五四版---圆的知识点.pdf
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1、1第第 5 5 章章 圆圆第一节第一节 圆圆1.1.圆的概念圆的概念(1)集合形式的概念:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;(2)轨迹形式的概念:当一条线段 OA 绕着它的一个端点 O 在平面内旋转一周时,它的另一个端点 A 的轨迹叫做圆。这个以点 O 为圆心的圆叫作“圆 O”,记为“O”。补充:1、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);2、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;3、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;4、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条
2、直线距离都相等的一条直线。2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内;drCrddCBAO22、点在圆上 点在圆上;drB3、点在圆外 点在圆外;drA第二节第二节 圆的对称性圆的对称性1 1圆的对称性圆的对称性(1)圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。(2)圆是中心对称图形,对称中心是圆心。2 2圆的认识圆的认识(1)弦弦:连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段 AB、BC、AC 都是圆 O 中的弦弦。经过圆心的弦 AC 为直径,直径是最长的弦。(2)弧弧:圆上任意两点间的部分叫做弧弧。如曲线 BC、BAC 都是圆中的弧,分别记作、。BCBAC像弧这
3、样小于半圆周的圆叫做劣弧劣弧。BC像弧,这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧优弧。BAC3(3)圆心角圆心角:顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角。如AOB、AOC、BOC 就是圆心角。3 3圆心角定理圆心角定理(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。即:;AOBDOE ABDE;弧弧OCOFBABD4.4.弧的度数弧的度数(1)把整个圆等分成 360 份,每一份这样的弧叫做 1的弧。(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。第第 3 3 节节 垂径定理垂径定
4、理垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧FEDCBAO4 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即:是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在中,OABCD 弧弧ACBDOEDCBAOCDAB5第四节第四节 圆周
5、角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系1.1.圆周角圆周角顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。2.2.圆周角定理圆周角定理圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半。即:和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB2AOBACB 3.3.圆周角定理的推论:圆周角定理的推论:推论 1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。推论 2 同弧或等弧所对的圆周角相等。即:在中,、都是弧 AB 所对的圆周角OCD CD 推论 3 半圆或直径所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在中,是直径 OAB90C 或 是直径90CABDCBAOCBAOCBAO6推论 3:若三角形一
6、边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在中,ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。第五节第五节 确定圆的条件确定圆的条件1.1.确定圆的条件确定圆的条件(1)过一点可以画无数个圆;(2)过两点可以画无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上;(3)过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆。过在同一直线上的三个点不能作圆。2.2.三角形的外接圆三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆
7、三角形内切圆CBAO7定义经过三角形三个顶点的圆与三角形三边都相切的圆圆心三条边垂直平分线的交点三个角角平分线的交点圆心名称三角形的外心三角形的内心圆心位置锐角三角形 内部直角三角形 斜边中点上钝角三角形 外部三角形内部半径圆心到顶点的距离圆心到边的距离个数唯一唯一尺规作图3.3.圆内接四边形圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。即:在中,O 四边形是内接四边形ABCDEDCBA8 180CBAD180BD DAEC 9第六节第六节 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系1 1、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系 直线与圆相离 无交点;dr 直线与圆相
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