共直角顶点的两个相似直角三角形结构的拓展及思考.pdf

数学之友2023年第11期共直角顶点的两个相似直角三角形解题探索结构的拓展及思考陈磊（苏州市沧浪中学校，江苏苏州，2 15 0 0 0）摘要：几何模型及其二级结论在中高考中屡次出现.本文通过在七年级期末复习时一个压轴填空的研究，借助几何画板探索了共直角顶点的两个相似直角三角形的结构及其拓展结论，并在探索过程中分享了一些对几何模型的教学思考.关键词：几何模型；相似直角三角形；拓展义务教育课程标准（2 0 2 2 年版）将几何直观M作为数学课程要培养的学生核心素养“数学眼光”的重要组成部分，在初中数学中，几何直观不再是一种“行为”,而是“意识与习惯”,是核心素养的一种具口EHGGEA体表现 .而初中数学的平面几何知识正是将几何直观的培养与具体教学内容建立联系的重要载体.通过图形的运动感受图形之间的关系，从动态的角度理解图形.平面几何是极为重要的构成部分，几何模型是帮助学生进行平面几何学习的有效载体，能促进学生几何学习的高效化.近年来，几何模型及其二级结论在中高考中屡次出现.因此对一些经典的几何模型进行积累和教学是极其重要的.笔者在七年级期末复习阶段的复习试卷上遇到了一个几何问题，学生的作答情况很不理想，因而通过几何画板进行了相关的研究并记录.1引子：遇见好题1.1题根如图1,在ABC中，AD是BC边上的高，ZFAB=ZGAC=90,AF=AB,AG=AC,连接FG,交DA的延长线于点E,连接BG,CF（如图2）.则下列结论:BG=CF;BG 1 C F;ZE A F=ZA BD;EF=EG.其中正确的有GEBD图178_数学之友BD图3简答：结论属于“手拉手”模型中的常规题型,由AFC兰ABG(SAS）即可证明得到结论.结论找“8 字模型”即可证得.结论中ZEAF和ZABD都是ZBAD的余角，也易得它们相等.结论简证如下：过F作FN工DE，垂足为N,过G作GM工DE，交DE的延长线于M（如图3）.在直线DE左侧可证得FANA BD（A A S），进而得到FN=AD,同理，在直线DE右侧可证得AMGCD A（A A S），进而得到GM=AD,因此 FN=GM,这为新的三角形全等提供了条件，即可证得FEN兰G E M（A A S），从而顺利得到EF=EG,即E为线段FG的中点.故本题正确答案为.1.2学生作答分析学生对结论的掌握还是可以的，但有一部（填序号）.分学生没有选，当笔者评讲完后学生又觉得十分G简单，后悔自己没有看出来，这说明复杂图形让很多E学生产生了困扰，学生难以从复杂图形中抽丝剥茧筛选出需要的条件.几乎所有学生对结论都有疑惑，一些学生通过直尺的测量也得到了正确的结论，不失为解小题目的一种方法.本学期因教学进度紧BD张，关于全等的知识没有补充详尽，如本题结论出图2现的联想构造一线三等角的几何模型，学生对此并不敏感，因此出现了没有找到辅助线导致不会证明BD图4数学之友的情况,这也在情理之中.笔者在几何画板中通过改变条件对这个问题继续研究，发现本模型中还存在着一些很好的结论.将一个问题扩展到一类问题并把它们研究清楚更有利于我们对问题本质的认识和理解.1.3题根的新结论求证：FAG的面积和ABC的面积相等,即SAFAG=SABC法一：本题如果知道三角形两边及其夹角的面积公式，即可得SAFAC1-AFAGsinZFAG,而21-ABAC sinZBAC.又AF=AB,AG=AC,SAABC2ZBAC+ZFAG=180,所以 sinFAG=sinZBAC.显然SAFAC=SAABC.法二：过B作BPIAC,垂足为P,过F作FQ1AG,交GA的延长线于Q（如图4）.因为SFAC=1AGFQ,SAABC2形的底AG=AC，只需证明他们的高相等.可证FA Q BA P(A A S）,从而得到FQ=BP,从而证得面积相等.2拓展：图形深化在上面的问题中两个直角三角形是相似的等腰直角三角形，当我们把条件改成相似的非等腰直角三角形,在顺相似和逆相似两种情况下，上述四个结论是否仍然成立？又或者是否有类似的结论成立呢？2.1 拓展 1如图5,在A FB 和ACG 中，ZFAB3=AFACZ GAC=90=m，在ABC中,AD是边BCABAG上的高,连接FG,交DA的延长线于点E，连接BG,CF(如图6).