数学理论和方法，在严谨程度的要求上也有区别．
(2)数学教学的量力性
教学的量力性就是量力而行，要求教学内容能容易被学生接受，这是由青少年的生理与心理发展的阶段性所决定的．
数学的严谨性的要求，有一个随着人们认识能力的发展而逐步提高的过程．开始学习数学时，往往都是不够严谨的．理解上依赖于直观，解题中依赖于模仿．例如，将点理解为很小很小的球，相似理解为相像等，只有在系统学习这些概念，明确其真正含义，作深入探讨，进入理性认识阶段后，才能达到严谨的要求．
另外，中学生对数学严谨性的认识具有相对性．前面指出过，数学的严谨性本身具有相对性．人类认识数学的严谨性经历了相当长期的过程．中学生学习的数学是人类已经获得的认识成果，没有必要也不可能再重复人类原有的漫长认识过程．但是，学习本身是一种认识活动，必须遵循由低级到高级、由简单到复杂、由浅人深、逐步深化的一般认识规律．由于中学的学时以及中学生原有的知识和能力都有限，因此，中学阶段学生对数学严谨性的认识只是基本的和初步的．
严谨性与量力性相结合的原则的实质就是数学教学要兼顾严谨性与量力性这两方面的要求．一方面，对数学教学的各个阶段要提出恰当而又明确的目标和任务；另一方面，要循序渐进地培养学生的逻辑思维能力．
2．如何有效地应用严谨性与量力性相结合的原则进行教学
在数学教学中，主要是通过下列各项要求来贯彻严谨性与量力性相结合原则．
(1)教学要求应明确、恰当
一般来说，课程标准、教材对各个部分的教学内容都有明确的要求，虽然对其严谨性没有明确指出，但通过分析思考课标、教材对教学内容要求的深浅度，就可以把握其严谨性要求的高低．处理数学教学内容，切不可违背科学观点．为了符合学生的认识规律，适应学生原有的认知基础和认知水平，某些数学课可以分作几个阶段，逐步深化、精确化．初步讲授某些数学知识时，可以用经验来促使学生信服，但不能代替逻辑证明．
(2)教学中要逻辑严谨、思路清晰、语言准确
这就是说，在讲解数学知识时，要有意识地渗透形式逻辑方面的知识，注意培养逻辑思维，学会推理论证．数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有准确的涵义．学生能否确切地理解它们的涵义是能否保证数学教学的科学性的重要标志之一．同时，应该要求学生掌握精确的数学语言和符号．初中平面几何入门难，其重要原因是难以过好语言关、论证关·这是由于学生习惯于使用日常语言，不会使用数学语言；习惯于计算求解，不习惯于推理论证所造成的．这只有通过教师的耐心启发、详细讲解，同时，通过学生自己反复练习后才能逐步掌握．
为了培养学生语言精确，教师在数学语言上应有较高的素养．新教师在语言上要克服两种偏向：一是滥用学生还接受不了的语言和符号；二是把日常流行但又不太准确的习惯语言带到教学中．
(3)教学安排上要有适当的梯度
注意由浅入深、由易到难、由已知到未知、由具体到抽象、由特殊到一般地讲解数学知识．要善于激发学生的求知欲，但所涉及的问题不宜太难，这样才能取得好的教学效果．
总之，在强调严谨性时，不可忽视学生的可接受性，在强调量力性时，又不可忽视内容的科学性．只有将两者有机地结合起来，才能促进教学质量的提高．
三、培养“双基”与策略创新相结合的原则
1．对数学“双基”与策略创新的含义的理解
数学“双基”就是指数学基础知识和基本技能．数学基础知识，即数学知识网络中的“结点”，包括中学数学中的概念、定理、公式、法则、方法等．基本技能是指与数学基础知识相关的按照一定程序与步骤进行的操作方式，包括运算、推理、数据处理、画图、绘制表格等心智活动．正确理解数学概念是掌握数学知识的前提，而牢固掌握定义、性质、公理、定理、公式、法则等数学规律和解题、证题的方法，则是学好数学的必要条件．
