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中学数学解题的常用思想方法
——谈分类讨论思想和数形结合思想在教学中的应用

在中学数学教学中，解题是一大关键！对学生来说，解题不仅是对数学知识简单的应用，更是对知识进入深层次了解的一个方式。它有助于学生更深刻地理解知识，掌握知识，是促进思维发展，能力发展的重要手段。在教学中，解题的教学必不可少，中学数学在解题中常用的数学思想方法主要有： 模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想等。下面我将选取其中两个小类：分类讨论和数形结合思想方法，谈谈它们在数学解题中的应用。
一、分类讨论思想方法
分类讨论思想方法在中学数学中应用十分广泛，下面我将选取高中数学必修一第一章《集合》中的一类题型，对分类讨论思想方法的运用进行简单说明。
例1：已知
（1） 当a=1时，求 和；
（2） 若 ， 求实数a的取值范围.
第一问，直接代值，写出集合B，利用数轴即可求出A与B的交和并；

大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。除食品外，很大一部分开支都用于。服饰，娱乐，小饰品等。女生都比较偏爱小饰品之类的消费。女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。因此也为饰品业创造了无限的商机。 据调查统计，有50% 的同学曾经购买过DIY饰品，有90% 的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。我们认为：我校区的女生就占了80%。相信开饰品店也是个不错的创业方针。第二问，由于，而空集与任何集合的交集都是空集，所以需要对集合B进行分类，分和两种情况进行讨论：
当时， ；
当时，由知，

或
综上所述，a的取值范围是 .

（一）DIY手工艺品的“多样化”在上述例题中，第二问中求参数取值范围时，涉及到数学思想方法——分类讨论的应用。在集合的运算中，空集是比较特殊的，与之相关的集合运算也很特别，

PS:消费者分析空集在这类集合运算求参数取值范围的题型中经常会考到，学生在刚接触这类问题时常常忽略是空集的可能，导致失分。这样的运算性质本身就导致了结果的多种可能性，在解题时，如果遇到多种可能的情况，必须要用分类的方法分散各种情况，然后分别进行讨论，化难为易，逐个击破；最后，必须要有总结出的结论，综合得到此题的答案。此外，在进行分类时，要遵守 “不重”“不漏”这两个原则。

营销调研课题 分类讨论是一种逻辑严密的思维方法，具有很强的逻辑性，综合性和探索性，它可以锻炼人的思维发散和思维聚拢，综合分析的能力，对于全面认识问题，探索问题，解决问题具有非常大的意义。分类讨论思想方法在高中数学中还有更多更深的应用，从高一一开始就接触并使用它，有助于学生培养严密的思维方式和严谨的思维习惯，对后续的数学学习有着很大的帮助。

二 、数形结合思想方法

§8-4情境因素与消费者行为 2004年3月20日数形结合在中学数学中应用十分广泛，尤其是平面解析几何，更是数与形的完美统一！下面我将选取高中数学必修二第三章《直线与方程》中常考的一个题型进行说明。
例2：已知的三个顶点， ， ，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的垂直平分线所在直线的方程.
背景分析：本题考查的是平面解析几何中直线的方程应用。在平面解析几何中，我们对点的坐标化，直线方程化，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算解决几何问题，达到最终的目的。

（3） 年龄优势试题分析：（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得直线BD的斜率kBD，代入点斜式易得；（2）同理可得kEF，再由中点坐标公式可得线段BC的中点，同样可得方程；（3）由中点坐标公式可得AB中点，由两点可求斜率，进而可得方程．
试题解析：
解：（1）由斜率公式易知kAC=-2，∴直线BD的斜率.
又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得
直线BD的方程为：x-2y+4=0．
（2）∵，∴．又线段BC的中点为，
∴EF所在直线的方程为y-2=-（x+）．

（一）对“漂亮女生”饰品店的分析整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0．

图1-2 大学生购买手工艺品可接受价位分布

图1-1大学生月生活费分布

数形结合思想方法，将代数问题和几何问题结合在了一起，以形助数、以数助形、数形互助，实现代数与图形的相互转化和相互辅助，从而达到更优更简洁的目的。
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