不等式知识点归纳.pdf

第三章第三章 不等式不等式3.13.1、不等关系与不等式、不等关系与不等式1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加同向可加性）dbcadcba,（异向可减异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式,（当且仅当时取号）.变形公式：222abab abR，ab22.2abab（基本不等式）（基本不等式）,（当且仅当（当且仅当时取到等号）时取到等号）.2abababR，ab变形公式：（也可用柯西不等式2abab2.2abab）22222()()()abcdacbd用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二一正、二定、三相等定、三相等”.（三个正数的算术（三个正数的算术几何平均不等式）几何平均不等式）（当且仅当33abcabc()abcR、时取到等号）.abc222abcabbcca abR，（当且仅当时取到等号）.abc3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当时取到等号）.abc（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab 若则banbnamambab1其中(000)abmn，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.220;axaxaxaxa 当时，或22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab,（当且仅当时取号）.abR，ab（即调和平均（即调和平均几何平均几何平均算术平均算术平均平方平均）平方平均）.变形公式：222;22ababab222().2abab幂平均不等式：222212121.(.).nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR二维形式的柯西不等式：当且仅当22222()()()(,).abcdacbda b c dR时，等号成立.adbc三维形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()().aaabbbaba ba b一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.).nnaba ba b向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使,u r u r,u r u ru r u ru rk时，等号成立.ku ru r排序不等式（排序原理）：设为两组实数.1212.,.nnaaa bbb是的任一排列，则12,.,nc cc12,.,nb bb12111 122.nnnnnaba ba ba ca ca c（反序和反序和乱序和乱序和顺序和顺序和）1 122.nnaba ba b当且仅当或时，反序和等于顺序和.12.naaa12.nbbb琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有()f x1212,(),x xxx12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa将分子或分母放大（缩小），如 211,(1)kk k211,(1)kk k2212(),21kkkkkk等.*12(,1)1kNkkkk5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或解集的步骤：2(0,40)abac 一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分移项通分标准化，则 （时同理）()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x“或”规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小小”的一边分析求解的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当时,1a()()()()f xg xaaf xg x当时,01a()()()()f xg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法当时,1a()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x当时,01a()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22()()()().f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或()()()()()()0)f xg xg xf xg xg x()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x 或规律：关键是去掉绝对值的符号规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标20axbxc准有：讨论与 0 的大小；a讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：20axbxc当时 0a 0,0;bc当时0a 00.a 不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：20axbxc当时0a 0,0;bc当时0a 00.a 恒成立()f xamax();f xa恒成立()f xamax();f xa恒成立()f xamin();f xa恒成立()f xamin().f xa15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的0AxByCAxByC符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），00(,)xy由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.00AxByC0AxByC(0)即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，0AxByC(0)B或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同即：同0AxByC(0)号上方，异号下方号上方，异号下方.