策略创新是根据数学的探索性特征提出来的，其内涵就是波利亚推崇的“合情推理”，包括观察与实验、想象与直觉、猜想与验证等数学的探索性特征和创造性思维方式，它们体现了数学的策略创新精神．对大多数学生来说，培养策略创新精神比起数学基础知识的学习更为重要，因为这种数学的策略创新精神一旦转化成学生的素质，就会大大提高学生的创造力，成为他们受用终身、取之不竭的力量源泉．
2．如何有效地运用培养“双基”与策略创新相结合的原则进行教学
(1)转变观念，与时俱进地认识数学“双基”
数学“双基”是一个动态的概念，随着时代的发展也在发生变化．数学的基础知识是在变
化着的．比如，随着计算器、计算机的使用，珠算必将退出数学课本，心算、笔算的计算能力可以降低要求；在新课程中，一些繁、难、偏、旧的课题已退出必修课程内容；与此同时，概率统计、算法、与日常生活相联系的数学内容，则成为数学课程的“基础”；运用现代技术学习数学，也将是“双基”的一部分．过去的基本技能强调形式化的逻辑演绎能力，这也是不完整的，学习数学知识的背景及其应用，培养数学建模的能力同样是数学基本技能的组成部分．因此，数学“双基”也需要与时俱进，我们要在继承传统的数学“双基”的合理成分的同时，摒弃不必要的烦琐记忆要求，增加新兴的数学知识和技能要求．
(2)重视“双基”教学，加强合情推理培养
数学“双基”教学是中国数学教学的传统和特长，现在世界上许多国家的数学教育在向我们学习，这是中国数学教育界长期实践经验的总结和理论研究的成果，对世界数学教育是一个重要贡献，我们不能丢，也不应该丢．特别是在当前数学课程改革实践过程中，我们要以新的、发展的数学“双基”观重新认识数学“双基”，继承和发扬“双基”教学的优点，避免和克服“双基”教学中的不足和缺点，比如，只重视逻辑推理忽视合情推理的培养、强调记忆忽视理解、注重解题训练忽视思维过程等．
(3)把握数学“双基”和数学创新的关系
在我国传统的数学教育中，由于过分强调统一的数学基础，忽视了学生的个性和创造能力的培养，致使学生产生“基础过剩”的现象，而导致创新意识失落、创造能力低下．因此，我们不能仅仅把“重视基础”作为中国数学教育的关键课题来处理．一个完整的数学教育模式、教学原则，一个科学的数学教育理论，必须把“基础”和“创新”这两个方面同时加以研究．没有基础的创新是空想，没有创新指导的“打基础”是傻练．基础要为发展服务，盲目地打基础，过量的练习是无效的劳动．在花岗岩上建一个茅草房，不是我们想看到的．强调数学“双基”需要把握适当的“度”．“以学生的发展为本”，把数学“双基”和数学创新放在一起进行研究，找出适度的平衡，必将成为数学“双基”教学原则研究的指导思想．
四、精讲多练与自主建构相结合的原则
1．对精讲多练与自主建构含义的理解
我国数学教学目标经历了由掌握知识、发展能力，到素质培养的不断前进提升的过程，数学课堂教学也从多讲多练、高密度、大容量，逐步走向精讲多练、变式练习、关注过程的教学模式．精讲多练是当前数学课堂教学的主要做法．精讲，是针对教师讲解提出的，要求教师要精选典型问题做出讲解，对数学概念、定理中的关键点做出精辟讲解．讲解要少而精，要有针对性、代表性、普遍性，不搞一言堂，个别问题作个别教学．多练，是要求学生练习解题必须达到一定的数量．
建构性是数学学科的又一基本特性．对于数学知识的建构性，社会建构主义哲学家欧内斯特给出了阐述：
①数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言知识是一种社会建构；
②个人的主观数学知识发表后转化成让人接受的客观数学知识，这需要人际交流和交往的社会性过程；
③客观性本身应该理解为社会性的认同．
郑毓信教授也认为：“即使就最简单的数学对象而言，它们都是抽象思维的产物，从而，数学就其本质而言就是一种建构的活动；数学的研究对象正是通过这样的活动得到建构的．”其实，不仅数学的研究对象是建构的，即数学知识是人建构的产物，而且，数学的研究方法、研究工具、研究模式、理论体系等一系列内在成分都是建构的产物．建构性是数学的基本属性．
