高等代数最重要的基本概念汇总.doc

第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。定义2 设F是一个数环。如果 （i）F是一个不等于零的数； （ii）如果a、bF,，并且b，那么就称F是一个数域。定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ， 是非负整数而都是R中的数。 项式中，叫作零次项或常数项，叫作一次项，一般，叫作i次项的系数。 定义2 若是数环R上两个一元多项式和有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说和就说是相等 定义3 叫作多项式，的最高次项，非负整数n叫作多项式，的次数。定理2.1.1 设和是数环R上两个多项式，并且，那么 当时， 。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1） 加法交换律： ；2） 加法结合律： ；3）乘法交换律： ；4） 乘法结合律： ；5） 乘法对加法的分配律： 。推论2.1.1 当且仅当和中至少有一个是零多项式推论2.1.2 若，且，那么2.2 多项式的整除性设F是一个数域。是F上一元多项式环定义 令和是数域F上多项式环的两个多项式。如果存在的多项式，使，我们说，整除（能除尽）。多项式整除的一些基本性质：1） 如果，那么2） 如果，那么3） 如果，那么对于中的任意多项式来说，4） 果那么对于中任意 5） 次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。6） 每一个多项式都能被整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。7） 如果，那么，这里c是F中的一个不等于零的数设，是两个任意的多项式，并且。那么可以写成以下形式，这里，或者的次数小于的次数。定理2.2.1 设和是的任意两个多项式，并且。那么在中可以找到多项式和，使 （3） 这里或者，或者的次数小于的次数，满足以上条件的多项式只有一对。设数域含有数域而和是的两个多项式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。1） 定义1 假定是和的任一公因式，那么由 中的第一个等式，也一定能整除。同理，由第二个等式，也一定能整除。如此逐步推下去，最后得出能整除，这样，的确是和的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义2 设以除时，所得的商及余式，比较两端同次幂的系数得，这种计算可以排成以下格式 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。2.3 多项式的最大公因式设F是一个数域。是F上一元多项式环定义1 令设和是的任意两个多项式，若是的一个多项式同时整除和，那么叫作与的一个公因式。定义2 设是多项式与的一个公因式。若是能被与的每一个公因式整除，那么叫作与的一个最大公因式。定理2.3.1 的任意两个多项式与一定有最大公因式。除一个零次因式外，与的最大公因式是唯一确定的，这就说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积c 也是与的一个最大公因式；而且当与不完全为零时，只有这样的乘积才是与的最大公因式。从数域F过度渡到数域时，与的最大公因式本质上没有改变。定理2.3.2 若是的多项式与的最大公因式，那么在里可以求得多项式，使以下等式成立： （2）。注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令，那么以下等式成立：但显然不是与的最大公因。定义3 如果的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。定理2.3.3 的两个多项式与互素的充要条件是：在中可以求得多项式，使（4） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：若多项式与都与多项式互素，那么乘积也与互素。若多项式整除多项式与的乘积，而与互素，那么一定整除。2） 若多项式与都整除多项式，而与互素，那么乘积也整除最大公因式的定义可以推广到个多项式的情形：若是多项式整除多多项式中的每一个，那么叫作这n个多项式的一个公因式。若是的公因式能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么叫作的一个最大公因式。 若是多项式的一个最大公因式，那么是多项式的最大公因式也是多项式的最大公因式。若多项式除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。2.4 多项式的分解定义1 的任何一个多项式，那么F的任何不为零的元素c都是的因式，另一方面，c与的乘积c也总是的因式。我们把这样的因式叫作它的平凡因式，定义2 令是的一个次数大于零的多项式。若是在只有平凡因式，说是在数域F上（或在中）不可约。若除平凡因式外，在中还有其他因式，就说是在F上（或在中）可约。 如果的一个n（n0）次多项式能够分解成中两个次数小于n的多项式的乘积：（1） ，那么在F上可约。 若是在中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么在F上不可约。 不可约多项式的一些重要性质：1） 如果多项式不可约，那么F中任一不为零的元素c与的乘积c也不可约。2） 设是一个不可约多项式而是一个任意多项式，那么或者与互素，或者整除。3） 如果多项式与的乘积能被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被 整除。4） 如果多项式的乘积能被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被整除。定理2.4.1 的每一个n(n0)次多项式都可以分解成的不可约多项式的乘积。