高逼近阶对偶框架的迭代算法.pdf

2023年11月Nov.2023文章编号：10 0 1-42 17(2 0 2 3)0 4-0 0 0 3-0 6汕头大学学报（自然科学版）Journal of Shantou University(Natural Science)第38 卷第4期Vol.38 No.4高逼近阶对偶框架的迭代算法范子宁，杨守志（汕头大学数学系，广东汕头5150 6 3）摘要在框架理论中，希望构造一些具有良好性质的逼近对偶框架，如框架的高逼近阶等.基于Neumann级数展开理论，本文给出了两个提升逼近对偶框架逼近阶的迭代算法，分别将逼近对偶框架的逼近阶在原来的基础上提升到(q”)阶、O（q )阶.类似地，可以得到任意高阶的逼近对偶框架的迭代算法。关键词对偶框架；逼近对偶框架；逼近对偶的迭代算法中图分类号0 17 4.2文献标识码A0 引 言框架的概念最早由Duffin和Schaeffer在19 52 年提出，他们将框架作为研究非调和傅里叶级数的工具.后来，Daubechies等2 在19 8 6 年观察到框架可以通过级数展开来表示L(R)中的函数.从那时起，人们便开始广泛且深入地研究框架理论目前，除了纯数学和应用数学之外，框架理论被广泛应用于其他领域中，例如信号处理3、图像处理、数据压缩、采样理论、滤波器组、信号检测等.特别是在信号分析中，当需要对给定的编码框架进行解码时，对偶框架是必不可少的.但是在实际情况下，对偶的计算是不精确的，有时甚至不能给出它的解析表达式.为了解决这个问题，Christensen 和Laugesen 提出了逼近对偶框架的概念6.逼近对偶框架比典范对偶框架容易构造，且能拥有较好的性质.在应用中，逼近对偶的精度越高，它的逼近效果越好.在文献6 中，Christensen运用Neumann级数展开理论给出了提高逼近对偶框架逼近阶的方法.本文基于Neumann级数展开理论，得到了提升逼近对偶框架逼近阶的迭代算法，分别将逼近对偶框架的逼近阶提升到O(q)阶、O(q)阶，甚至可以到达任意高逼近阶.1预备知识定义1.1假设H是一个可分的Hilbert空间，fi=,是H中的一个Bessel序列.如果存在正常数A和B使得收稿日期：2 0 2 3-0 5-2 6作者简介：杨守志（19 6 3一），男（汉），河南信阳人，教授.研究方向：小波分析.E-mail：s z y a n g s t u.e d u.c n4汕头大学学报（自然科学版）第38 卷AllflEKf.f)PBllfIP,Vfe H.k=1那么(fi)=I是H的一个框架.A和B分别为该框架的上界和下界.定义1.2 7 假设H是一个可分的Hilbert空间，Bessel 序列(f)=是H的一个框架，定义一个线性映射TT:PH,T(clt-=Zcafi,V(elet e P.T被称为合成算子.它的伴随算子T*T*:H-P,Tf=(f,fi)-1,VfeH.T*被称为分析算子.定义算子SS:HH,Sf=TTf=Zfe,Vfe H.则算子S被称为框架算子.定义1.3I7S为式（4)定义的框架算子，则S具有以下性质：（1）S是自伴算子，即S*=S；（2）S是线性有界且是正的，即AISBI，I 是恒等算子；(3）S是可逆的，逆为S-1.定义1.417 假设H是一个可分的Hilbert空间，G=gl-和F=fi-分别是H中的两个框架，若满足f=Zf.gifi=Zgk,VfeH.k=1则称框架F为G的一个对偶框架.定义1.56 假设H是一个可分的Hilbert空间，在H中有两个Bessel序列(fi)=1和(g小=1，它们的分析算子分别为T和U.那么定义(6)k=1则TU（U T*)称为混合算子.Bessel序列(fi)-和(g)i=|是对偶框架当且仅当TU*=I或UT*=I.定义1.6 l6假设H是一个可分的Hilbert空间，在H中有两个Bessel序列(fi)=1和(g小=，它们的分析算子分别为T和U.若满足条件(7)川=k=1或II-Tull=sup,lf-Zfi)gll1.f=1(1)(2)k=1(3)80(4)k=1(5)k=1TU=Zf,gi)f,feH,k=1UT=Zffi)gk,feH.80II-UTl=sup,lf-Zfll1,(8)k=1第4期则称Bessel 序列(fi)i=和(gl-,是一对逼近对偶框架.下面定理告诉我们，逼近对偶框架和对偶框架具有以下关系：定理1.7(6 假设 H是一个可分的 Hilbert空间，(fi)=1和(g)=,是H中的一对逼近对偶框架，它们的分析算子分别为T和U.那么算子UT可逆；且(f)=和(（UT）-g=构成对偶框架.同样的，(g)-，和(（TU）f l-也构成对偶框架为了提高逼近阶，Christensen在文献6 中使用Neumann级数展开理论，把（UT）-g k展成级数：(9)n=对任意NN，取(9)式中的部分和=9 k+Z=(I-UT*)gk那么)也是(f)=的一个逼近对偶框架.定义()的分析算子为ZN，我们有(10)文献6 中介绍了典范对偶框架的扰动定理。令(hal=是一个H中的序列，f)=是H的一个框架，其上下界分别为A、B.若满足EKf,f-hPRllf,fe H,对一些RA/4.