数学的建构性特征，决定了数学学习的建构性．所谓建构就是“建立”和“构造’，关于新知识认知结构的过程．“建立”，一般是指从无到有的兴建；“构造”，则是指对已有资料、结构、框架加以调整、整合或者重组．对建构主义来说，更是认为学习是学生依据自己已有的知识经验主动建构的过程；知识不能被动接受，不能被传递，需要学生主动地自我建构其意义；就数学学习来说，有意义的接受学习和有意义的发现学习是数学建构性学习的两个基本过程．对数学知识意义的理解、数学能力的提高、数学素质的养成，需要学生智力参与、自主活动和个人体验，别人是无法替代和包办的．可以说，建构性学习也是数学学习的根本途径．
2．如何有效地应用精讲多练与自主建构相结合的原则进行教学
(1)确立学生学习的主体地位
学生是学习的主体，但在实际教学中，主体性常常受到教师主导性的排斥．是否真正确立和发挥了学生学习的主体性，可以从以下几个方面去衡量：学生学习的积极性、自主性、探索性、深刻性．
(2)教师要为学生自主建构而精讲
在数学教学中，教师的地位和作用是绝对不容忽视的，教师也绝对不能自我放弃．教师的讲解应当为学生学习服务，为学生的发展服务，在“精”字上下工夫，使精讲具有针对性、有效性·为此，教师需要深入了解学生真实的思维活动，努力帮助学生获得必要的经验和预备知识，使学生自主建构获得必要的基础；高度重视对学生错误的诊断与纠正，克服自我建构的偏差；充分注意学生在认识上的特殊性．因此，教师要善于创设数学问题情境，引导学生经历观察、实验、归纳、猜想、验证、应用等建构活动，不搞一言堂．进行民主教学，给学生自主建构留有充分的空间和时间．
(3)注重数学过程教学
学生的认知活动遵循数学知识的历史发生过程，教师的讲解为了促进学生的自主建构，应当创设数学问题的情境，让学生提出问题、分析问题、解决问题，在问题情境——解决过程中学习数学知识、建构意义．在这个活动中，不是让学生简单地重复人类漫长的认识过程，而是通过教师的“精讲”，减缩其中的曲折，让学生经历“再发现”和“再创造’’的自我建构活动．
上面讨论了中小学数学教学的一些基本原则．正确地运用各项教学原则，有助于我们自觉地按照教学工作的客观规律办事，在教学过程中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，为全面提高数学教学质量创造条件．
第二节 数学教学方法选介
教学方法是为了达到教学目标、完成教学任务所采取的教学方式和手段的一套完整体系它包括教师的工作方式、学生的学习活动方式及其相互之间的有机联系．在数学教学中，
当教学内容和其他条件确定以后，教学方法将是取得预期教学效果的决定因素，因此优先选教学方法以达到最佳教学效果就十分必要了．
我国的中小学教学教育，历来十分重视数学教学方法的研究和应用．广大的数学教育工作者将国外先进的教育理论与我国数学教育实践相结合，积累了大量的经验，摸索出许许多多具有中国特色的数学教学方法，丰富了我国数学教学方法的宝库．虽然对基本的教学方法，目前国内外的提法很多都不一致，经过仔细分析，这些丰富多彩、千姿百态的新方法，都是它的创造者在它所处的教学条件下灵活运用启发式教学法、讲解法、谈话法、发现法、程序教学方法等基本教学方法和基本的数学教学方式，根据某种理论或某些经验创造出来的．因此，可以说，以上五种数学教学方法，能起到“基本颜料”的作用，而千姿百态的“油画”都是由这些基本颜料调配后画出来的．本节从传统、改革与发展的角度，介绍几种基本的和教改实践提出的几种主要的数学教学方法．
一、数学教学的基本方法
1．启发式教学法
启发式教学法，是教师遵循认识规律，从学生的实际出发，在充分发挥主导作用的前提下，善于激发学生的求知欲和学习兴趣，引导学生积极开展思维活动，主动获得知识的一种教学方法．它是中学数学教学中最重要、最基本也是应用最广泛的一种教学方法．
