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勾股定理培优分类精选
根据对称求最小值
基本模型：已知点A、B为直线 m 同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。

2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，
使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线 a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线 a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）
A． 6 B．8 C．10 D．12

4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5．
（1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；
（2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
5、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45° ，∠BAD=∠B=90° ，AD=3 ，CD=2 ，
M为 BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为 ．
6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，则EM+BM的最小值为 ．

7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm

10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.

几何体展开求最短路径
1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？

2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)

4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

5、 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。

折叠问题
1、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

2、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点
A′处；（1）求证：B'E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a、b、c之间的一种关系，并给予证明

3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，
使点B与点A重合，折痕为DE，则CD= 。
4、如图，折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的D′处，AE是折痕，已知CD=6cm，CD'=2cm，则AD的长为 .
5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（　　）
A、5 B、5－5 C、10－5 D、5 +

6、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，求重合部分△EBD的面积。

弦图有关问题
1、如图，直线 l上有三个正方形 a、b、c ，若 a、c的面积分别为5和11，则b 的面积为（　　）
A、4 B、6 C、16 D、55

2、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么(a+b)2 的值为（ ）
A、13 B、19 C、25 D、169
3、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1 、S 2、S 3，则S1 、S 2、S3 之间的关系是（ ）
A、S1+S 2>S3 B、S1 +S 2<S3 C、S1 +S2=S3 D、S12 +S22 =S32
4、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为 。
5、已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．
6、如图，Rt△ABC 的周长为(5+3 ) cm，以 AB、 AC为边向外作正方形ABPQ 和正方形ACMN ．若这两个正方形的面积之和为25cm2 ，则 △ABC的面积是 cm2.

7、在直线 l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1 ，S2，S3． 若S1+S2+S3＝10，则S2的值是 。
9、如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线
l1、l2、l3上，且 l1、l2之间的距离为2 , l2、l3之间的距离为3 ,求AC的长。

勾股定理的证明
1、 将直角边长分别为 a、b，斜边长为 c的四个直角三角形拼成一个边长为 c的正方形，请利用该图形证明勾股定理。

2、将直角边长分别为 a、b，斜边长为 c的四个直角三角形拼成一个边长为 a+b 的正方形，请利用该图形证明勾股定理。

2、 以a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。

4、已知,如图所示,正方形ABCD的边长为1, G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合）,
以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.
（1）求证:①ΔBCG≌ΔDCE ②HB⊥DE
（2）试问当G点运动到什么位置时, BH垂直平分DE?请说明理由.

勾股定理中考典型题目练习
1、（2017•山东枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）
剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最
短距离为 cm．

2、（2018•山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．
3、（2014•乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则CD的长为（　　）
A． B． C． D．

4、（2017•湖北荆门）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）
A．4 dm B．2 dm C．2 dm D．4dm
5、(2018•黑龙江牡丹江)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于 cm．
6、（ 2018•安徽省）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 。

7、（2017年山东泰安）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处如图③，则折痕DE的长 。
8、(2018山东菏泽)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别
为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）
A．16　 　 B．17　　 C．18　 　D．19

9、（2018•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC
中点，若动点E以1cm /s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为
t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）
A． 2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
10．（2018湖北省鄂州市）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，
点B到直线 b 的距离为3，AB=2．试在直线 a上找一点M，在直线b上找一点N，满足
MN⊥a 且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）
A． 6 B．8 C．10 D．2
11、（2017湖北省鄂州市，）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆
时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为　 　．

12、(2016四川省南充市）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形
ABCD的面积是24cm2，则AC长是 cm.
13、(2017重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为
2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当
AE＝ 米时,有DC 2＝AE 2＋BC2 .
14、（2017内蒙古呼和浩特市）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.
则BD的长为 （ ）
A. B. C. 3 D. 2
15、（2017贵州遵义）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶
点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是 。

16、（2018辽宁丹东市）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．
17、（2018 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于 ．
18、（2018年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕 n 圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
19、 如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（ ）
A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米

20、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．3
21、在△ABC中，已知AB=20,AC=15,BC边上的高AD为12，求△ABC的面积。

22、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

23、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点落在BC边的中点E处，点A落在F处，
折痕为MN，求折痕MN的长度。

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