二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数为常数）的最值：zAxBy(,A B 法一：法一：角点法：角点法：如果目标函数（即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，zAxByxy、则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值zzz法二：法二：画画移移定定求：求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线，平移直0:0lAxBy线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，0l0l(,)x y将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.(,)x yzAxBy第二步中最优解的确定方法：最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.zAzyxBB zB若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最取得最0,B zAxByz大值，使大值，使直线的直线的纵截距最小的角点处，纵截距最小的角点处，取得最小值；取得最小值；z若若则使目标函数则使目标函数所表示直线的所表示直线的纵截距最大的角点处，纵截距最大的角点处，取得最取得最0,B zAxByz小值，使小值，使直线的直线的纵截距最小的角点处，纵截距最小的角点处，取得最大值取得最大值.z常见的目标函数的类型：“截距截距”型：型：;zAxBy“斜率斜率”型：型：或yzx;ybzxa“距离距离”型：型：或22zxy22;zxy或22()()zxayb22()().zxayb在求该“三型三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义几何意义求解，从而使问题简单化.基础练习基础练习一 选择题1设 Mx2，Nx1，则 M 与 N 的大小关系是()AMNBMNCM0，1234MN.2(2013辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若 ab B2a2b1a1bC|a|b|D()a()b1212答案B解析ab，y2x单调递增，2a2b，故选 B3已知 a0，1babab2Babaab2Cab2abaDabab2a答案D解析1bb20b1，即 bb2ab2a.故选 D4如果 a、b、c 满足 cba，且 acacBbcacCcb2ab2Dac(ac)0答案C解析cba，且 ac0，c0，bcac(ba)c0，ac(ac)0，A、B、D 均正确b 可能等于 0，也可能不等于 0.cb2bcBacbCcabDcba答案B解析0lge1，b(lge)2a2a，clg lge aa.又b(lge)e12122lglge lgec，bc2xC1Dx 21x211x答案C解析A 中 x0；B 中 x1 时，x212x；C 中任意 x，x211，故1；D1x21中当 x1y，下列不等式不成立的是()Ax11yBx1y1Cxy1yD1xyx答案A解析特殊值法令 x2，y1，则 x1211(1)1y，故 A 不正确8设 a100.1,b0.110，clg0.1，则 a，b，c 的大小关系是()AabbcCbacDcab答案B解析100.1100，100.11.又0.1100.10，00.1101.lg0.1lg1，lg0.11,0b1，cbc，选 B9设 ab0，则()Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a2答案A解析ab0，0ab，a2abb2.10已知 a2a0，那么 a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2aBaa2a2aCaa2aa2Da2aaa2答案B解析a2a0，0a2a2a，aa2a2a，故选 B点评可取特值检验，a2a0，即 a(a1)，即aa2a2a，排除 A、C、D，选 B1414121214141211设 a，bR，则(ab)a20 是 ab 的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由(ab)a20 得 a0 且 ab；反之，由 ab，不能推出(ab)a20.即(ab)a20 是 a1，则a31a21a3a2，1，loga0，MN，若 0a1，则a31a21a31a210a3a2，0a31a21，00，MN，故选 Aa31a21a31a2113(2014江西文，2)设全集为 R，集合 Ax|x290，Bx|1x5，则A(綂RB)()A(3,0)B(3，1)C(3，1D(3,3)答案C解析本题主要考查集合的运算，Ax|x290 x|3x5，A綂RBx|30，Nx|x24，则 MN()A(1,2)B1,2)C(1,2D1,2答案C解析本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算Mx|x1，Nx|2x2，所以 MNx|1x2(1,218(2013广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式 x22x30 的解集为()Ax|x1 或 x3Bx|1x3Cx|x3 或 