启发式教学不只是指某一种具体的教学方法，它实际上是一种对各种教学方法和教学活动都具指导意义的教学思想，启发式教学法就是贯彻启发性教学思想的教学法．也就是说，在数学教学中不论采取何种方法，都应该注意贯彻启发式教学法的精神．
启发式教学，它认为学生是学习的主体，而教师的主要任务在于引导学生发现问题、思考问题、解决问题．学生在课堂上始终是主动的、积极的、能动的，学习上特别强调理解、运用、发挥、创造，并通过学习活动使学生的智力和非智力因素都得到发展．据此，启发式教学法的本质特征主要体现在以下四个方面：一是在教学观上，确立学生的主体地位．课堂教学不是教师教、学生学，而是通过教师启发、诱导，主要依靠学习者自身的活动来实现教学目标．师生共同活动，民主相处，教学相长．二是在教学过程中，强调学生的能动作用．学生不是消极地接受知识，而要靠自己动手、动口、动脑来获得活的知识，增加创造能力．三是在教学手段上，通过创造良好的学习氛围来激发学习者的学习热情和内在潜能，不断提高教学效果和学生能力．四是在教学目标上，重视学生的全面发展．视知识与能力并重，学习与创造并重，智力因素与非智力因素并重，把学生培养成全方位发展的有创造力的人才．
启发式教学法的基本内容为：
(1)“教为主导”和“学为主体”
启发式教学，它是在教师指导下，充分调动学生的学习积极性，师生一起共同完成教师事先精心设计的教学活动.
(2)主要活动
启发式教学不是简单地向学生“灌注”的过程，它要经过一系列的课堂教学环节的活动才能完成．主要有如下一些教学活动：
教师启发：目的教育、方法指导、设疑启发、实验启发；
学生摸索：预习自学、阅读教材、设疑提问、自做实验；
整理提高：学生作业、实验设计、整理分类、知识小结；
发展深化：复习深化、自我检查、笔试口试、综合运用．
(3)读、议、讲、练、做相结合的教学方式
教师应开动脑筋，根据教材内容、教学实际情况，在注意调动学生积极性的前提下，设计好每堂课的教学活动，在教学时，采用读(书)、议(论)、讲(解)、练(习)、做(实验)五个方面的有机结合．
(4)注重自学能力的培养
启发式教学的主要特点是强调自学为主，学生在教师主导作用下，通过自学主动地学习掌握知识．
2．讲解法
讲解法是教师通过语言系统连贯地向学生传授知识的方法．这也是一种最基本的教学方法，其应用广泛，是各种教学方式的基础．
许多知识只有通过教师的讲授，学生才能比较透彻地理解与掌握．通过讲授，学生不仅可以学到知识本身，还可以潜移默化地学到教师观察问题、分析问题和解决问题的方法，提高思维能力．
(1)讲解法的要点和要求
讲解法的要点是：
①教师对教学内容作系统概括、精辟生动地讲解．在讲解中突出重点、启发思维、演示解题技巧，向学生提出思考问题等．
②教师在讲解过程中对每一概念、原理、定律的概括解释和论证，必须在学生能够理解的基础上进行．充分运用分析与综合、归纳与演绎、类比与比较，以及直观因素等手段向学生阐明、论证教学内容，使学生既获得“双基”知识，又培养能力、发展智力．
③学生则集中注意力倾听教师讲解，适当做笔记，并认真思考教师在讲解中提出的各种问题或演练指定的习题，亦可向教师提出有关问题．
讲解法对学生的基本要求是：
①应具有一定的理解力．
②能够保持较长时间注意力的集中．
③具有一定的随堂笔记能力．
④能跟上教学中的演练进度．
讲解法对教师的基本要求是：
①科学性．运用讲解法进行教学时，一定要保证讲解内容的科学性．讲概念要清楚、准确，必须使学生明确概念的本质特征，掌握概念的内涵，正确认识概念的外延；讲命题证明时，推理要合逻辑，并要着重讲述证题的思路和方法．总之，对讲解的内容要做到准确无误．
②启发性．运用讲解法要贯彻启发性原则(如前所述)．对讲解的内容要进行恰当的设计和安排，通过设疑和释疑达到传授知识的目的．教师提出的问题应是讲授知识中关键性的问题，难度要适度，要揭示出学生认识上的矛盾，要能引起学生的思索．努力做到“不愤不启，不悱不发”.