定理2.4.2 令是的一个次数大于零的多项式，并且 此处与都是的不可约多项式，那么，并且适当调换的次序后可使此处是F上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。形如 的多项式叫作多项的典型分解式，每一个典型分解式都是唯一确定的。2.5 重因式定义 的多项式 的导数或一阶导数指的是的多项式 一阶导数的导数叫作的二阶导数，记作，的导数叫作的三阶导数，记作，等等。的k阶导数也记作。 关于和与积的导数公式仍然成立：（1） （2） （3） 定理2.5.1 设是多项式的一个重因式。那么是的导数的一个k-1重因式。定理2.5.2 多项式没有重因式的充要条件是与它的导数互素。2.6 多项式函数 多项式的根 设给定了1R的一个多项式 和一个数cR,那么在的表示式里，把用c来代替，就得到R的一个数 这个数叫作当时，的值，并且用来表示。对于R上的每一个数c，就有R中唯一确定的数与它对应。就得到R与R的一个影射。这个影射是由多项式所确定的，叫作R上的一个多项式函数。定理2.6.1 设，用除所得的余式等于当时的值定义 令是的一个多项式而c是R中的一个数，若是当时的值，那么c叫作在数环R中的一个根。定理2.6.2 数c是的根的充要条件是能被整除。定理2.6.3 设是中一个次多项式。那么在R中至多有n个不同的根。定理2.6.4 设是的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以R中n+1个或更多不同的数来代替时，每次所得的值都相等，那么。定理2.6.5 的两个多项式相等，当且仅当她们所定义的R上多项式函数相等。 这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。2.7 复数和实数域上多项式定理2.7.1 （代数基本定理） 任何次多项式在复数域中至少有一个根。定理2.7.2 任何次多项式在复数域中有n个根（按重根重数计算）。复数域C上任一次多项式可以在里分解为一次因式的乘积。负数域上任一次大于1的多项式都是可约的。定理2.7.6 若实数多项式有一个非实的复数根，那么的共轭数也是的根，并且有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两成对。定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。2.8 有理数域上多项式 令是整数环Z上的一个次多项式。如果存在，它们的次数都小于n，使得， （1）那么自然可以看成有理数域Q上的多项式。等式（1）表明，在中是可约的。定义 若是一个整系数多项式的系数互素，那么叫作一个原本多项式。引理2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。定理2.8.1 若是一个整系数次多项式在有理数域上可约，那么总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设 是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得（i）最高次项系数不能被p整除；（ii）其余各项都能被p整除；（iii）常数项不能被整除，那么多项式在有理数域上不可约。有理数域上任意次的不可约多项式都存在。定理2.8.3 设是一个整系数多项式。若是有理数是 的一个根，这里和是互素的整数，那么 （i）整除的最高次项系数，而整除的常数项； （ii），这里是一个整系数多项式。2.9 多元多项式在这一节里，R总表示一个数环，且令是n个文字，形如的表示式。其中是非负整数，叫作R上的一个单项式。数a叫作这个单项式的系数，如果某一，那么可以不写，约定。因此，个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式。特别，当时，我们有。形式表达式，是非负整数，叫作R上n个文字的一个多项式，或简称R上一个n元多项式。 我们通常用符号，等来表示R上n个文字的多项式。定理2.9.1 数环R上的两个n元多项式与的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。定理2.9.2 数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理2.9.3 设是数环R上的一个n元多项式，如果对于任意都有，那么推论2.9.1 设与是数环R上n元多项式，如果对于任意都有，那么换句话说，如果由与确定的多项式函数相等，那么这两个多项式相等。2.10 对称多项式定义1 设是数环R上的一个n元多项式，如果对于这n个文字的指标集施行任意一个置换后，都不改变，那么就称是R上一个n元对称多项式。定义2 （1），这里表示 中k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然都是n元对称多项式。我们称这n个多项式为n元对等对称多项式。引理2.10.1 设是数环R上一个n元对称多项式，以代替，得到关于的一个多项式。如果，那么一切系数，即定理2.10.1 数环R上一n元对称多项式都可以表示成初等对称多项式的系数在R中的多项式，并且这种表示法是唯一的。推论2.10.1 设是数域F上的一个一元n次多项式，它的最高次项系数是1。令是是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么的每一个系数取自F的对称多项式都是的系数的多项式（它的系数在F内）因而是F的一个数。第三章 行列式3.2 排列定义1 n个数码1，2，n的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组，叫做数码的排列。定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数）。一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇数个逆序数的排列叫作一个奇排列。定义3 如果把这个排列里任意两个数码交换一下，而其余的数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号来表示。