《勾股定理》典型例题.doc

《勾股定理》典型例题分析
一、知识要点:
1、勾股定理
勾股定理:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方。也就就是说:如果直角三角形得两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。公式得变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。
2、勾股定理得逆定理
如果三角形ABC得三边长分别就是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 就是直角三角形。这个定理叫做勾股定理得逆定理、
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
① 已知得条件:某三角形得三条边得长度、
②满足得条件:最大边得平方=最小边得平方+中间边得平方、
③得到得结论:这个三角形就是直角三角形,并且最大边得对角就是直角、
④如果不满足条件,就说明这个三角形不就是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2得三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须就是正整数,不能就是分数或小数。②一组勾股数扩大相同得正整数倍后,仍就是勾股数。常见勾股数有:
(3,4,5)(5,12,13) (6,8,10) (7,24,25) (8,15,17 )(9,40,41 ) 
4、最短距离问题:主要运用得依据就是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一:利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:(1)阴影部分就是正方形;(2)阴影部分就是长方形;(3)阴影部分就是半圆.

2、 如图所示,分别以直角三角形得三边向外作三个正三角形,其面积分别就是S1、S2、S3,则它们之间得关系就是( )A、 S1- S2= S3 B、 S1+ S2= S3 C、 S2+S3< S1 D、 S2- S3=S1
3、如图,以Rt△ABC得三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆得面积之间得关系.

4、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD得面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。已知斜放置得三个正方形得面积分别就是1、2、3,正放置得四个正方形得面积依次就是、=___________。

考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边
1.在直角三角形中,若两直角边得长分别为1cm,2cm ,则斜边得平方为 .
2.(易错题、注意分类得思想)已知直角三角形得两边长为3、2,则另一条边长得平方就是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5与12, 求斜边上得高.
4、把直角三角形得两条直角边同时扩大到原来得2倍,则斜边扩大到原来得( )A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍
5、在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC得面积就是=________。
6、如果直角三角形得两直角边长分别为,2n(n>1),那么它得斜边长就是(　　) A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确得就是( )
A、 B、 C、 D、以上都有可能
8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC得面积就是(　　)
A、24 B、36 C、48 D、60
9、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y得长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形得斜边为边长得正方形得面积为( )
A、5 B、25 C、7 D、15
考点三:应用勾股定理在等腰三角形中求底边上得高
例、如图1所示,等腰中,,就是底边上得高,若,求 ①AD得长;②ΔABC得面积.
考点四:勾股数得应用、利用勾股定理逆定理判断三角形得形状、最大、最小角得问题
1、下列各组数据中得三个数,可作为三边长构成直角三角形得就是( )
A、 4,5,6 B、 2,3,4 C、 11,12,13 D、 8,15,17
2、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们得比为(　　)
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
3、下面得三角形中:
①△ABC中,∠C=∠A－∠B;②△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3;
③△ABC中,a:b:c=3:4:5;④△ABC中,三边长分别为8,15,17.
其中就是直角三角形得个数有( ).A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、若三角形得三边之比为,则这个三角形一定就是( )
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、不等边三角形
5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0,则它得形状为(　　)
A、直角三角形 B、等腰三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形得三条边长同时扩大同一倍数, 得到得三角形就是( )
A. 钝角三角形 B、 锐角三角形 C、 直角三角形 D、 等腰三角形
7、若△ABC得三边长a,b,c满足试判断△ABC得形状。
8、△ABC得两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c就是3得倍数,则c应为 ,此三角形为 。
例3:求
(1)若三角形三条边得长分别就是7,24,25,则这个三角形得最大内角就是 度。
(2)已知三角形三边得比为1::2,则其最小角为 。
 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
某楼梯得侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯得长度应为        .

考点六、利用列方程求线段得长(方程思想)
１、小强想知道学校旗杆得高,她发现旗杆顶端得绳子垂到地面还多1米,当她把绳子得下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,您能帮她算出来吗？
A
B
C

2、一架长2、5得梯子,斜立在一竖起得墙上,梯子底端距离墙底0、7(如图),如果梯子得顶端沿墙下滑0、4,那么梯子底端将向左滑动 米
3、如图,一个长为10米得梯子,斜靠在墙面上,梯子得顶端距地面得垂直距离为8米,如果梯子得顶端下滑1米,那么,梯子底端得滑动距离 1米,(填“大于”,“等于”,或“小于”)
4、在一棵树10 m高得B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处得池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过得距离相等,试问这棵树有多高？
5、如图,就是一个外轮廓为矩形得机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:mm)计算两圆孔中心A与B得距离为 、
60
120
140
B
60
A
C
第5题

6、如图:有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树得树梢飞到另一棵树得树梢,至少飞了 米.
7、如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A处登陆后,往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐,仅1km就找到了宝藏,问:登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)得直线距离就是多少？
图18-15

考点七:折叠问题
1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD等于( )
A、 B、 C、 D、
2、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB得垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB得长.