③系统性．就是既要讲究教学内容的逻辑系统，还要遵循学生的认识程序．就是说，讲解的内容要主题明确、重点突出、层次分明，既符合逻辑系统，又符合认识规律．
④针对性．运用讲解法目的不是讲知识，而是教学生，所以讲解一定要有针对性，有的放矢．学生易懂之处不必多讲，难懂之处应详细讲解；要注意学生的反应，如果发现多数学生对某个问题没有听懂，就要把这个问题从另一个角度再讲一遍，有个别学生不用心，也要注意提醒，使大多数学生都能够参与学习，得到发展．
⑤深刻性．对关键性的重点内容力求讲深、讲透，使学生深刻理解．不仅要讲清逻辑，特别要讲清学生不易发现的教学内容后面的数学思想、数学方法的来龙去脉，达到《课程标准》要求的深度．
⑥艺术性．就是要善于运用通俗易懂、生动形象、引人人胜的语言，简明扼要、条理清楚、重点突出的板书，准确地表达出教学内容，并力求板书与讲解同步进行，合理配合使用直观教具和现代教育技术的辅助，保证教学活动和谐、连贯地顺利进行．
(2)讲解法的优缺点
讲解法的优点是：
①教师可以充分发挥主导作用，能在较短的时间内系统地、有论据地启发引导讲述新的内容．
②使整个讲述过程形成一个完整的推理系统，从而使学生获得科学的、系统的数学知识，同时又学到分析推理的思维方法．
讲解法的缺点是：
①运用讲解法教学时，学生只须专心听讲，随着教师的讲解去理解教材，而较少独立思考，它不利于培养学生思维活动的独立性、灵活性和创造性．
②难以及时反馈，容易造成教与学的分离，难以贯彻因材施教的原则．应当指出，由于运用讲解法教学对学生的理解力和注意力水平都有较高要求，因而，这种教学方法多用于较高年级的教学；对于低年级的学生，在教学中就要从实际出发，适当控制讲解时间，配合其他教学方法．另外，在讲解时既要注意培养学生的学习动机和兴趣，启发学生积极思维，又要讲解与练习相结合，边讲边练，提高教学效果。
3．谈话法
谈话法是由教师提出并设计好若干相关问题，在师生对话、问答的过程中，用谈话的方式启发引导学生积极思考、探索从而获得知识的一种教学方法．
(1)谈话法的要点和要求
谈话法的要点是：
①谈话法是通过教师与学生的对话来进行教学．不仅教师讲，而且也要学生讲；不仅教师推理，学生也要积极思考．
②教师在透彻理解教材、掌握教材重点、难点和关键的基础上，充分估计教学进程中可
能出现的各种情况，把教材内容编成若干个有内在联系的问题，在课堂上逐一提出来，指定不同的学生回答问题，使问题逐渐引申，逐步完成教学任务．
谈话法对学生的基本要求是：
①要积极参与教学活动．
②要主动思考和积极应答．
③要敢于发现，勇于坚持真理，修正错误．
谈话法对教师的基本要求是：
①要精心设计谈话的“问题系统”．在吃透教材、摸准学生水平的基础上，根据教学内容的特点和重点、围绕教学目的实现，设计出一系列有内在联系的问题；要求问题明确、简练、逻辑性强，问题之间彼此衔接，向着总的教学目标和要求步步深入；问题能激发学生的兴趣，吸引学生注意，促进学生积极思维；问题既有思考价值，又不超越或落后于学生的水平．
②要善于应变，及时排除障碍．在运用谈话法教学时，学生的回答很可能不尽如人意，甚至出乎意外，教师就要善于应变，及时排除障碍，确保教学的正常进行．这就要求教师在备课时充分作出估计，对可能出现的问题要有备用对策；同时，对课堂出现的意外情况，要冷静思考，及时作出正确判断，并给予耐心的解释；实在无法解决的，也应实事求是地向学生说明，课后解决，以便课堂教学的正常进行．