x1Dx|3x1答案C解析由 x22x30，得(x3)(x1)0，x3 或 x1，故选 C19(北京学业水平测试)不等式(x1)(2x1)0 的解集是()Ax|1x2Bx|x2Cx|x1Dx|x11212答案D解析方程(x1)(2x1)0 的两根为 x11，x2，所以(x1)(2x1)0 的解集为12x|x1，选 D1220设集合 Mx|0 x2，Nx|x22x30，则 MN 等于()Ax|0 x1Bx|0 x2Cx|0 x1Dx|0 x2答案D解析Nx|x22x30 x|1x3，Mx|0 x2，MNx|0 x2，故选 D21若x|2x3为 x2axb0 的解集为()Ax|x3Bx|2x3Cx|x Dx|x 13121312答案D解析由 x2axb0 的解集为x|2x0，即 6x25x10，解集为x|x，故选 D131222不等式0 的解集为()x22x3x1Ax|1x2 或 2x3Bx|1x3Cx|2x3Dx|1x3答案A解析原不等式等价于Error!解得1x0B3x02y00C3x02y08答案D解析3121830.28图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为()AError!BError!CError!DError!答案A解析取原点 O(0,0)检验满足 xy10，故异侧点应为 xy10，排除 B、DO 点满足 x2y20，排除 C选 A29不等式 x2y20 表示的平面区域是()答案B解析将(1,0)代入均满足知选 B30不等式组Error!表示的平面区域是一个()A三角形B直角梯形C梯形D矩形答案C解析画出直线 xy50 及 xy0，取点(0,1)代入(xy5)(xy)40，知点(0,1)在不等式(xy5)(xy)0 表示的对顶角形区域内，再画出直线 x0 和 x3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形31目标函数 z2xy，将其看成直线方程时，z 的意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直线的横截距答案C解析z2xy 可变化形为 y2xz，所以 z 的意义是该直线在 y 轴上截距的相反数，故选 C32若 x0，y0，且 xy1，则 zxy 的最大值为()A1B1C2D2答案B解析可行域为图中AOB，当直线 yxz 经过点 B 时，z 最小从而 z 最大zmax1.33已知 x、y 满足约束条件Error!，则 z2x4y 的最小值为()A5B6C10D10答案B解析可行域为图中ABC 及其内部的平面区域，当直线 y 经过点x2z4B(3，3)时，z 最小，zmin6.34若 x、yR，且Error!，则 zx2y 的最小值等于()A2B3C5D9答案B解析不等式组表示的可行域如图所示：画出直线 l0：x2y0，平行移动 l0到 l 的位置，当 l 通过点 M 时，z 取到最小值此时 M(1,1)，即 zmin3.35设 x、y 满足约束条件Error!，则目标函数 zxy()A有最小值 2，无最大值B有最大值 3，无最小值C有最小值 2，最大值 3D既无最小值，也无最大值答案A解析画出不等式组Error!表示的平面区域，如下图，由 zxy，得 yxz，令z0，画出 yx 的图象当它的平行线经过点 A(2,0)时，z 取得最小值，最小值为 2；无最大值故选 A36(2013四川文，8)若变量 x、y 满足约束条件Error!，且 z5yx 的最大值为 a，最小值为 b，则 ab 的值是()A48B30C24D16答案C解析本题考查了线性规划中最优解问题作出不等式组表示的平面区域如图作直线 l0：y x，平移直线 l0.15当 l0过点 A(4,4)时可得 zmax16，a16.当 l0过点 B(8,0)时可得 zmin8，b8.ab16(8)24.37若变量 x、y 满足约束条件Error!，则 zx2y 的最大值为()A4B3C2D1答案B解析先作出可行域如图作直线 x2y0 在可行域内平移，当 x2yz0 在 y 轴上的截距最小时 z 值最大当移至 A(1，1)时，zmax12(1)3，故选 B38设变量 x、y 满足约束条件Error!，则目标函数 z3xy 的取值范围是()A，6B，13232C1,6D6，32答案A解析本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想根据约束条件，画出可行域如图，作直线 l0：3xy0，将直线平移至经过点 A(2,0)处 z 有最大值，经过点B(，3)处 z 有最小值，即 z6.123239设 zxy，式中变量 x 和 y 满足条件Error!，则 z 的最小值为()A1B1C3D3答案A解析作出可行域如图中阴影部分直线 zxy 即 yxz.经过点 A(2,1)时，纵截距最大，z 最小zmin1.40变量 x、y 满足下列条件Error!，则使 z3x2y 最小的(x，y)是()A(4,5)B(3,6)C(9,2)D(6,4)答案B解析检验法：将 A、B、C、D 四选项中 x、y 代入 z3x2y 按从小到大依次为A、B、D、C然后按 ABDC 次序代入约束条件中，A 不满足 2x3y24，B 全部满足，故选 B41已知 x、y 满足约束条件Error!，则 zxy 的最大值是()A B4383C2D4答案B解析画出可行域为如图阴影部分由Error!，解得 A(，)，4343当直线 zxy 经过可行域内点 A 时，z 最大，且 zmax.8342(2014广东理，3)若变量 x，y 满足约束条件Error!，且 z2xy 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn()A5B6C7D8答案B解析作出可行域如图，由Error!得Error!A(1，1)；由Error!得Error!B(2，1)；由Error!