定理3.2.1 设和是n个数码的任意两个排列，那么 总可以通过一系列对换由得出。定理3.2.2 每一个对换都改变排列的奇偶性。定理3.2.3 时，n个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为个。3.3 n阶行列式我们用符号来表示排列的逆序数。定义1 用符号 表示的n阶行列式指的是项的代数和，这些项是一切可能取自的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积。项的符号为，也就是说，当是偶排列时，这一项的符号为正，当是奇排列时，这一项的符号为负。定义2 n阶行列式 如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式 叫作D的转置行列式。引理3.3.1 从n阶行列式的第行和列取出的元素作积，这里和都是1，2，n这n个数码的排列，那么这一项在行列式中的符号是命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等。命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。推论3.3.1 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。命题3.3.3 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘以这个行列式。推论3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。推论3.3.3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。命题3.3.4 设行列式D的第i行的所有元素都可以表示成两项的和：那么D等于两个行列式的和，其中的第i行的元素是，的第i行元素是，而的其他各行都和D的一样。命题3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。3.4 子式和代数余子式行列式的依行列展开定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列。位于这些行列式的相交处的元素所构成的k阶行列式叫作行列式D的一个k阶子式。定义2 阶行列式 的某一元素的余子式指的是在D中划去所在的行和列后所余下的阶子式。定义3 n阶行列式D的元素的余子式附以符号后,叫作元素的代数余子式。元素的代数余子式用符号来表示：。定理3.4.1 若在一个n阶行列式 中，第行（或第列）的元素除都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积： 定理3.4.2 行列式D等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。换句话说，行列式有依行或依列展开式：定理3.4.3 行列式 的某一行(或列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零。换句话说，3.5 克拉默法则设给定了一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 利用的系数可以构成一个n阶行列式，这个行列式叫作方程组的行列式。定理3.5.1 （克拉默Cramer）法则)一个含有n个未知量的n个方程的线性方程组当它的行列式时，有且仅有一个解，此处的是把行列式的第列的元素换以方程组的常数项而得到的n阶行列式。第四章 线性方程组4.1 消元法定义 我们对线性方程组施行这三个初等变换： (i) 交换两个方程的位置；(ii) 用一个不等于零的数乘以某个方程；(iii) 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程；叫作线性方程组的初等变换。定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。定义1 由个数排成的一个s行和t列的表 叫作一个s行t列（或）矩阵。叫作这个矩阵的元素。定义2 矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： （i）交换矩阵的两行（或列）；（ii）用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；（iii）用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。定理4.1.2 设A是一个m行n列的矩阵：通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式： 进而化为以下形式： 这里表示矩阵的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必相同。4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法定义1 在一个s行t列的矩阵中，任意取k行k列。位于这些行列式的交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式。定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于领的子式，就认为这个矩阵的秩是；零。定理4.2.1 初等变换不改变矩镇的秩。定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组有解的充要条件是：它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。定理4.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r，那么r等于方程组所含有未知量的个数n时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多个解。