③要善于引导探讨、启发发现．在教学中运用谈话法时，教师应当把提出的问题看作是引导、启发学生去探讨、发现的工具，要循循善诱，倡导学生积极答问和发问，允许学生答错或答偏，教师要从中引导、教育学生吸取教训、总结经验；在学生的回答中，教师不宜过多去打扰，应顺其思路发展，使学生能在成功或失败中都得到收益，逐步学会探索和发现．
④要面向全体学生，因材施教．在谈话中要面向全体学生提出问题，并给他们一定的思考时间，这样全体学生都能处于积极思维的参与状态；要鼓励学生主动回答问题，指定学生回答问题时，要因人因题而宜；要适当照顾学习先进和后进的学生，特别是对后进学生要以鼓励为主，以增加其学习信心，提高学习成绩．
⑤要恰当掌握时间，防止形式主义．谈话法教学课程教学气氛活跃，但时间不易控制．因此，要求教师既要恰当掌握提出问题的难、易水平，避免“是不是，对不对”等让全班齐声回答的形式主义问题；也要避免问题过难，不经学生思考而由教师“包办代答”的形式主义．
⑥要注意小结．谈话结束时，教师应对讨论的问题进行小结，把谈话的内容系统化，明确新学知识的结论，并对讨论情况作出评价，鼓励学生多发言．
(2)谈话法的优缺点
谈话法的优点是：
①突出课堂教学中的双边活动，教学气氛活跃，易于提高学生的注意力，调动学生思维的积极性，对培养学生的分析问题、解决问题的能力以及发展语言的表达能力都有较大的益处．
②有足够多的机会让学生陈述己见，便于教师及时了解学生的智力活动、反应速度和理解程度．
③有利于学生了解问题的来龙去脉和掌握教师的思路．对于学习中的疑点和难点也易于发现和解决．
④由于谈话法在信息传递上是双向传递，因此有利于消除学习上的障碍，避免学习上
的形式主义偏向，学生能及时得到教师的指点，容易在大脑中留下深刻的印象，利于知识的巩固和记忆强化．
谈话法的缺点是：
教学进程中由于教师要用灵活变通的技巧，因势利导，排除故障，确保教学主题和重点内容的教学．因此，教学时间不易掌握，往往会影响教学任务的完成．
谈话法宜在传授知识、总结、复习、检查已学过知识或作业时采用，尤其适用于低年级及高年级关于基本概念和计算法则等内容的教学．目前有不少教师在运用谈话法时引导学生质疑问难，给学生提供思索材料和思维方法，进行启发、组织讨论，打破了谈话法都是教师提问、学生回答的固定程序，这是值得提倡的．
4．发现法
发现法是指依据教师或教材所提供的材料和问题，通过学生自己积极主动的思维活动，亲自去探索和发现数学的概念、定理、公式、解题方法等的一种教学方法．
发现法是美国心理学家布鲁纳根据他的认知学习理论提倡的．他认为教学方法要认真考虑的一个事实是一门课程不但要反映知识本身的性质，而且要反映求知者获得知识的过程，学生应当像数学家那样思考数学．
布鲁纳之所以倡导“发现法”，主要有三个理由：一是他赞同“关于人类的全部生活中最独特之点，在于人类能够亲自发现”这一观点，他认为人不是一个被动的有机体，而掌握一个概念，解决一个问题都是一个主动的过程；二是他认为学习的中心环节是头脑中的“重新组织”或“转换”，以便有所发现；三是他十分强调“直觉思维”在学习中的作用．他认为“直觉思维”是从事任何一项工作的思想家极其珍贵的财富，要对这种品质及早加以培养．
布鲁纳认为，过去教学方法的理论是强调给学生某种刺激，使学生作出某种反应，在刺激与反应之间形成联结，通过不断地练习来强化这种联系．这种学习不需要较高级的心理活动过程，它不断重复旧的，而不是去发现创造新的东西．发现法则要求应付新的问题，发现新的东西，它需要运用分析、综合、归纳、演绎等较高级的心理活动过程．