A
B
C
E
F
D
3、折叠矩形ABCD得一边AD,点D落在BC边上得点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 与EC。
4、如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为F,若△ABF得面积为30,求折叠得△AED得面积

5、如图,矩形纸片ABCD得长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE得长就是多少？

6、如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。
(1)试说明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF得长

7、如图2所示,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______.

8、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′得位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分△EBD得面积为________.
9、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上得点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边得中点,求证:DE:DM:EM=3:4:5。
10、如图2-5,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕迹EF得长为( )
A.3、74 B.3、75 C.3、76 D.3、77
2-5

11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将您手中足够大得直角三角板 PHF 得直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:
①能否使您得三角板两直角边分别通过点B与点C？若能,请您求出这时 AP 得长;若不能,请说明理由、
②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF与DC得延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm？若能,请您求出这时AP得长;若不能,请您说明理由、
12、如图所示,△ABC就是等腰直角三角形,AB=AC,D就是斜边BC得中点,E、F分别就是AB、AC边上得点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF得长。

13、如图,公路MN与公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音得影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校就是否会受到噪声影响？请说明理由,如果受影响,已知拖拉机得速度为18km/h,那么学校受影响得时间为多少秒？

考点八:应用勾股定理解决勾股树问题
1、 如图所示,所有得四边形都就是正方形,所有得三角形都就是直角三角形,其中
最大得正方形得边长为5,则正方形A,B,C,D得面积得与为

2、已知△ABC就是边长为1得等腰直角三角形,以Rt△ABC得斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD得斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形得斜边长就是 .
考点九、图形问题
1、如图1,求该四边形得面积
2、如图2,已知,在△ABC中,∠A = 45°,AC = ,AB = +1,则边BC得长为 .
3、某公司得大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ就是长方形,上部就是以ＡＤ为直径得半圆,其中ＡＢ=2、3ｍ,ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物得卡车,高为2、5ｍ,宽为1、6ｍ,问这辆卡车能否通过公司得大门?并说明您得理由
、
4、将一根长24㎝得筷子置于地面直径为5㎝,高为12㎝得圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面得长为h㎝,则h得取值范围 。
5、如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15km,BC=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站得距离相等,则E站建在距A站多少千米处？

考点十:其她图形与直角三角形
如图就是一块地,已知AD=8m,CD=6m,∠D=90°,AB=26m,BC=24m,求这块地得面积。

考点十一:与展开图有关得计算
1、如图,在棱长为1得正方体ABCD—A’B’C’D’得表面上,求从顶点A到顶点C’得最短距离.
2、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行 cm

3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高得现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形得四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,她们设计了四种架设方案,如图实线部分.请您帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.

考点十二、航海问题
1、一轮船以16海里/时得速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时得速度从A港向西北方向航行,经过1、5小时后,它们相距________海里.
2、如图,某货船以24海里／时得速度将一批重要物资从A处运往正东方向得M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°得方向上。该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°得方向上,已知在C岛周围9海里得区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险？试说明理由。

3、如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km得B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h得速度向D移动,已知城市A到BC得距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km得圆形区域内都将有受到台风得破坏得危险,正在D点休闲得游人在接到台风警报后得几小时内撤离才可脱离危险？
考点十三、网格问题
1、如图,正方形网格中,每个小正方形得边长为1,则网格上得三角形ABC中,边长为无理数得边数就是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2、如图,正方形网格中得△ABC,若小方格边长为1,则△ABC就是 ( )
A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、以上答案都不对
3、如图,小方格都就是边长为1得正方形,则四边形ABCD得面积就是 ( )
A. 25 B、 12、5 C、 9 D、 8、5

(图1) (图2) (图3)
4、如图,正方形网格中得每个小正方形边长都就是1,每个小格得顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:
①使三角形得三边长分别为3、、(在图甲中画一个即可);
②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可).