思考以下五点：FBBG 与CF是否有关系？如图5，此时可证明2023年第11期CFAFACFA C BA G.因此m.BGABAGBG I CF成立吗？显然我们由中的相似可得到LAFC=LABG,再寻找“8 字模型”即可证得BGICF仍然成立.ZE A F=LA BD 显然成立，证明方法同题根.E F与EG显然不相等，如图6,那么它们有何关F系呢？与题根采用相同的添加辅助线的方式，如图7,采用与题根相同的思考方法，B此时题根中的全等不复存在，但是我们很容易想到相似.事实如此吗？由FANA BD 以及GAMFNAFA CD 分别可得=以及ADABFN=m AD,AD=mGM.然而又因为FENEFFN1-ACBP,我们发现这两个三角2EFACBDC图5图6M八DC图7AD AC=m,所以GMAGG E M,所以m.即EF与EG的比值是两EGGM个直角三角形的相似比的平方.FA G 的面积和ABC的面积有何关系？由题目中的条件可得AFAG=ABAC,LBAC+ZFAG=180与题根的法一相同,用三角形两边及其夹角的面积公式易得SAFAC=SAABC.当然在初中阶段题根的法二更适用,证明方法类似,不再赘述,2.2拓展2如图8,在AFB和A C G 中,ZFAB=GAC=FAFAG90=k,在 ABCABAC中,AD是边BC上的高,连接FG,交DA的延长线于点E,我们仍然探究以下五点：MGAG口BD图9中因FAC和BAG的相似结论不复存在,因此BG与CF的数量关系和位置关系也就不复存在，我们从几何画板的动画中很容易发现数量和2023.11_79GEBD图：GEFKA口QBD图10P数学之友位置的关系是不断变化的ZE A F=ZA BD 显然同上依然成立.EF与EG的数量关系又如何呢？如图9,由FA NA BD 以及GAMA C D 分别可得FNAF=以及ADABkAD,则FN=GM.然而又因为FENG E M,所2023年第11期于F,若ZEFA=ZAEB,延长FE交BC于G,求证：BG=CG.BGM_AG=k,所以FN=kAD,GM=ADACBEMH以EF=EG仍然成立.FA G 的面积和ABC的面积的关系呢？此时题根的法一法二均适用,这里采用法二的作辅助线法来解决.过B作BP1AC，垂足为P，过F作FQ工AG,交GA的延长线于Q（如图10).因ZBAC+ZFAG=180,ZFAQ+ZFAG=180,可得ZFAQ=LBAP，再由一对直角ZFQA=LBPA可证FA Q BA P,从而得到=k,所BPAB以FQ=kBP,AG=kAC.因为SAFAc1SABCACBP,所以 SAFAG=k2S ABC-即FAG2的面积和ABC的面积的比值是两个直角三角形的相似比的平方。3链接中考【感知】（2 0 2 0 宿迁题2 7)如图11,在四边形ABCD中，ZC=ZD=90,点E在边CD上,LAEB=90,求证：AEDEEBCBBCEAD图11【探究】如图12,在四边形ABCD中，LC=LADC=90，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上,ZFEG=ZAEB=90,且连接BG交CD思路.GEEB于 H,求证:BH=GH.【拓展】如图13，点E在四边形ABCD内，AEDEZAEB+ZDEC=180,且,过E作EF交ADEBECA本题的前两问是容易解决的,第二问属于逆相似的类型，方法和拓展2 完全一致.第三问正是本类型的一般情况,相信在本模型认知的基础上，学生也容易解决.下谈第三问，尝试用模型方法解决，即构造F2_AF=k.又AC1AGFQ,2BHEADF图12EF_AEDF图13AG一线三等角.如图14,由题意得乙CED=ZDFE（等角的补角相等），在FG上取点N，使得ZBNE=ZEFA=AEB，在FG的延长线上取点M，使得ZCME=ZCED=ZDFE,在直线FG的两侧易证得E BNA E F以及ECMD E F,进而得到EFAEEFDEBNEB和CMEC再结合条件EBEC可得BNEF则BN=CM,这同样为全等提供了条件,则可证CM得BNGCM G,从而BG=CG得证.4思考4.1几何模型的积累是模式识别的前提在数学学习中，我们通过对所积累的知识经验进行必要的加工，得出具有长久保存价值的相对固定的题型结构和解题策略，可以成为引领我们进行解题分析的基本模式，当我们遇到一个新问题时,先辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已经解决的问题,检索相应的方法来加以解决 2 .