(1)发现法的一般步骤和要求
运用发现法进行教学具有很大的灵活性，没有固定不变的模式可以套用．但通常可以按下述一般步骤进行：
①创设问题情景，激发学生学习的积极性和主动性．这是明确发现的目标和中心，唤起学生注意、激起学生探求的愿望和学习兴趣的过程．通常是由教师提出问题、介绍有关资料和现象，或由学生进行观察实验、演算、阅读教材等方式进行．
②推测问题结论，探讨问题的解法．这是在尽可能占有发现依据的基础上，调控思维方向，发现、推测结论的过程．通常是在教师的启发下，学生积极思考，对照材料、回忆有关知识和方法，进行分析、综合，并展开不同观点的讨论，直到发现结论、探索到解决问题的途径和方法．
③完善问题的解答，总结思路方法．这是整理、完善和评价发现成果，强化学习动机的过程．通常在教师的启发、点拨和帮助下，由学生对整个发现、解决问题的过程进行整理小结，评价不同方法、途径，总结思路方法．这样可以使学生在巩固知识的同时得到发现后的满足，从而既掌握了知识技能、基本的数学思想和方法，又强化了内在的学习动机．
④必要时，进行知识综合、充实和改善学生的认知结构．这是在解决问题后，引导学生再与已有知识综合成一个新的、完整的知识体系，使原有的认知结构更加充实完善．
发现法的实质是学生活动为主，亲自参与发现学习．而教师的主导作用主要体现在创设问题的情景、组织引导、激发动机的过程中．因此，运用发现法进行教学的基本要求是：
①教师要发挥主导作用，选择恰当的课题、创设情景，组织、引导学生有系统、有目的地发现、讨论．
②学生要占据主体地位，积极主动地参与发现过程，并充分运用观察、试验、分析、比较、综合、概括等方法，积极提出猜想，进行论证．
③教师要突出强调发现问题、提出问题的重要思维环节，逐步使学生能独立地发现和提出问题．
④发现中要引导学生注意掌握知识的系统和学科的基本结构，突出强调数学的基本思想和基本方法．
(2)发现法的主要优缺点
发现法的主要优点是：
①有利于发展学生的智力．
②有利于激发学生的兴趣．产生学习的内部动机．
③有利于培养学生发现问题、解决问题的探索方法和能力。
④有利于知识的记忆．
发现法的主要缺点：
①花费时间长．
②不利于学生掌握系统的知识，不利于学生加强基本技能的训练．
③缺乏经验的教师难以随机应变解决学生所发现的问题，难以控制教学时间．
在数学教学中，恰当地运用发现法，会起到提高教学质量的作用．但由于费时、难以控制，运用时要做充分准备，不可能也没有必要事事都要学生自己去发现．运用发现法的目的，在于启发学生的求知欲，学习到发现、探索问题的一般方法，养成探索和研究的习惯．
5．程序教学法
程序教学法是指让学生按照一定程序独立获取知识的一种教学方法．
程序教学法的理论基础是斯金纳的新行为主义操作条件反射学说和强化理论．这种理论把人类学习活动视为一种有序的行为过程．通过有序地选择教学信息，把教学活动按一定程序有步骤地进行强化，从而有效地控制学习过程，提高教学效率．
程序教学由程序编制者根据学习者学习过程发展的特点设计，把教材分解为许多小的项目，按一定的顺序加以排列，供学习者学习．每一项目或以填空，或以选择，或以问答的方式提出问题(通过教学机器或程序教材呈现)，要求学生作出构答反应或选择反应，然后给出正确答案以便核对.