得Error!C(，)1212作直线 l：y2x，平移 l 可知，当直线 y2xz，经过点 A 时，z 取最小值，当ymin3；当经过点 B 时，z 取最大值，zmax3，m3，n3，mn6.43下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()AxBx2112x1x21C2x2x Dx(1x)答案：C44已知 a、bR，且 ab0，则在ab；2；ab2；a2b22baab(ab2)2这四个不等式中，恒成立的个数有()(ab2)a2b22A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案：C45某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则()Ax Bxab2ab2Cx Dxab2ab2解析：依题意有 A(1x)2A(1a)(1b)，1x(1a)(1b)1a1b121x.故选 B.ab2ab2答案：B46若 x0，则函数 yx()1xA有最大值2 B有最小值2C有最大值 2 D有最小值 2解析：x0，x 2.x 2.当且仅当 x1 时，等号成立，故函数1x1xyx 有最大值2.1x答案：A47数列an的通项公式 an，则数列an中的最大项是()nn290A第 9 项 B第 8 项和第 9 项C第 10 项 D第 9 项和第 10 项解析：annn2901n90nn2，且 nN*，90n90当 n9 或 10 时，n最小，an取最大值故选 D.90n答案：D48lg 9lg 11 与 1 的大小关系是()Alg 9lg 111 Blg 9lg 11 1Clg 9lg 111 D不能确定 解析：lg 9lg 111，故选 C.2lg9 lg1122lg9922lg1002222答案：C49已知 a，bR，且 ab1，则 ab的最小值为()1abA2 B.52C.D不存在174解析：a，bR，ab1，abab2120ab.14令 tab，则 f(t)t 在上单调递减，1t(0，14f(t)的最小值为 f 4，故选 C.(14)14174答案：C50某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买 10 g 黄金，售货员先将 5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将 5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A大于 10 g B小于 10 gC大于等于 10 g D小于等于 10 g解析：设两臂长分别为 a，b，两次放入的黄金数是 x，y，依题意有 ax5b，by5a，xy25.，xy10，又 ab，xy.xy2xyxy10.即两次所得黄金数大于 10 克，故选 A.答案：A51函数 f(x)的最大值为()xx1A.B.C.D1251222解析：当 x0 时，f(0)0；当 x0 时，x120，f(x)，当且仅当xx2 x12x1 时等号成立故函数 f(x)的最大值为.xx112答案：B二 填空题1若 ab，则 a3与 b3的大小关系是_答案a3b32若 x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，则 x 与 y 的大小关系是_答案xy解析xy(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，xy.3已知 ab0，且 cd0，则与的大小关系是_adbc答案adbc解析cd0，0，1d1cab0，0，adbc.adbc4若 a、b、c、d 均为实数，使不等式 0 和 ad 0 知，a、b 同号，c、d 同号，且 0.abcdabcdadbcbd由 adbc，得 adbc0，所以 bd0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：a、b 同号，c、d 同号，b、d 异号；ad0，b0，c0，d0，不妨取 a2，b1，c1，则 d，bca12取 d2，则(2,1，1，2)满足要求5(2013广东理，9)不等式 x2x20 的解集为_答案x|2x1解析由 x2x20，得(x2)(x1)0，2x1，故原不等式的解集为x|2x16不等式 0 x22x35 的解集为_答案x|2x1 或 3x5解析由 x22x30 得：x1 或 x3；由 x22x35 得2x4，2x1 或 3x4.原不等式的解集为x|2x1 或 3x47关于 x 的不等式：x2(2m1)xm2m0 的解集是_答案x|mxm1解析解法一：方程 x2(2m1)xm2m0 的解为 x1m，x2m1，且知mm1.二次函数 yx2(2m1)xm2m 的图象开口向上，且与 x 轴有两个交点不等式的解集为x|mxm1解法二：注意到 m2mm(m1)，及 m(m1)2m1，可先因式分解，化为(xm)(xm1)0，mm1，mxm1.不等式的解集为x|mxm18若集合 Ax|ax2ax10，则实数 a 的取值范围是_答案0a4解析若 a0，则 10 不成立，此时解集为空若 a0，则Error!00，b0 且 ab，试比较 aabb与 abba的大小解析根据同底数幂的运算法则aabbba()ab，aabbabbaab当 ab0 时，1，ab0，ab则()ab1，于是 aabbabba.ab当 ba0 时，0 1，ab1，于是 aabbabba.ab综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabbabba.2已知 a0，b0，ab，nN 且 n2，比较 anbn与 an1babn1的大小解析(anbn)(an1babn1)an1(ab)bn1(ba)(ab)(an1bn1)，(1)当 ab0 时，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，(2)当 0ab 时，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，对任意 a0，b0，ab，总有(ab)(an1bn1)0.anbnan1babn1.3如果 30 x42,16y24.分别求 xy、x2y 及 的取值范围xy解析46xy66；482y32，18x2y10；30 x0 的解集为(，)，求cx22xa0 的解集1312解析由 ax22xc0 的解集为(，)，知 a0，即 2x22x120.