模式识别这一解题策略体现了化归思想，有时遵循化陌生为熟悉的情形,有时遵循将问题分解为若干基本问题后再解决的策略.无论是何种策略，模型积累重要性都是显而易见的.我们只有在积累了几何模型之后,才会在遇到新问题时有想法和4.2几何模型需要探索精神我们上面讨论的图形都是共顶点的两个相似的直角三角形的结构，如果我们把直角三角形去掉,换(下转第8 3 页）AAEDEF图14DEF80_数学之友数学之友科)第2 8 题的题干,以证明题的形式加以呈现.以上问题也是在这“陈题”的基础上加以特殊化处理，作为填空题来设置,回归了问题本质.在这一问题中,对于椭圆98=1,取a=3,b=2/2,可得知。的取值范围是334变式拓展基于椭圆情景的数学问题,开拓并转化为其他的圆锥曲线类型,也有类似的变式与应用问题，变式1已知抛物线y=4x,A,B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点P（o，0）,则o的取值范围是解析：设A(x1,y）,B(x 2,y 2）,线段AB的中点为Q(m,n),则xj+x2=2m,yi+y2=2n.因为线段AB的垂直平分线与x轴相交，故直线AB不垂直于轴,即xi2,则知m0,n0.又A,B是抛物线上的两点，所以=4x1，=4x2,以上两式对应相减，可得（yi+y）（y i-y 2）=4(-x2),即2=_ 4_ 2,xi-x2yi+y2n那么线段AB的垂直平分线方程为y-n=(x-m),令 y=0,可得xo=m+22,2即x的取值范围是（2，+），故填答案：(2,+8).2023年第11期以上问题的解析除了“点差法”的使用外，还可以利用其他的思维方法来处理，这里不多叙述.对相应的问题,同样也可以得到以下更具一般性的结论【结论2 已知抛物线y=2px（p 0），A,B是抛a3，即物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于P(o,0）,则x的取值范围是（p,+）.5教学启示5.1基于问题创设,有效考查能力探求圆锥曲线中的元素（离心率、直线斜率等）、点的坐标、参数值或相应的代数式等的取值范围或最值问题，能有效发现解析几何中相关点、直线、圆、圆锥曲线等相关要素与知识之间的内在联系与变化规律,从而加强对相关内容的有效综合与合理转化，进而正确理解并掌握相关的知识与破解方法，实现数学解题能力与应用能力的提高.5.2基于“一题多解”,有效培养素养波利亚曾说过：“掌握数学就是意味着善于解题.”“一题多解”可以很好培养学生的数学逻辑思维能力，教师应注重将“一题多解”的意识渗透到数学课堂解题教学中。而借助“一题多解”，从不同思维视角切入，展示不同的解答方法的过程中可以提升学生的数学思维能力,基于此开拓学生思维,进行“一题多变”,进而实现“一题多得”“一题多思”，“一题多变”,真正提升学生思维的发散性与开拓性，全面开拓学生的视野,提升其数学能力与数学品质,培养学生的核心素养。（上接第8 0 页）成其他的特殊三角形（如等腰三角形、等边三角形），又会有什么类似的结论呢？这些都是值得思考的.进一步地,如果仅仅是两个相似的普通三角形又如何呢？其实宿迁的这个中考题已经给了我们答案.在数学教学中我们需要这种从特殊到一般的数学思想，去猜想一些结论进而去求证，众所周知,近年以来，一些情境化的问题考查越来越热门,这些问题往往要求学生在考场上现场读懂题意，学习新知识，进而运用到接下来的问题解决中,探索的意味十分浓厚.在培养学生的探索精神之前,教师应在平时的解题中发挥探索精神,进而将探索精神渗透给学生，逐步培养学生探索的意识并教会他们探索的方式方法，参考文献：1 中国教育科学研究院基础教育课程教材研究中心.义务教育课程标准（2 0 2 2 年版）课例式解读 M.北京：教育科学出版社,2 0 2 2:6 3.2王怀学.从一种数学模型的探究谈模式识别的“立”与“破”J.中学数学月刊,2 0 12(5）：12-14.2023.11_83