那么(hli=-是H的一个框架.设(gl,为(hul-的典范对偶框架，U为(gl的分析算子,那么(gl=,是(f)=的逼近对偶，且有II-UTIVA/R-12逼近对偶的O(q)阶迭代算法在具体应用上，条件I-UT*1(或I-TU*1)太弱，当范数值趋近于1时，逼近速度非常缓慢.因此提高逼近对偶的逼近阶在实际应用中是非常有意义的.在文献8 中，Kloos提出了求框架算子S的逆的一种迭代方法.这种迭代方法能很好地提升求逼近框架算子S-1的速度.本文将此想法应用于逼近对偶框架理论中，构造了一些拥有高逼近阶的逼近对偶框架的迭代算法.定理2.1假设H是一个可分的Hilbert空间，(fi)=和(gn)=,是H上的一对逼近对偶框架.它们的分析算子分别为T和U.构造J：(算法1)(J,=2Jp-1-Jp-iUTJp-1,p e N.令”=Jg，P为0-的分析算子，=-UT，那么0 =也是(f=的逼近对偶，且有(14)证明根据J,的迭代式以及0=Jp9n，可以得到范子宁等：高逼近阶对偶框架的送代算法(UT)-g=k+Z(I-UT)gk.II-NTII I-UT +=O(q1).Jo=1,II-PTII-UTIP=O(q),pe N5(11)11.(12)(13)6首先使用数学归纳法证明I-UTJ,-I=I-Jp-IUT=(I-UT).假设上式对p=keN成立，当p=k+1时，有I-UTJ,=I-UT(2J-JUTJ.)=(I-UTJ.)=(I-UT)-接下来我们使用数学归纳法证明假设上式对p=keN成立，即当p=k+1时也成立.根据算法，有J=Jk-I+(I-Jk-UT)Jk-12-11(I-UT)+(I-UT)*j-02-1Z(I-UTY.j=0根据Neumann级数展开理论，可以把（UT*）-1写成下面的形式：(UT)-I=Z(I-UT).80n=080PTf=Z0Rn=Zf.f.)Z(I-UT)g,2P-1n=1j=02-1-Z(I-UT)(I-I+UT)Fj=0=f-(I-UT)f.因此有II-PTl=Il(I-UT)=O(q),p e N.3逼近对偶的O(q)阶迭代算法基于上面的迭代算法，我们还可以构造逼近阶更高的迭代算法.在这个迭代算法下，逼近对偶的逼近阶可以达到O（q ）.定理3.1假设H是一个可分的Hilbert空间，(f)-和(gm),是H上的一对逼近对偶框架.它们的分析算子分别为T和U.构造Rp：汕头大学学报（自然科学版）0=9m,OR=20P-1-Jp-IUT0P-1,nEN.2-1-1Z(I-UTy.二j=02k-1-1Jk-1=Z(I-UTy.j=02t-1-1(I-UT*)j=0第38 卷(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)第4期(算法 II)R,=3Rp-1-3R,-IUTRp-I+Rp-IUTRp-IUTR,-1,PE N.令”=Rgm，L为的分析算子，=-U那么,是f)的逼近对偶，且有II-LTII-UTP=O(q),pe N(25)证明根据R,的送代式以及=Rgn，可以得到5=gm,g=3Rp-19n-3Rp-1UTR,-19,+Rp-1UTR-IUTRp-19n,n e N.首先使用数学归纳法证明I-UTRp-I=I-R,-IUT=(I-UT)假设上式对p=keN成立，当p=k+1时也成立.根据(2 4)式，有I-UTRt=I-UT3R-1-3Rr-UTRk-I+Rk-UTRt-UTRr-|=(1-UT).接下来我们使用数学归纳法证明Rp-11=Z(-UT).j=0假设上式对p=keN成立，即3-11Rk-1=Z(I-UTyj=0当p=k+1时也成立.根据算法，有34-1-1R=Z(I-UT)+(I-UT)j=02(I-UTy3*-1(I-UT*)2:3-j=03*-1Z(I-UT).j=0根据Neumann级数展开理论，可以把（UT*）-1写成下面的形式：(UT)-I=Z(I-UT).n=0LTf-=ZS:n=80=Zf.f.)Z(I-UT)gn=1j=03-1Z(I-UTt)(I-I+UT)fj=0=f-(I-UT)f.因此有II-LTll=I(I-UT)ll=O(q),pe N.范子宁等：高逼近阶对偶框架的迭代算法Ro=1,3-1-13-17(24)(26)(27)(28)(29)(30)2k-1-1(I-UT)+j=0(31)(32)(33)(34)8注：通过类似的方法，可以把逼近阶提高到O（q）阶和（q）阶，甚至能提升到理想的任意阶.当p趋于无穷时，其极限成为对偶框架.