4.3 线性方程组的公解定理4.3.1 设方程组有解，它的系数矩阵A和增广矩阵共同秩是。那么可以在的m个方程中选出r个方程，使得剩下的个方程中的每一个都是这r个方程的结果，因而解方程组可以归结为解这r个方程所组成的线性方程组。定义3 若是一个线性方程组的常数项等于零，那么这个方程组叫作一个齐次线性方程组。定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。推论4.3.1 含有n个未知量的n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组的系数行列式等于零。4.3.2 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有非零解。4.4 结式和判别式定理4.4.1 如果多项式 ， 有公共根，或者，那么它们的结式等于零。定理4.4.2 设 是复数域C上多项式。是它们的结式。（i）如果，而是的全部根，那么 （ii）如果，而是的全部根，那么。 定理4.4.3 如果多项式的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公共根。第五章 矩阵5.1 矩阵的运算定义 令F是一个数域。用F的元素作成的一个m行n列的矩阵 叫作一个F上的矩阵。A也简记作，为了指明A的行数和列数，有时也把它记作。定义1 数域F上的一个矩阵的乘积aA指的是矩阵。求数与矩阵 的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。定义2 两个矩阵，的和A+B指的是矩阵。求两个矩 阵的和的运算叫作矩阵的加法。注意：我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要的特例是 数列的运算我们把由F的n个数所组成的数列叫作F上的一个n元数列。这样的一个n元素列可以理解为一个一行n列矩阵，也可以理解为一个n行一列矩阵，这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得到F的数与n元数列的乘法以及两个n元数列的加法：，由定义1和定义2，得出以下运算规律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B)= aA+Bb；(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;这里A，B，和C表示任意矩阵，而a和b表示F中的任意数。利用负矩阵我们定义矩阵的减法： A-B=A+（-B），于是有 。定义3 数域F上的矩阵与矩阵的乘积AB指的是这样的一个矩阵，这个矩阵的第行和第列的元素等于A的第行的元素与B的第列的对应元素的乘积的和：这个乘法可以图示如下： = 矩阵乘法满足结合律： （AB）C=A（BC）定义 我们把主对角线（从左上脚到右下脚的对角线）上元素都是1，而其他元素都是0的n阶方阵 叫作n阶单位矩阵，记作，有时简记作。有以下性质： 矩阵的乘法和加法满足分配律： ，。矩阵的乘法和数与矩阵的乘法显然满足以下运算规律： 。定义4 设矩阵 把A的行变为列所得到的矩阵 叫作矩阵A的转置。矩阵的转置满足以下规律：5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式定义 令A是数域F上的一个n阶矩阵，若是存在F上的一个n阶矩阵B，使得，那么叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B叫作A的逆矩阵。定义 我们把以下三种矩阵叫作初等矩阵：初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩仍然是初等矩阵。引理5.2.1 设对矩阵A施行一个初等变换后，得到矩阵，那么A可逆的充要条件是可逆。定理5.2.1 一个矩阵A总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵：这里是r的单位矩阵，表示的零矩阵，r等于A的秩。当等于单位矩阵I时，可逆。因为I本身就是I的逆矩阵。当不等于I时，至少有一个元素全是零的行，因而用任意一个n阶矩阵B右乘时，所得的乘积中也至少有一个元素全是零的行，所以不可逆。定理5.2.2 n阶矩阵A可逆，当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。定理5.2.3 n阶矩阵A可逆，当且仅当A的秩等于n。定义 我们把n阶矩阵 的唯一的n阶子式 叫作矩阵A的行列式，记作。定理5.2.4 n阶矩阵A可逆，当且仅当它的行列式。求逆矩阵的方法：1） 通过行初等变换把可逆矩阵A化为单位矩阵I时，对单位矩阵I施行同样的初等变换，就得到A的逆矩阵。2） 从行的性质的来的。设阶矩阵 。定义 我们把 矩阵叫作矩阵A的伴随矩阵。引理5.2.2 一个n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为一个对角矩阵 并且。定理5.2.5 设A，B是任意两个n阶矩阵。那么。定理5.2.6 两个矩阵乘积的秩不大于每一因式的秩。特别，当有有一个因子是可逆矩阵说，乘积的秩等于另一个因子的秩。5.3 矩阵的分块定义 设A是一个矩阵 我们可以如下地把它分成四块： 用这种方法被分成若干小的矩阵叫作一个分块矩阵。根据矩阵的加法，和数与矩阵的乘法的定义，如果A，B是两个矩阵，并且对A,B都用同样的方法来分块： ，而是一个数，那么， ，两个同类型的矩阵A，B，如果按同一种分法进行分块，那么A与B相加时只需把对应位置的小块相加。定义 分块乘法就是在计算AB时，把各个小块看成矩阵的元素，然后按照通常矩阵的乘法把它们相乘。用式子表示如下： 注意：上面A的列的分法和B的行的分法是一致的，所以，有意义，都是矩阵，因而，是一个矩阵，同样也是矩阵，这样结果是一个矩阵。一般的说，设A是一个矩阵，是一个矩阵。把A和B如下分块，使A的列的分法和B的行的分法一致：这里矩阵右面的数和分别表示它们的左边的小块矩阵的行数，而矩阵上面的数和分别表示它们下边的小块矩阵的列数，因而那么就有 这里24