解得2x0 的解集为x|2x0；2x13x1(2)0，x.1312故原不等式的解集为x|x 1312(2)0ax(x1)0 时，ax(x1)0 x(x1)01x0，解集为x|1x0；当 a0 时，原不等式的解集为；当 a0 时，ax(x1)0 x0 或 x0，或 x0.解析原不等式可化为(xa)(xa2)0.则方程 x2(aa2)xa30 的两根为 x1a，x2a2，由 a2aa(a1)可知，(1)当 a1 时，a2a.原不等式的解集为 xa2或 xa.(2)当 0a1 时，a2a 或 x0，x0.(4)当 a1 时，原不等式为(x1)20，x1.综上可知：当 a1 时，原不等式的解集为x|xa2；当 0a1 时，原不等式的解集为x|xa；当 a0 时，原不等式的解集为x|x0；当 a1 时，原不等式的解集为x|x1.8画出不等式组Error!表示的平面区域解析不等式 xy60 表示在直线 xy60 上及右上方的点的集合，xy0表示在直线 xy0 上及右下方的点的集合，y3 表示在直线 y3 上及其下方的点的集合，x5 表示直线 x5 左方的点的集合，所以不等式组Error!表示的平面区域为如图阴影部分9经过点 P(0，1)作直线 l，若直线 l 与连结 A(1，2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解析由题意知直线 l 斜率存在，设为 k.则可设直线 l 的方程为 kxy10，由题知：A、B 两点在直线 l 上或在直线 l 的两侧，所以有：(k1)(2k2)01k1.10求 z3x5y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件Error!.解析作出可行域为如图所示的阴影部分目标函数为 z3x5y，作直线 l0：3x5y0.当直线 l0向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点 A(，)的直线 l1所对应的 z 最大类似地，在可行域内，以经过点 B(2，1)的直线 l2所3252对应的 z 最小，zmax17，zmin11，z 的最大值为 17，最小值为11.11某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为 45 个与 55 个，所用原料为 A、B 两种规格金属板，每张面积分别为 2 m2与 3 m2.用 A 种规格金属板可造甲种产品 3 个，乙种产品 5 个；用 B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各 6 个问 A、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？解析设 A、B 两种金属板分别取 x 张、y 张，用料面积为 z，则约束条件为Error!.目标函数 z2x3y.作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示z2x3y 变为 y x，得斜率为，在 y 轴上截距为 且随 z 变化的一族平行直23z323z3线当直线 z2x3y 过可行域上点 M 时，截距最小，z 最小解方程组Error!，得 M 点的坐标为(5,5)此时 zmin253525(m2)答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省.12制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A 药品 3 g、B 药品 4 g、C 药品 4 g，乙种烟花每枚含 A 药品 2 g、B 药品 11 g、C 药品 6 g已知每天原料的使用限额为 A 药品 120 g、B 药品 400 g、C 药品 240 g甲种烟花每枚可获利 2 元，乙种烟花每枚可获利 1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大解析设每天生产甲种烟花 x 枚，乙种烟花 y 枚，获利为 z 元，则Error!，作出可行域如图所示目标函数为：z2xy.作直线 l：2xy0，将直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大此时 z2xy 取最大值故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润13某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务，该公司有8 辆载重为 6t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元，B 型车为 504 元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低解析设每天调出 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，公司所花的成本为 z 元，则由题意知Error!目标函数为 z320 x504y(其中 x，yN)作出可行域如图所示由图易知，当直线 z320 x504y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z320 x504y 取得最小值，zmin320850402560，每天调出 A 型车 8 辆，B 型车 0 辆，公司所花成本费最低14(1)求函数 yx(x3)的最小值；1x3解析：x3，yx(x3)35，1x31x3当且仅当 x3，即 x4 时取等号1x3ymin5.