参考文献1 DUFFIN R J,SCHAEFFER A C.A class of nonharmonic Fourier seriesJ.Transactions of the AmericanMathematical Society,1952(72):341-366.2 DAUBECHIES I,GROSSMANN A,MEYER Y.Painless nonorthogonal expansionsJ.Journal ofMathematical Physics,1986(27):1271-1283.3 BYRNES J.Mathematics for multimedia signal processing I:Discrete finite frames and signal reconstructionJ.Signals Processing for Multimedia,1999(174):35-54.4 ELDAR Y C,WERTHER T.General framework for consistent sampling in Hilbert spacesJJ.InternationalJournal of Wavelets,Multiresolution and Information Processing,2005(3):497-509.5 BOLCSKEI H,HLAWATSCH F,FEICHTINGER H G.Frametheoretic analysis of oversampled filterbanksJJ.IEEE Transactions on Signal Processing,1998(46):3256-3268.6 CHRISTENSEN O,LAUGESEN R S.Approximately dual frames in Hilbert spaces and applications toGabor framesJJ.Sampling Theory in Signal and Image Processing,2010(9):77-90.7 OLE C.An introduction to frames and RieszbasesM.Boston:Birkhauser,2003.8 KLOOS T,STOCKLER J,GROCHENIG K.Implementation of discretized Gabor frames and their duals.IEEE Transactions on Information Theory,2016(62):2759-2771.汕头大学学报（自然科学版）第38 卷Iterative Algorithms of High ApproximateOrder of Approximate Dual FramesFAN Zining,YANG Shouzhi(Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China)Abstract In frame theory,some approximate dual frames with nice properties are constructed,such as high approximation order of frames.Based on Neumann series expansion theory,someiterative algorithms are provided for high approximation order of approximate dual frames.Theapproximation order is increased to O(q)and O(q)respectively.Similarly,an iterativealgorithm of any higher order can be obtained.Keywords dual frame;approximate dual frame;iterative algorithm for approximate dual frame杨守志简介男，博士，教授，汕头大学数学系教授、博士生导师。19 8 6 年7 月获信阳师范学院（现信阳师范大学）学士学位，19 9 4年获西安交通大学计算数学理学硕士学位，2 0 0 2 年获西安交通大学计算数学理学博士学位。主要从事小波分析、样条理论和信号处理等方面的研究工作。2 0 10 年评为汕头市优秀教师；2 0 12 获李嘉诚基金会卓越教学奖。主持国家自然科学基金项目一项，主持广东省自然科学基金项目多项。主编小波分析的理论、算法、进展和应用（国防工业出版社）一部。在J.Approx.Theory、A d v.Co m p u t.M a t h.、A p p l.Math.Comput.、J.M a t h.K y o t o.U n i v.、J.M a t h.A n a l.A p p l.、Co m p u t e r s.M a t h.A p p l.、A c t a M a t h.Si n i c a、Pr o g.Na t.Sc i.、Sc i.Ch i n a Se r.A、Sc i.Ch i n a Se r.F、IET Ima g e Pr o c e s s i n g、A c t a M a t h e m a t i c a Sc i e n t i a、中国科学A辑：数学、中国科学E辑：信息和数学学报等国内外重要期刊上发表论文10 0 余篇，其中SCI期刊论文50 余篇。已培养7 名博士，有多名研究生获得广东省“南粤优秀研究生”称号和广东省优秀硕士学位论文。