程序教学强调每一个学生自学的重要性和独特性，主张教师要依照个别化的教学来行动和思考．
一个好的程序，课程是按照合理的和累积的方式设计的，能最充分地利用教材的内在组织系统性．它使学生的学习循序渐进，并不断感受到成功的愉快；能以良好的情绪持续学习，
这无疑在一定程度上是有效的．
(1)程序教学法的一般步骤和原则
①把学习的内容分成小步子的问题．由于严格控制了刺激，便能循序渐进地掌握材料．材料一步步地呈现，容易被理解．
②学生作出积极的反应．必须使学生在读、写时经常处于积极状态．程序教学使学生产生一个反应，然后给予强化和奖励，这样就巩固了一个反应，又促进了进一步反应．
③对每一个反应即时反馈以获强化．当一个反应很快地得到教师的评价时，学习就会提高．奖赏正确答案，给学习者以信心，并有助于保持．心理学上称之为强化．“知道结果”是程序教学中最常用的强化公式．
④自定步调．学习者可按自己的情况来确定掌握材料的速率．程序教学以学习者为中心，鼓励每一个学生以学习者最适宜的速度进行学习，使他们有适合自身情况的思考时机．同时通过不断的强化，得到了稳步前进的诱因．
⑤学习者的低错误率．这是以上四点共同作用的结果．少错误或无错误的学习不仅更为简单，同时还能提高学生学习的积极性，提高巩固的效果．
(2)程序教学法的优缺点
程序教学法的优点：
①有利于培养学生的自学能力和养成自学习惯．程序教学是学生和教材直接发生联系，要求他们自己动脑、动手，独立去完成学习．内容安排由浅入深、循序渐进，掌握一个单元后再进入下一单元学习，加强了学习的责任心，易于形成自学习惯和提高自学能力．
②有利于不同程度的学生都能发挥学习的积极性和提高学习的能力．程序教学法采用小步子走，学生可以用适合于自己的能力和水平的速度进行学习，这样可以使不同程度的学生在学习中都能充分发挥积极性，学生完全掌握学习的主动权．
③可以减少学生的错误率．程序教学可以根据学生学习中出现的错误提供补充教材，及时帮助学生纠错补漏，也可协助教师了解学生学习过程中的问题，更有效地进行教学．
④可以排除师资条件对教学的影响，保证教学质量的不断提高．
程序教学法的缺点：
①程序教学过程呆板，缺乏灵活性，容易束缚学生的思维，不利于培养学生的创造性．
②过分强调和夸大“程序”的作用，导致忽视教师的主导作用和班级学习中的交流促进作用，不利于学生的全面发展．
程序教学法的引进，在我国教学方法的改革中也起到了积极的作用．由北京师范大学出版社出版的《初中数学程序教学》、中科院心理研究所卢仲衡教授编写的《中学数学自学辅导教材》都是结合我国的实际引进程序教学法后所取得的成果．
这些基本数学教学方法是在教学实践的长期积累中，在不断修正完善中形成的，为广大教师所应用，对数学教学发挥了重要作用．
二、当前教改中的几种主要教学方法
1．尝试指导、效果回授法
尝试指导、效果回授教学法就是教师将教材组成一定尝试层次，学生通过尝试进行学习，同时，教师十分注重回授学习的效果，以强化