(2)求函数 yx(a2x)(x0，a 为大于 2x 的常数)的最大值；解析：x0，a2x，yx(a2x)2x(a2x)12，122 2xa 2x2a28当且仅当 x 时，取等号，a4ymax.a28(3)已知 x0，y0,2x5y20，求 lg xlg y 的最大值解析：x0，y0,2x5y20，2x5y22100，(2x5y2)(202)xy10，lg xlg ylg(xy)lg 101，当且仅当 2x5y10，即 x5，y2 时上式取等号，当 x5，y2 时，lg xlg y 取最大值，最大值为 1.15 围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如右上图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)(1)将 y 表示为 x 的函数；解析：如图所示，设矩形的另一边长为 a m，则 y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知 xa360，得 a.360 x所以 y225x360(x0)3602x(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用解析：x0，225x210 800.3602x225 3602y225x36010 440.3602x当且仅当 225x时，等号成立3602x即当 x24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10 440强化练习强化练习一 选择题1(20102011内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)已知 a0，1babab2Babaab2Cab2aba Dabab2a答案D解析1bb20b1，即 bb21，两边同乘以 aab2a.故选 D.2如果 a、b、c 满足 cba，且 acac BbcacCcb2ab2 Dac(ac)0答案C解析cba，且 ac0，c0，bcac(ba)c0，ac(ac)0，A、B、D 均正确b 可能等于 0，也可能不等于 0.cb20，b0，可取 a2，b1，a2，b1，abba，排除 A、B、D，选 C.4设 xa0，则下列各不等式一定成立的是()Ax2axa2 Bx2axa2Cx2a2ax Dx2a2ax答案B解析Error!x2axa2选 B.x2axaxa25下列结论中正确的是()ab0，dc0 ，acbdab，cdacbd，ab，ac2bc2abanbn(nN，n1)A BC D答案B解析Error!对；acbdab，cd 不同向不可加，错，c20.ab.对；ac2bc2只有 ab0 时，对任意正整数 n1 才有 anbn，错故选 B.6设 a，b，c，则()27362Acba BacbCcab Dbca答案D解析假设 ab 即，平方得1 成立，ab 排除2732376B、C.又假设 bc，即7362，平方得显然不成立72631418bc 排除 A.7已知：0ab1，xab，ylogba，zlog b，则()1aAzxy BzyxCyzx Dxzy答案A解析ylogbalogbb1,0 xaba01，zlog b0，zxy.1a8若 a，b 是任意实数，且 ab，则()Aa2b2 B.1baClg(ab)0 D()a()b1212答案D解析举反例，A 中 25 但 22(5)2；B 中25 但1；C 中52a5，b4 时，lg(ab)0，故选 D.9如图，在一个面积为 200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽 b 的 4 倍，则表示上面叙述的关系正确的是()Aa4b B(a4)(b4)200C.Error!D.Error!答案C10已知1a0，A1a2，B1a2，C，比较 A、B、C 的大小结果为()11aAABC BBACCACB DBCA答案B解析不妨设 a，则 A，B，C2，由此得 BAC，排除 A、C、D，选125434B.点评具体比较过程如下：由1a0，AB(1a2)(1a2)2a20 得 AB，CA(1a2)11aaa2a11a0，得 CA，BAC.a(a12)2341a11设 ab0，则()Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2ab Dabb2a2答案A解析ab0，0ab，a2abb2.12已知 a2a0，那么 a，a2，a，a2的大小关系是()Aa2aa2a Baa2a2aCaa2aa2 Da2aaa2答案B解析a2a0，0a2a2a，aa2a2a，故选 B.点评可取特值检验，a2a0，即 a(a1)，即aa2a2a，排除 A、C、D，选 B.1414121214141213如果 a0，且 a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，那么()AMN BMNCMN DM、N 的大小无法确定答案A解析a1 时 a31a21，logax 单调递增，loga(a31)loga(a21)；0a1 时，a31a21，logax 单调递减，loga(a31)loga(a21)，故选 A.点评可对 a 取值检验14若 ab0，则下列不等式中总成立的是()A.Ba bbab1a11a1bCa b D.1b1a2aba2bab答案C解析解法 1：由 ab00 b，故选 C.1a1b1b1a解法 2：(特值法)令 a2，b1，排除 A、D，再令 a，b，排除 B.121315若 0，给出下列不等式：abab；|a|b|；ab；2.其中1a1bbaab正确的有()A1 个B2 个C3 个D4 个答案B解析 0，a0，b0，ab，故错；1a1bab0，ab0b，cd，则 acbdB若 ab，cd，则 acbdC若 ab，cd，则 acbdD若 ab，cd，则 acbd答案A解析由不等式的性质知 A 正确点评要注意不等式性质中条件的把握17已知|a|1，则与 1a 的大小关系为()1a1A.1a1a11a1C.1a D.1a1a11a1答案C解析|a|0(1a)011aa21a1a.1a1点评如果 aR，与 1a 的大小关系如何，请尝试探究，体会分类讨论思想11a18若 0ab1，下列不等式中正确的是()Aaaab BbabbCaaba Dbb0，bcad0，0(其中 a，b，c，d 均为实数)用其中cadb两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A0B1C2D3答案D解析设 ab0 为，bcad0 为，0 为，